книги / Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций

1) понижения размерности задачи на единицу, т. е. число неизвестных пропорционально не объему тела, а его поверхности;

2) более простого разбиения на элементы: разбивается только поверхность.

Рассмотрим численную процедуру решения граничных задач механики деформируемого тела. Граничное интегральное урав­

щения и напряжения, возникающие в точке г в х.-и направлении и соответствующие единичной сосредоточенной нагрузке, действу­ ющей в х-м направлении и приложенной в точке ^l =V (так называемые фундаментальные решения); £/.(/), pfr)—перемещения

(6.39)

Здесь Gt д—упругие постоянные, модуль сдвига и коэффициент Пуассона соответственно, 17 —^1 —расстояние между точкой tj, к которой прикладывается нагрузка, и некоторой точкой г прост­ ранства, п—вектор внешней нормали к границе тела, 8 .—символы

Кронекера.

При анизотропии общего вида аналитические выражения для фундаментальных решений неизвестны. Исключение составляет трансверсальная изотропия материала. Аналитические выражения

для тензора фундаментальных перемещений трансверсально

изотропного материала приведены в работе [53]. Эти выражения очень громоздки, поэтому их здесь приводить не будем.

Таким образом в интегральное уравнение (6.38) входят фундаментальные решения, которые известны для изотропных и трансверсально изотропных материалов. Вместо попытки найти решения уравнения (6.38) в явном аналитическом виде, что является трудной задачей, решить которую можно лишь для тел простой геометрии и несложных граничных условий, в методе граничных элементов используется численный подход. Основные этапы этого подхода можно определить следующим образом:

1)границу Г разбиваем на ряд элементов, на которых перемещения и усилия задаются в форме кусочных интер­ полирующих функций между узловыми точками элементов;

2)уравнение (6.38) записываем в дискретной форме для каждой точки ij границы Г и вычисляем интегралы (обычно по

схемам численного интегрирования) по каждому граничному элементу, в результате получаем систему N линейных алгеб­ раических уравнений относительно N напряжений и N переме­ щений в узлах;

3) налагаем граничные условия и соответственно задаем N узловых величин (напряжения или перемещения в каждом узле

икаждом направлении);

4)для нахождения остальных (неизвестных) граничных вели­ чин численными методами решаем систему с N неизвестными.

Предположим теперь, что граница разбита на элементы. По порядку аппроксимации перемещений и усилий они могут быть постоянными, линейными, квадратичными или более высокого порядка. Аппроксимируем величины U. и р. на каждом элементе

спомощью интерполирующих функций

v, = Ф ,//;,

(6.40)

- * Л

где Ф-j—базисные интерполирующие функции могут быть различ­ ными для U. и р.; Uj, р"—узловые перемещения и напряжения.

где Г.—поверхности /-го элемента, N—число элементов на

поверхности тела.

Для вычисления интегралов обычно используется одна из схем численного интегрирования, например квадратурная формула Гаусса.

Отметим, что уравнения (6.41) представляют собой - систему алгебраических уравнений для отдельного узла. Построив такую систему для каждого из узлов на поверхности и объединив их,

получим систему уравнений, связывающих перемещения и усилия во всех узловых точках поверхности.

Далее ^ этой системе необходимо добавить граничные условия. Затем систему уравнений необходимо преобразовать так, чтобы все неизвестные оказались в левой части. Тогда получим обычную систему N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными. Решив эту систему, например методом Гаусса, получим полное решение во всех точках поверхности тела.

Одно из интересных свойств граничных элементов состоит в том, что базисные функции в выражениях (6.40), используемые для аппроксимации усилий и перемещений, могут быть постоян­ ными внутри элемента. Хотя при этом возникают разрывы функций на общей границе элементов, «постоянный» элемент дает хорошие результаты для многих сложных задач [13]. Обычно именно его используют вместо более точных элементов. При необходимости увеличить точность можно увеличить порядок аппроксимации функций внутри элемента. При этом разрывы функций между элементами сохраняются. Это позволяет не накладывать условия совместности на границах между элементами.

Элементы М017Т быть изопараметрическими, т. е. те же узлы могут быть использованы для описания геометрии поверхности. Дополнительным преимуществом разрывных элементов является то, что можно легко сочетать элементы различных форм и разного порядка аппроксимации, поскольку не требуется выполнять условие совместности между элементами.

Перейдем теперь к конкретной численной реализации решения краевой задачи на ячейке периодичности с использованием метода граничных интегральных уравнений. Армирующие волокна в УУКМ обладают трансверсальной изотропией. Поэтому необходимо иметь фундаментальное решение для среды с таким типом анизотропии. Фундаментальные перемещения для трансверсально изотропной среды опредлены в работе [53]. Эти выражения из-за громоздкости здесь не приводятся. Смысл их показывает формула

перемещений, показывающий связь между усилиями в точке rj и

перемещениями в точке г.

