книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

или в тензорном виде:

в новой и в старой системах координат, ik – косинус угла между

i-й кривой и k-й старой осями, i, j, k, l = 1,2. Для определения Qα составим уравнение проекций на ось z:

3.2. Условия на контуре пластины

При постановке краевой задачи для уравнения изгиба тонкой пластины необходимо сформулировать дополнительное условие на контуре пластины (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Контур пластины

Уравнение стационарное, четвертого порядка в частных производных, поэтому для математической формулировки граничных условий необходимо на контуре задать две функции для ка-

111

ждой точки контура. Граничные условия формулируются для прогибов и (или) углов поворота (геометрические граничные условия) для моментов и (или) перерезывающих усилий (статические граничные условия).

Типичные граничные условия:

1) заделанный край: прогиб и угол поворота в точке на границе равны нулю:

Обычно предполагается, что шарнирная опора является идеально жесткой, т.е. прогиб вдоль контура тождественно равен

енты жесткости nn 0 , то граничные условия могут быть сформулированы следующим образом

3) свободная от закрепления граница, на которой нет напряжений и где следовало бы приравнять нулю моменты и перерезывающие усилия:

Ms|A 0,

112

3.3. Уточненные теории изгиба пластин

Композиционные материалы, особенно слоистые волокнистые композиционные материалы, обладают низкой сдвиговой жесткостью, и для таких материалов гипотеза о недеформируе-

113

мости нормалей может приводить к значительным погрешностям при расчете на жесткость и прочность. Рассмотрим построение некоторых уточнений теории пластин.

Теория С.П. Тимошенко. Пусть нормали при деформировании пластин остаются прямолинейными, и длина их не изменяется, но после деформированиянормаль поворачивается нанекоторыйугол

и так как нормаль остается прямолинейной, то правая часть от z не зависит:

и, учитывая, что перемещение на серединной поверхности отсутствует,

Для определения поля перемещений необходимо знать w(x, y) и функции углов поворота нормалей xz (x, y) и yz (x, y) . Получим соотношение деформаций:

114

Напряжения на пластинке определим, используя закон Гука:

x C11 x C12 y ,

y C12 x C22 y ,

xz C55 xz ,yz C44 yz ,

т.е. напряженное состояние не является плоским, слои по толщине пластины взаимодействуют по сдвиговой модели.

Внутренние усилия Мх, Му, Мхy, Qx, Qy связаны с полями напряжений и перемещений соотношениями:

115

Qx h/2 xz dz C55h xz ,

h/ 2

Qy h/2 yz dz C44h yz .

h/2

Подставим выражения для усилий в уравнения равновесия элементарной пластинки (dxdy). Проекция сил на ось z приводит к уравнению:

116

подстановка внутренних усилий в последнее уравнение даст нам третье дифференциальное уравнение в частных производных. Решая систему трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных функций прогиба w(x, y) и углов поворота xz (x, y) и yz (x, y) , получим ре-

шение задачи об изгибе пластинки по модели С.П. Тимошенко. По этой теории часто рассчитывают толстые пластинки. Теория позволяет проводить оценку прочности на расслоение.

Теория С.А. Амбарцумяна. В теории С.П. Тимошенко есть противоречия. Эпюра напряжений xz и yz имеет вид, представ-

ленный на рис. 3.6, а.

Рис. 3.6. Распределения касательных напряжений поперечных сдвигов по теории Тимошенко (а) и теории Амбарцумяна (б)

Согласно модели Тимошенко, на свободной поверхности ( z h / 2 ) возникают отличные от нуля напряжения, что не соответствует действительности.

Предположим, что напряжения изменяются по толщине вдоль оси z по сложному закону, но так, что

117

при этом функция f(z) выбирается так, чтобы удовлетворить условиям в напряжениях на поверхности пластинки, а функции φ и ψ считаются неизвестными, подлежащими определению.

Выберем функцию f(z) в форме параболы (рис. 3.6, б)

118

Таким образом, для определения поля перемещений пластинки необходимо определить функцию прогиба w(x,y) и функции φ(х,у) и ψ(x,y). Подставляя функции и и v в геометрические соотношения, получим

Для определения напряжений x , y , xy используем соотношения закона Гука

119

которые дополним выражениями для определения сдвиговых напряжений

Определим изгибающие и крутящий моменты и перерезывающие усилия в пластине:

где

Подставляя выражения для моментов и усилий в уравнения равновесия, получим систему трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно w, φ, ψ.

3.4. Расчет пластины, усиленной ребрами жесткости

Рассмотрим пластину (рис. 3.7), усиленную ребрами жесткости в направлениях х, у. Расчет такой пластины можно выполнить

как расчет пластины с эффективными жесткостями x , y , * .

120