книги / Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций
..pdfоднородные, макроскопически анизотропные) композиты можно сформулировать принцип локальности [78], согласно которому в расположении и во взаимодействии структурных неоднородностей при деформировании имеет место ближний порядок.
Признаком ближнего порядка в расположении для волокнистых сред со случайной структурой является локальность моментных функций второго и более высоких порядков полей структурных физико-механических свойств. Ближний порядок во заимодейсгвии означает, что на формирование полей деформирования в некоторой области, содержащей произвольно выделенное включение, реша ющее влияние оказывают лишь ближайшие к ней элементы структуры.
Установленные в п. 5.2 общие свойства микронеоднородных сред (5.37) и полученные на основе этих соотношений зависимости для моментных функций второго порядка полей деформирования (5.44), (5.54) свидетельствуют о наличии ближнего порядка во взаимодействии этих структур. Этот же результат распространя ется и на модель микронеоднородной среды с учетом пористости (5.12). В микронеоднородной среде в расположении и во взаимодействии пористых структур имеет место ближний порядок.
Ниже приведены два новых метода решения краевых задач микромеханики волокнистых композитов, основанных на принципе локальности: метод локального приближения (п. 5.4) и метод периодических составляющих (п. 5.5). Конкретные результаты, полученные методом локального приближения и приведенные в следующих разделах книги, подтверждают наличие ближнего порядка во взаимодействии структурных элементов.
5.4.Метод локального приближения
При исследовании деформирования волокнистых композитов хорошим приближением являются модели сред с регулярной структурой. Предполагается, что в элементарном макрообьеме таких сред доля деформирования являются периодическими, т. е. для расчета структурных напряжений и деформаций и вычисления макромодулей можно рассматривать периодические задачи, прини мая во внимание, что осредненные по. ячейке периодичности напряжения должны быть равны заданным макроскопическим. В настоящее время разработаны эффективные методы решения периодических задач, используемые в механике волокнистых композитов.
В данном разделе рассматривается метод, основанный на принципе локальности и использующий эффект ближнего порядка во взаимодействии неоднородностей. Это обстоятельство является весьма важным, так как открывает широкие перспективы применения этого метода как для регулярных сред, так и для сред со случайной структурой, а также эффективное применение этого метода к структурам с нелинейными свойствами компонен тов. Суть метода заключается в замене периодической задачи краевой задачей для области, содержащей конечное (причем,
достаточно малое) число включений. Решена задача по опреде лению значений компонент тензора напряжений на границе в зависимости от заданных макронапряжений в ячейке периодич
ности [78].
Рассмотрим теперь периодическую задачу теории упругости для неоднородных сред матричного типа с регулярной структурой. Пусть а—вектор трансляции, смещением на который ячейки периодичности ,можно синтезировать структуру композита. Систе
му уравнений |
запишем в виде |
|
Vo*(r) = 0, |
oP(r) = Cp(r) ‘ -ер(г), ер = def Up, |
(5.56) |
где модули упругости Ср(г) в физических уравнениях являются кусочно-однородными периодическими функциями; (/(г), ер(г),
i f (г)—искомые детерминированные периодические функции. Ус ловия периодичности для искомых полей деформирования
I f (г) = Up(r + a), f(r ) = £р(г + a), f( r ) = аР(г + а) |
(5.57) |
|
и заданные макронапряжения о*, т. е. |
|
|
j - |
/ o'M Л- = <7* |
(5.58) |
1 |
(»,) |
|
позволяют выделить единственное решение системы (5.56). Опре
делив напряжения и деформации во всех точках объема |
ячейки |
|
периодичности, соответствующие заданным |
макронапряжениям, |
|
можно вычислить макроскопические модули упругости среды. |
||
Для отыскания решения краевой задачи |
(5.56) с граничными |
|
условиями (5.58) в типовой ячейке среды с регулярной структурой используется не идея периодичности искомых функций, а принцип локальности в механике микронеоднородных сред.
Пусть геометрический центр произвольного типового элемента совпадает с началом координат О^. Окружим выделенный
типовой элемент несколькими слоями аналогичных типовых элементов в соответствии со структурой рассматриваемой регуляр ной микронеоднородной среды и поместим полученный ансамбль Vj. в неограниченное пространство (плоская схема с одним
слоем гексагональной и тетрагональной структур изображена
соответственно на рис. 5.2 |
и 5.3). Область fy/vj. заполнена |
|
однородным материалом со |
свойствами матрицы, |
U |
Qj U Uj. = fir |
|
|
Предположим, что мы знаем распределение напряжений на поверхности Гу типового элемента v{ регулярной микронеодно
родной среды, соответствующее данной структуре и свойствам структурных компонентов, а также заданным макронапряжениям
102
о*. = p.j. Если «вырезать» центральный элемент |
области |
и |
по свободному внутреннему контуру приложить известные напря жения (т. е. считать vx генератором напряженно-деформирован
ного состояния области Qj), то на достаточном удалении от
ансамбля v^ в области Qj возникает однородное напряженное
состояние: a(r) = а = const. Но тогда можно рассматривать и альтернативную задачу о генерировании упругого поля в цент ральном элементе области Qj с помощью сложного, но
однородного напряженного состояния, заданного на бесконечности области. Q.