Покажем, как из формулы (6.42) можно получить фундамен­ тальные решения для усилий.

Продифференцируем перемещения в выражении (6.42) и, используя закон Гука, перейдем к напряжениям, после умножения которых на вектор внешней нормали п в конкретной точке

При конкретной реализации проводят чисенное дифференци­ рование тензора фундаментальных решений 4 /) в данной точке и умножение его на тензор жесткости С..у и вектор внешней нормали лт .

Рассмотрим теперь конфигурацию ячейки периодичности. Упрощенная ячейка, приведенная на рис. 6.5, все же требует слишком больших ресурсов ЭВМ. Существенного уменьшения числа граничных элементов, и, соответственно, числа неизвестных можно достигнуть при переходе к прямоугольным волокнам, так как прямоугольные волокна можно описать небольшим числом плоских граничных элементов. Один из вариантов ячейки с такими волокнами показан на рис. 6.8. Такая ячейка позволяет менять

форму волокон (отношение размеров в поперечной плоскости) и относительную концентрацию волокон разных направ­ лений. Недостатком этой ячейки явля­ ется обязательный контакт волокон друг с другом. Следствием этого является зависимость доли матрицы (см. рис. 6.8, IV) от относительных долей волокон всех направлений. В то же время многие реальные композиты с пространственным армированием имеют плотную упаковку, т. е. волокна в них также соприкасаются

Рис. 6.8. Ячейка материала друг с другом. Эта модель ячейки

“ Т З ы м и .оло^наГ*” " периодичности позволяет описать «остаточно большой класс композиционных

материалов со структурой типа 3D. Рассмотрим более подробно геометрические характеристики ячейки, изображенной на рис. 6.8.

Тот факт, что в модели используются прямоугольные волокна, не позволяет напрямую задавать объемные доли направлений такими же, как в композите с круглыми волокнами. Однако в модель можно заложить отношение объемов всех направлений друг к другу.

Пусть волокна направления I на рис. 6.8 имеют квадратную форму, а волокна направлений II и III—прямоугольные с отношением высоты к ширине 1:2. Причем волокна направлений II и III имеют объемы в два раза меньшие объема направления I. Тогда можно определить геометрические характеристики ячейки, показанной на рис. 6.8.'

т. е. мы имеем все геометрические характеристики ячейки, выраженные через один произвольно выбираемый параметр:

По этим характеристикам можно также получить относитель­ ный объем матрицы (IV), соответствующий геометрическим параметрам. Он будет составлять около 12 % для описанного примера.

Аналогично приведенному выше производится определение геометрических характеристик ячейки с произвольными относи­ тельными долями волокон различных направлений.

Усложнение ячейки может быть сделано введением прослоек матрицы между волокнами разных направлений. В этом случае можно получить точное совпадение абсолютных объемных долей волокон всех направлений в модели и в реальном материале. Однако при численном решении краевой задачи для такой ячейки несколько увеличивается число неизвестных и отсутствует воз­ можность определения напряжения при контакте двух волокон.

Рассмотрим теперь, как производится дискретизация при решении краевой задачи на ячейке методом граничных интеграль­ ных уравнений. Для этого ячейку делят условно на отдельные блоки, таким образом, чтобы тензор модулей упругости был постоянным внутри каждого блока. Применительно к ячейке, показанной на рис. 6.8, это три блока волокон (трех направлений) и два блока матрицы. Заметим, что ячейка с прослойками матрицы между волокнами распадается на большее число блоков. На граничные элементы разбиваются поверхности всех полученных блоков. При этом в местах контакта блоков разбиение должно быть согласованным, т. е. граничный элемент на одном блоке должен точно накладываться на соответствующий граничный элемент смежного блока. Пример разбиения поверхности одного из блоков—волокна направления II приведен на рис. 6.9 в виде развертки. Разбиение других блоков производится аналогично.

Следующий этап решения краевой задачи—построение систем уравнений для всех блоков в отдельности. Для этого необходимо вычислить интегралы от фундаментальных решений (6.42) и (6.43) по всем граничным элементам блоков. Интегрирование осущест­ вляется численно с использованием квадратурных формул Гаусса. При разбиении волокон по схеме, приведенной на рис. 6.9, размер коэффициентов матрицы составляет 60x120 элементов при кусоч­ но-постоянном восполнении функций на граничных элементах.

После вычисления матриц коэффициентов влияния для всех блоков-подобластей ячейки производится объединение этих матриц в одну глобальную матрицу. Производится учет граничных условий для каждого блока, причем на поверхности смежных блоков задаются условия контакта. Задавая различные условия, можно моделировать как идеальный контакт, так и различные случаи проскальзывания и отрыва волокон и матрицы. Это позволяет изучать различные процессы структурного разрушения и уста­ навливать критерии разрушения для сложного напряженного состояния при произвольно задаваемых прочностных свойствах как отдельно волокон и матрицы, так и адгезионного слоя между ними.

