книги / Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций

Как видно из уравнений (5.20) и (5.21), формулы для вычисления средних значений произведений направляющих коси­ нусов выражаются через тензоры Кронекера, содержащие только либо первые, либо вторые индексы направляющих косинусов. Иными словами, формула (5.21) содержит члены с произве­ дением (3-символов Кронекера, образованные от произведения тензоров четвертого ранга Ради сокращения запишем

формально правую часть соотношения (5.21) в виде произведения матрицы коэффициентов, стоящих при символах Кронекера, на

Формула для вычисления средних значений произведений шести направляющих косинусов весьма громоздка (содержит 225 слага­ емых). Пользуясь введенными выше обозначениями (5.22), формулу для. вычисления произведения шести направляющих

где коэффициенты а., обладают следующими свойствами:

*11 *22 *" aqq' ij °ji'

Непосредственно вычисляя средние значения небольшого чис­ ла произведений направляющих косинусов, определим коэф­ фициенты а., в уравнениях (5.23) аналогично тому, как это

сделано выше при определении коэффициентов в формулах для средних значений произведений двух, четырех и шести направ­ ляющих косинусов. Для решения практических задач часто достаточно ограничиться знанием средних значений произведений восьми направляющих косинусов.

Кроме моментов, различных порядков упругих свойств и индикаторной функции Л(г), в дальнейшем нам потребуется знание моментных функций этих характеристик. Введем обозна­ чения

Анализ экспериментальных данных и результатов численного моделирования структур разупорядоченных композитов [3] ука­ зывает на общую закономерность изменения этих функций в формулах (5.25) от модуля разности векторов и г2 и

Из (5.12) и (5.26) следует, что моментные функции второго порядка поликристаллических сред с учетом пористости также описываются быстро осциллирующими непрерывными функциями с непрерывной первой производной:

К аналогичным зависимостям приходим для моментных функций высших порядков, явный вид которых приведен в работе [83].

Перейдем теперь к поня­ тиям локально-статистической

однородности и локальной эр- •О*)" годичности случайных полей. 7 Случайное поле Л(г) есть ло­ кально-статистически однородное поле, если многоточечный закон совместного распределе-

поле А(г) локально-статистически однородно и моментные функ­

D—характерный размер области У*.

Введем теперь понятия макроскопической однородности и квазиизотропности микронеоднородной среды. Микронеоднородная среда макрооднородна, если упругие свойства микронеоднородной среды описываются случайными локально-эргодическими полями. Микронеоднородная среда квазиизотропна, если: 1) С = (в) (тен­ зор модулей упругости изотропной упругой среды); 2) моментные

функции X ^ (rt, г2, .... гр в окрестности первого порядка малости

(в е.О-окрестности произвольно взятой точки среды) зависят от модулей всех расстояний между точками твердого тела:

*g)(r1,r 2, .. . , r 4 = A « (lr1- r 2| , 1г,-г31......

Определим теперь основное свойство микронеоднородных де­ формируемых сред. Если микронеоднородная среда макроско­ пически однородна и квазиизотропна; перемещения границы Г тела V, имеющего конечные размеры, детерминированы; дисперсии физических свойств среды, заданных в детерми­ нированной системе координат, конечны; средние деформации— макроскопически гладкие функции координат, то существует случайный функционал Ф(в), зависящий только от упругих свойств элементов структуры и не зависящий от граничных условий, такой, что пульсации структурных деформаций пред­ ставимы в виде

где е(г)—пульсации структурных деформаций; сФ(г) = (с(г))—мак­ роскопические деформации.

Для доказательства соотношения (5.29) рассмотрим решение

дифференциальный оператор, связывающий тензор деформаций с компонентами вектора перемещений.

Уравнения (5.30) можно рассматривать как уравнения крае­ вой задачи теории упругости однородной по физическим свойст­ вам среды с тензором модулей упругости С и перемещениями

U, обусловленными действием случайных объемных сил V П. Уравнение (5.30) эквивалентной краевой задачи через тензор Грина G(r,r') преобразуется в интегро-дифференциальное урав­ нение при нулевых граничных условиях

v

Для определения полей структурных деформаций и напря­ жений необходимо знать градиенты пульсаций перемещений. Дифференцируем уравнение (5.31):

Уравнение (5.32) решаем методом последовательных при­ ближений при ограничениях, сформулированных в виде макроод­ нородности и квазиизотропности среды и макроскопической гладкости средних деформаций.

а /э^ (0 )—тензор-функционал третьего ранга относительно физи­

= 2 v/>w;

5=1

самостоятельную проблему, решаемую для каждой конкретной модели микронеоднородной среды. Если в полученных рядах

ограничиться первым слагаемым, то такое приближение принято

называть корреляционным.

Для вычисления эффективных модулей упругости, полей микронапряжений и микродеформаций необходимо вычислить моменты различных порядков функционала Ф(0). Так как согласно (5.38) моменты различных порядков функционала Ф(0) однозначно определяются через моменты второго порядка функционала />(©)* т0 достаточно вычислить моменты второго порядка функ-ционала />(©). В работе [76] показано, что функционал />(©) в первом (корреляционном) приближении аппроксимируется выражением

Таким образом, на основании формул (5.37)—(5.41) достаточ­ но просто можно вычислить эффективные модули упругости, поля микронапряжений и микродеформаций в корреляционном приближении.