Действительно, пусть для области Q заданы на бесконечности напряжения
= Фу. |
(5.59) |
В результате взаимодействия центрального включения с матрицей и со смежными включениями в области t/j будут
действовать неоднородно распределенные напряжения. Осредненные по Dj напряжения, соответствующие заданным на бесконеч
ности Ч^., обозначим q... Благодаря локальности взаимодействия
включений можно предположить, что распределение напряжений
и |
деформаций |
в |
центральной |
ячейке области |
пространства |
Qj |
совпадает |
с |
распределением |
структурных переменных o'V), |
|
ер(г) в типовом элементе регулярной структурно неоднородной среды при макронапряжениях а* = q. Другими словами, решение
краевой задачи для области |
с граничными условиями (5.59) |
|
в центральной области |
адекватно решению системы уравнений |
|
(5.56) для типового элемента регулярной микронеоднородной среды с граничными условиями
Vl
лПерейдем теперь к вопросу о том, можно ли подобрать такие
<7„, которые бы в элементе |
области |
генерировали |
распределение напряжений и деформаций такое же, как в ячейке периодичности переменные деформирования, удовлетворяющие
заранее заданным макронапряжениям о* = р...
При идеальном упругом деформировании структурных компо нентов справедлива линейная зависимость между заданными макронапряжениями р.. и искомыми граничными условиями
краевой задачи для области Q1
Р„ = |
« -61» |
Компоненты тензора Л..тп определяются путем решения последо вательности краевых задач для области (в общем случае
несимметричных включений таких задач шесть), когда на бесконечности заданы одноосное растяжение и чистый сдвиг.
Так как компоненты тензора Ацтп определяются однозначно и система уравнений (5.61) имеет единственное решение, то напряжения а.., найденные из (5.61), будут единственным образом
генерировать детальные поля в центральном элементе vl прост
ранства |
соответствующие заданным макронапряжениям р... |
|
Теперь осреднением по области v1 можно найти компоненты |
||
тензора макродеформаций |
соответствующие макронапряжениям |
|
p.j, и вычислить значения компонентов тензора C*jmn- В упругом
случае эти значения не зависят от конкретного макроскопического напряженно-деформированного состояния среды. Поэтому для расчета макромодулей упругое поле в области можно
генерировать произвольно заданными на бесконечности простран ства напряжениями а.. —V
Осредненные по г/j |
напряжения |
|||
К м |
ц |
= |
Рц |
(5.62) |
и деформации |
|
|
|
|
1 Л г ) |
1 |
= |
*,/ |
(5.63) |
однозначно определяют значения макромодулей посредством ра венства
104
Рассмотрим вопрос о минимальном числе окружающих цент ральный элемент vl области слоев типовых элементов,
необходимом для получения достоверного результата решения краевой задачи (5.56) с граничными условиями (5.58) о де формировании бесконечной регулярной микронеоднородной среды. Согласно данным работы [78], можно сделать вывод о том, что достаточно ограничиться одним окружающим слоем. Для проверки этого утверждения был проведен численный эксперимент. Одно и то же решение краевой задачи (5.56) с граничными условиями (5.58) получено в центральном элементе ^ области с одним
и двумя окружающими слоями типовых элементов. Естественно, граничные условия краевой задачи Неймана для области Qj
различны для разного числа окружающих слоев. Другими словами, значения компонентов тензора Аутп в равенстве (5.61) зависят
от выбранного числа окружающих элемент vl слоев типовых
элементов.
Варьирование в процессе численного эксперимента в широком диапазоне упругих свойств и относительной объемной концент рации структурных компонентов позволяет сделать однозначный вывод: задачу о деформировании неограниченного структурно-не однородного пространства можно свести к задаче о деформирова нии неограниченного пространства, в центре которого находится конечное (причем, достаточно малое) число типовых элементов.
