Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

3.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

соотношения Коши. В этом случае система уравнений Кармана распадается на два независимых линейных уравнения, в которых исключены нелинейные члены,

2 0

2 0xy

2 w 2

2 w 2 w

x y

(3.8.42)

4 w

* x2

11 x4

из которых первое – техническая теория изгиба, второе – плоская задача теории упругости.

3.9.Изгиб пластины в ортогональных криволинейных координатах

1.Геометрические соотношения. Рассмотрим пластину

(рис. 3.14), отнесенную к криволинейной системе координат,

, , z, H , H , Hz 1 – параметры Ламе.

Рис. 3.14. Пластина в ортогональных криволинейных координатах

Для построения основных соотношений изгиба пластины примем гипотезы Кирхгофа. Пусть и – перемещение точки вдоль α, v – вдоль р, w – вдоль z (прогиб). Геометрические соотношения теории упругости в криволинейных координатах имеют вид:

141

H H

z H Hz

;

(3.9.1)

(3.9.2)

другие уравнения могут быть получены циклической перестановкой индексов , , z и величин u,v,w. Принимаем гипотезу о не-

деформируемости нормали: z 0 , учитывая, что			Hz 1 и
	Hz	Hz 0,	(3.9.3)

тогда
w	0 w w( , ).		(3.9.4)
z

Принимаем гипотезу об ортогональности нормали к серединной плоскости при деформировании ( z z 0)

H 2

w 0,

интегрируя уравнение по z, получим

H u w z ( , ).

(3.9.5)

(3.9.6)

Пусть срединная плоскость выбрана так, что zC 0 , прини-

мая предположение о недеформируемости срединной плоскости (u|z = 0 = 0), получим ( , ) 0 , тогда окончательно

	1		w
u				z
u	H			z
	H				,	(3.9.7)
	1	w z			,	(3.9.7)
v	1
v	H
	H

142

т.е. смещение любой точки пластины полностью определяется функцией прогиба w( , ) . Оставшиеся геометрические соотно-

шения используем, учитывая

H		H	0.	(3.9.8)
z		z

Для определения деформации впроизвольной точкепластины:

H H

(3.9.9)

1 H w

аналогично

1 w

1 H w

H 2

(3.9.10)

z z z 0.

2.Физические соотношения. Рассмотрим анизотропный упругий материал, оси ортотропии которого совпадают с криволинейными

C11 C12 ,

C12 C22 ,

C66 ,

C11

H 2

1 w

H 2

(3.9.11)

(3.9.12)

143

C12

H 2

1 w

zC66

(3.9.13)

(3.9.14)

3. Энергия упругого деформирования пластины. Рассмотрим уравнение

2 V

(3.9.15)

здесь

dV hdS hH H d d

(3.9.16)

таким образом,

2 V

2 12

H H

1 w

1 H w

(3.9.17)

H 2

1 H

H 2

1 w

hH H d d .

144

4. Работа внешних сил q q( , ) вычисляется по формуле

A q( , )H H d d .

(3.9.18)

5. Внутренние силовые факторы

при

изгибе

пластины.

В пластине возникают изгибающие M , M и крутящий

M мо-

менты:

M h/2

zdz ... h/ 2

z2dz

h/2

h/ 2

1 w

(3.9.19)

1 w

H 2

аналогично можно получить соотношения для M и M .

6. Уравнения равновесия (рис. 3.15). Проекция сил на ось z:

Q d H

d H

d qH

d H

d 0

(3.9.20)

или

q 0

(3.9.21)

Уравнение моментов относительно оси β:

M d H

d H

d Q d H

d 0

(3.9.22)

или

Q ;

(3.9.23)

145

аналогично можно получить уравнение моментов относительно оси α:

1	M	1	M	Q .	(3.9.24)
H		H

Рис. 3.15. Усилия имоменты, действующие на элемент пластины

Подставляя полученные уравнения (3.9.23) и (3.9.24) в (3.9.21), получим

1			1 M				1 M

						H
	H H					H
										(3.9.25)
1		1		M	1			M		(3.9.25)
1		1		M	1			M	q 0;

					H
H H					H

подставляя выражения для моментов, найдем дифференциальное уравнения прогиба анизотропной пластины в криволинейных координатах.