Осредняя физические уравнения и используя соотношения (5.37), (5.38), приходим к следующей формуле расчета эф­ фективных модулей упругости:

уравнение (5.39) на 0 ^ „ . Свертывая по индексам /,/ и применяя оператор математического ожидания, получаем

Освобождаясь от символов Кронекера в выражении (5.43) и подставляя полученное выражение в (5.42), приходим к следую­ щей зависимости:

. = Сл

^iklm ~ ^ iklm 3 (Л+5) ^ikafPaplJ +

+ П В<®*-®де/т>- <5'44)

Формула (5.44) представляет собой общую формулу для расчета эффективных модулей упругости макроскопически одно­ родных квазиизотропных сред в корреляционном приближении.

Вычислим теперь макроскопические модули упругости для поликристаллической среды, описываемой моделью (5.10). На

основании (5.10) и (5.21) находим среднее значение модуля упругости

C ik lm = 1 5 ( 2 C W / 3 ” С 'с ф а р )д (кд 1т +

+ 30( С аа№ + ЗС<ф<ф№^кт + 6im6ki>* (5,45)

Используя (5.10) и (5.21), получаем формулы для расчета сверток тензоров восьмого ранга, входящих в (5 .44):

(®ikap®apln) = (f5^'ааруС'0у6д ~ JJ0 'afiyiC'afiyi ~

Формулы (5.44)—(5.46) позволяют прогнозировать эффектив­ ные модули упругости любых поликристаллических сред (в том числе поликристаллического углерода).

Обобщим теперь полученные формулы (5.44)на случай поликристаллических сред с учетом пористости:

(5.53) и зависят от двухточечных моментных функций второго, третьего и четвертого порядков. В случае корреляционного приближения (когда ограничиваются только моментными функ­ циями второго порядка) из (5.53) получаем

Как видно Из формул (5.54) и (5.55) моментные функции второго порядка структурных напряжений являются локально-эр- годическими функциями координат.

5.3.Принцип локальности

вмеханике волокнистых композитов

Исходная информация о структуре волокнистых микронеоднородных сред, как отмечалось в п. 5.2, может быть задана совокупностью моментных функций материальных тензорных или скалярных величин. Эти моментные функции строятся, как

2)с помощью численного моделирования структур на ЭВМ [18, 77, 78];

3)экспериментально путем исследования структуры реальных образцов [10 , 18].

Обобщая исследования, проведенные в этой области [18, 78, 83], можно сказать, что моментные функции второго и высших порядков разупорядоченных сред являются локальными. На рис. 5.1 приведена типичная моментная функция второго порядка случайного однородного и изотропного поля. Такой же вид имеют и поля физических свойств модулей упругости. Анализ зависимо­ стей моментных функций второго и более высоких порядков позволяет сделать два важных вывода. Первый вывод состоит в том, что моментные функции структурных свойств среды быстро затухают (т. е. локальны). Область затухания моментных функ­ ций соответствует области статистической зависимости поля. Размер области статистической зависимости примерно равен половине расстояния между включениями для матричных во­ локнистых . композитов и характерному размеру зерен для статистических смесей. Второй важный вывод состоит в том, что

моментные функции физических свойств среды имеют область отрицательных значений (см. рис. 5.1), что свидетельствует о наличии периодических составляющих в этих случайных полях. Однако локальность моментных функций вовсе не означает, что для их построения можно рассматривать область статистической зависимости 0(г) поля упругих свойств. Корректное построение моментных функций возможно только для области с характерным размером, во много раз превышающим размер области статистиче­ ской зависимости и соответствующим размеру элементарного

микрообъема AJv. Необходимо отметить, что свойство локальности моментных функций использовалось уже в первых работах по решению стохастических краевых задач механики композитов наряду с условием статистической однородности и квазиизотроп­ ности поля упругих свойств [10, 18, 78, 83] и др. При этом даже в корреляционном приближении используется гипотеза предельной локальности моментных функций поля ©(г) [18], что вносит существенные погрешности в окончательные результаты. В моно­ графии [91] показано, что использование этой гипотезы, равно как и других, ей аналогичных, соответствует предположению об однородности структурных напряжений и деформаций в пределах каждого структурного компонента. Таким образом, применение такого подхода к использованию свойства локальности моментных функций не давало каких-либо преимуществ в получении конечных результатов. Единственным выводом, сделанным на основе этого, был вывод о том, что в расположении структурных компонентов имеет место ближний порядок.

Развитие методов решения краевых задач теории упругости матричных микронеоднородных сред инициировало появление работ, конечной целью которых является максимально полное описание случайных полей структурных физических войсгв [18, 78]. Именно благодаря этим работам мы сейчас можем не предполагать, а утверждать, что локальность есть неогьемлимое свойство моментных функций этих случайных полей. Теперь, когда свойство локальности моментных функций для материалов с неупорядоченной структурой подтверждено многочисленными исследованиями, существует основание для его более широкого использования в механике неоднородных сред.

То же свойство локальности, но характеризующее взаимо­ действие элементов структуры, было отмечено в работах [3, 76, 78, 83]. На основе свойства локальности в матричных перио­ дических композитах в работах [3, 78] были получены решения конкретных краевых задач, учитывающие все тонкие эффекты микромеханики, такие, как форма структурных компонентов, неоднородность полей деформирования в матрице и во вклю­ чениях, инверсия свойств. Были решены [78] нелинейные краевые задачи микромеханики. Благодаря этим работам впервые сфор­ мулирован принцип локальности в механике структурно неодно­ родных тел [78]. Обобщая перечисленные выше научные резуль­ таты на макроскопически однородные (или квазимакроскопически