Для реализации краевых задач Неймана для области Ql не
всегда удается пользоваться аналитическими методами. С точки
зрения удобства применения численных методов область |
можно |
|||
ограничить поверхностью Г_ , на которой |
задается |
однородное |
||
|
Mi |
|
|
|
распределение напряжений |
|
|
|
|
° ' ц Щ г |
ш \ |
|
|
|
I |
|
|
|
|
где а., определяется из (5.61). |
|
|
|
|
Для того |
чтобы исключить влияние границы |
на |
упругое |
|
|
|
I |
|
|
поле в центральной области vlt граница TQ |
должна быть удалена |
|||
от ансамбля |
на расстояние трех-четырех характерных размеров |
|||
ансамбля vг Численные результаты по этому методу приведены
в гл. 6.
5.5.Метод периодических составляющих
Рассмотрим стохастическую краевую задачу теории упругости микронеоднородных сред со статистически неоднородной структу рой [78]. Будем считать, что геометрическая форма и свойства структурных компонентов детерминированы и заданы. Как было отмечено выше, краевая задача в отсутствии объемных сил состоит из замкнутой системы уравнений
V*cr = 0, е = def 17, ст = 0 - ■ |
(5.65) |
с другими условиями
(5.66)
T Ja,v
которым, как известно, эквивалентны условия на поверхности тела
°i |г = V/ |
<5-67) |
при макроскопически однородном напряженном состоянии. В формулах (5.66) и (5.67) е*—заданное однородное поле макро
скопических деформаций.
Идея предполагаемого здесь метода решения краевой задачи (5.65) и (5.66) заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной задачи для сред с регулярной микрострук турой
V-crp = 0, |
ер = def Up, |
= Ср- • |
(5.68) |
|
j r l < |
i dv = V |
|
<5-69> |
|
av |
|
|
|
|
где i f , ер, |
а р—детерминированные периодические |
функции |
||
структурных |
перемещений, |
деформаций и напряжений, |
соответ |
|
ственно; Ср—тензор модулей упругости среды с регулярной структурой.
Так как детерминированное решение краевой задачи (5.68) и (5.69) может быть записано только для одной реализации микронеоднеродного тела с регулярной структурой, в дальнейшем при решении стохастической краевой задачи (5.65) и (5.66) используется вместо оператора статистического осреднения по ансамблю реализаций оператор объемного осреднения, что воз можно при выполнении теорем эргодичности.
Сравнивая (5.66) и (5.69), отметим, что
h y M l i - |
I * ? /'> ! • |
(5 -70) |
и, следовательно,
I Щг) I |
I l/f(r) I = |
(5.71) |
т. e. макроскопическое деформированное состояние сред со статис тически однородной и регулярной структурой одинаково.
Предположим, что решение краевой задачи (5.68) и (5.69) нам известно [61, 78]:
ер.(г) |
= Np |
(г)е* , |
(5.72) |
|
у ’ |
Ч Р Г |
’ PQ |
|
|
аЧ. = |
СУ |
е* |
, |
(5.73) |
у |
утл |
т п |
|
|
с т п |
=lcU<r>l |
+ |
||
Здесь Np..p(}(r)—периодические функции.
Условие, с помощью которого статистически однородой среде с внутренней структурой ставится в соответствие регулярная, выберем в виде
l « W ') l |
« •« > |
причем очевидно, что условие (5.75) не является взаимно однозначным.
Разложим случайное поле структурных модулей упругости следующим образом:
©.. |
(г) = СЧ. |
(г) |
+ |
(г), |
(5.76) |
|
у т л 4 1 |
ijmn' ' |
|
ijmrr- ' |
|
||
где 0 |
(г)—случайная |
пульсационная |
составляющая поля |
|||
0 y»i«(r)‘ |
Тогда’ |
в |
силу |
(5Л5)’ |
|
|
|
= |
0- |
|
|
|
«.77) |
По аналогии с (5.76) разложим и случайные поля структурных переменных деформирования,
% (') = <ty) + fy'>.