Например, в частном случае для круглой пластинки в полярной системе координат уравнения равновесия примут вид

146

	(Mr r) drd Mr
	r
	(M r r) drd	M
	r

d dr	M rdrd	Qrdrd 0,
	r			(3.9.26)
	Mr rdrd			(3.9.26)
d dr	Mr rdrd		Q rdrd	0
d dr	r		Q rdrd	0
	r

или

(Mr r)	Mr M		Q r,
r			r
			(3.9.27)
(M r r)	M
		Mr Q r.
r

Сюда следует добавитьусловие парности крутящих моментов

	M r Mr .			(3.9.28)
В результате получим
(Mr r)		Mr M		Q r,
r				r
				(3.9.29)
r Mr	M 2M
			r	Q r.
r

Связь между поперечными силами и внешней нагрузкой имеет вид

(Qr r)	Q qr 0.	(3.9.30)
r

147

Глава 4. ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК

Оболочками называются тела, ограниченные двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами тела (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Оболочка

4.1.Основные соотношения теории оболочек

1.Геометрия поверхности. Поверхность, равноудалённую от

ограничивающих поверхностей Г1 и Г2, называют срединной поверхностью. Длина нормали к серединной поверхности определяет толщину оболочки h, которая может быть как постоянной, так

ипеременной. Поверхности, равноудалённые от серединной поверхности, называются эквидистантными или координатными. Геометрия оболочки определяется формой координатной поверхности, толщиной и граничным контуром.

Рассмотрим координатную поверхность r r ( , ) (рис. 4.2).

Параметры , являются криволинейными координатами по-

верхности. Фиксируя значение β, получим принадлежащую поверхности линию, вдоль которой изменяется лишь параметр α; семейство таких линий называют α-линиями. Аналогично вводятся β-линии. Конкретный смысл координат α и β для различных оболочек может быть различным, например для цилиндрической, сферической и пологой оболочек.

148

Рис. 4.2. Координатная поверхность

Рассмотрим приращения координат dα и dβ, которые приведут к изменению вектора r на величину

dr	r	d	r	d .	(4.1.1)

Рассмотрим норму вектора dr, скалярное произведение самого на себя:

		dr	2				2		r	2	2					r r					r 2		2
					ds							2							d d					, (4.1.2)
					ds							2							d d					, (4.1.2)

где ds – длина дуги С . Таким образом,
	2	r		2				2		r 2			r		2							r 2		2	, (4.1.3)
ds						d			2								cos d d						d
ds						d			2								cos d d						d

где
														r			r
									cos											,					(4.1.4)
									cos				r			2		r 2		,					(4.1.4)



																									149

здесь χ – угол между координатными линиями , ; для ортого-

нальной системы координат cos 0 . 2

Выражение для первой квадратичной формы примет вид:

ds2 A2d 2 B2d 2 ,

(4.1.5)

где коэффициенты первой квадратичной формы или параметры Ламе

r	2
		,

		(4.1.6)
r	2
	.

Для элементарных отрезков на координатных линиях α, β выполняются зависимости:

		ds1 Ad			(4.1.7)
или
или	ds1 H d ,				(4.1.8)
или
		ds2 Bd .			(4.1.9)
Рассмотрим изменение вектора			dr	при перемещении вдоль
дуги ds:
dr		r	r	.	(4.1.10)
ds				.	(4.1.10)
ds		ds	d ds

С другой стороны, для пространственной кривой, описываемой вектором r вдоль дуги ds, справедливо выражение

d 2 r v kv , ds2

где ρ – радиус кривизны, k = 1/ ρ – кривизна, тор главной нормали кривой s.

(4.1.11)

v – единичный век-

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202327.58 Mб8Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин..pdf
#
12.11.20235.11 Mб15Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность..pdf
#
12.11.2023768.04 Кб1Строительная механика машин..pdf
#
12.11.202312.98 Mб0Строительная механика стержневых систем. Ч. 1.pdf
#
12.11.202312.02 Mб1Строительная механика стержневых систем. Ч. 2.pdf
#
12.11.20233.67 Mб7Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций..pdf
#
20.11.202321.45 Mб0Строительная механика.-1.pdf
#
12.11.20232.43 Mб1Строительная механика..pdf
#
12.11.20231.75 Mб3Строительная теплофизика..pdf
#
12.11.20237.38 Mб0Строительное материаловедение история, теория, практика. Введение в специальность.pdf
#
12.11.202313.49 Mб4Строительное проектирование химических предприятий..pdf