= £?/r) + t y ) , |
(5.78) |
где o^.(r), ef.(r), Up(r)—известные функции, удовлетворяющие кра евой задаче (5.68), (5.69); о„(г), су(г), #.(г)—искомые пуль-
сационные составляющие случайных полей структурных перемен ных деформирования. Эти искомые случайные поля должны удовлетворять замкнутой системе уравнений, полученной из (5.78), (5.68), (5.65),
... |
= о, |
.. = |
\ |
(#.. + д Л % |
|
у,у |
|
ч |
2 |
\ tj |
/•'/ |
°ij |
^'ijmtfmn |
^ijm rfm n |
(5.79) |
®ijmn£mn |
и граничным условиям, вытекающим из (5.78), (5.69), (5.66),
ll/.(r)l = О, |
lly(r)l = 0. |
(5.80) |
Таким образом, получена стохастическая краевая задача (5.79), (5.80), эквивалентная первоначальной краевой задаче (5.65), (5.66). Для решения этой задачи в перемещениях подставим геометрические уравнения системы (5.80) в физические, а физические—в уравнения равновесия. В итоге будем иметь
|CJU (r)l?"m<r)! J = ~ (®<)™г,С + ® ,утАи ~ <®/,тЛи>1 /
(5.81) Воспользуемся функцией Грина основных уравнений теории упругости сред с регулярной структурой в перемещениях, которая
удовлетворяет уравнению
Ч т<гК а г- |
- О * |
./ |
( 5 .8 |
и обращается в нуль вместе со своими производными при |
|
||
1г—г'1 -* да. функция |
Грина G^.(r, г') |
имеет смысл перемещений |
|
в регулярной среде, возникающих при действии единичной сосредоточенной объемной силы.
Трактуя правую часть уравнений Ляме (5.81) как фиктивные
объемные силы, |
записываем |
|
|
|
|
|||
0 ,М |
= |
/< % ('• |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
П , |
= 0 |
, |
£ * + © . # |
- < © . # |
> |
(5.83) |
||
<рк |
|
<pkpq pq |
<pkpq pq |
' |
<pkpq |
p,q' |
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
(5.84) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим решение интегро-дифференциальных уравнений |
||||||||
методом |
последовательных приближений. |
|
||||||
Согласно методу последовательных приближений для первого приближения искомых функций и..{г)
<5-85)
V
Принимая во внимание (5.72), получаем
<*>)={/ |
(5.86) |
|
V
Введем обозначение |
|
|
|
||
|
V |
fr. 0 |
[в ,Ли( г ^ |
(л')] 4 |
(5.87) |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
^ y W |
= |
|
|
|
(5.88) |
Запишем второе приближение уравнений (5.84): |
|
||||
|
- lV cwM[V V > + |
|
|||
|
|
|
+ Ккря{г’^ У Я , к М - |
(5-89> |
|
С учетом введенных выше обозначений (5.87) и (5 .88) |
|||||
уравнение |
(5.89) |
можно представить в виде |
|
||
|
|
|
х |
|
(5.90) |
Если теперь |
принять, |
что |
|
|
|
"8L« |
V |
|
|
|
<i91> |
= ^ > ) + |
<ф = |
V |
(5-92) |
||
Продолжая процесс последовательных приближений, оконча тельное решение уравнения (5.84) получаем в виде равенств
= 2 |
= W t i r |
М > ) = / К Л ' |
м ' |
Ч > ) - S*¥jr>4 \bfj r v £ ! im ,* '
V
(6 = 2, 3, 4,...). (5.93)
Получим теперь формулы для расчета макроскопических модулей упругости статистически однородных сред на основе решения стохастической краевой задачи (5.65), (5.66).
IVr>I I{Cl™{r)+ |
+ |
I |
= |
+ l e ^ w U r H - (5 -9 4 > |
|
По определению макроскопической модели микронеоднородной среды
(5.95)
|
|
|
(5.96) |
Итак |
|
|
|
С*. |
I + 1 |
I • |
«-97> |
'ijmn = <и!пп+ I |
Предлагаемый метод решения стохастической краевой задачи позволяет естественным образом учесть реальную геометрическую форму и условие связанности структурных компонентов микроне однородной среды, а также неоднородное распределение напря жений и деформаций в матрице и включениях. Это стало возможным благодаря тому, что в качестве первого приближения микронеоднородной среды со статистически однородной структурой используется не однородная среда с осредненными свойствами, а микронеоднородная среда с регулярной структурой. Решение краевой задачи (5.68), (5.69) для среды с регулярной структурой и вид функции Грина для такой же среды, на основе которых получено решение стохастической краевой задачи (5.65), (5.66), непосредственно зависят от всех названных выше тонких эффектов микромеханики.
5.6.Оценка влияния
дискретного и распределенного разбросов упругих свойств компонентов
При производстве углерод-углеродных композитов получение армирующих элементов и самих армированных систем обычно осуществляется в виде двух раздельных операций. Нестабильность технологического процесса в операции получения углеродных волокон обусловливает разброс их механических свойств, который на финишной операции получения армированной системы «рас пределяется» в углеродной матрице. Нестабильность технологиче ского процесса на «финишной» операции вызывает разброс механических свойств от изделия к изделию как у углеродных волокон и углеродной матрицы, так и у армированной системы в целом. Первый вид разброса назовем «распределенным», второй—«дискретным». В соответствии с технологией изготовления композита эти разбросы являются статистически независимыми.