При конкретной реализации проводят чисенное дифференци­ рование тензора фундаментальных решений в данной точке и умножение его на тензор жесткости С„к[ и вектор внешней нормали пщ.

Рассмотрим теперь конфигурацию ячейки периодичности. Упрощенная ячейка, приведенная на рис. 6.5, все же требует слишком больших ресурсов ЭВМ. Существенного уменьшения числа граничных элементов, и, соответственно, числа неизвестных можно достигнуть при переходе к прямоугольным волокнам, так как прямоугольные волокна можно описать небольшим числом плоских граничных элементов. Один из вариантов ячейки с такими волокнами показан на рис. 6.8. Такая ячейка позволяет менять

материалов со структурой типа 3D. Рассмотрим более подробно геометрические характеристики ячейки, изображенной на рис. 6.8.

Тот факт, что в модели используются прямоугольные волокна, не позволяет напрямую задавать объемные доли направлений такими же, как в композите с круглыми волокнами. Однако в модель можно заложить отношение объемов всех направлений друг к другу.

Пусть волокна направления / на рис. 6.8 имеют квадратную форму, а волокна направлений II и III—прямоугольные с отношением высоты к ширине 1:2. Причем волокна направлений II и III имеют объемы в два раза меньшие объема направления I. Тогда можно определить геометрические характеристики ячейки, показанной на рис. 6.8.'

По этим характеристикам можно также получить относитель­ ный объем матрицы (/У), соответствующий геометрическим параметрам. Он будет составлять около 12 % для описанного примера.

Аналогично приведенному выше производится определение геометрических характеристик ячейки с произвольными относи­ тельными долями волокон различных направлений.

Усложнение ячейки может быть сделано введением прослоек матрицы между волокнами разных направлений. В этом случае можно получить точное совпадение абсолютных объемных долей волокон всех направлений в модели и в реальном материале. Однако при численном решении краевой задачи для такой ячейки несколько увеличивается число неизвестных и отсутствует воз­ можность определения напряжения при контакте двух волокон.

Рассмотрим теперь, как производится дискретизация при решении краевой задачи на ячейке методом граничных интеграль­ ных уравнений. Для этого ячейку делят условно на отдельные блоки, таким образом, чтобы тензор модулей упругости был постоянным внутри каждого блока. Применительно к ячейке, показанной на рис. 6.8, это три блока волокон (трех направлений) и два блока матрицы. Заметим, что ячейка с прослойками матрицы между волокнами распадается на большее число блоков. На граничные элементы разбиваются поверхности всех полученных блоков. При этом в местах контакта блоков разбиение должно быть согласованным, т. е. граничный элемент на одном блоке должен точно накладываться на соответствующий граничный элемент смежного блока. Пример разбиения поверхности одного из блоков—волокна направления II приведен на рис. 6.9 в виде развертки. Разбиение других блоков производится аналогично.

Следующий этап решения краевой задачи—построение систем уравнений для всех блоков в отдельности. Для этого необходимо вычислить интегралы от фундаментальных решений (6.42) и (6.43) по всем граничным элементам блоков. Интегрирование осущест­ вляется численно с использованием квадратурных формул Гаусса. При разбиении волокон по схеме, приведенной на рис. 6.9, размер коэффициентов матрицы составляет 60x120 элементов при кусоч­ но-постоянном восполнении функций на граничных элементах.

После вычисления матриц коэффициентов влияния для всех блоков-подобластей ячейки производится объединение этих матриц в одну глобальную матрицу. Производится учет граничных условий для каждого блока, причем на поверхности смежных блоков задаются условия контакта. Задавая различные условия, можно моделировать как идеальный контакт, так и различные случаи проскальзывания и отрыва волокон и матрицы. Это позволяет изучать различные процессы структурного разрушения и уста­ навливать критерии разрушения для сложного напряженного состояния при произвольно задаваемых прочностных свойствах как отдельно волокон и матрицы, так и адгезионного слоя между ними.

Сформированная глобальная матрица имеет при описанном выше разбиении размер 252x252 элемента. Такую систему линейных алгебраических уравнений еще можно решать методом исключения Гаус­ са, но в связи с тем, что увеличение точности дискретизации приведет к значи­ тельному росту системы, был разработан специальный итерационный алгоритм на основе метода Гаусса—Зейделя. Этот ал-

Н^п,' .^ Й Г Е Й иЙ ГК ' ™ри™ позволяет получить решение более быстро, чем при решении методом исклю­

чения Гаусса.

В результате решения системы получаем все компоненты усилий и перемещений как на внешней поверхности ячейки периодичности, так и на всех внутренних поверхностях раздела волокон и матрицы. Напряжения и деформации во внутренних точках волокон и матрицы можно найти теперь, используя соотношения Сомильяны [9].

6.7.Эффективные свойства

ортогонально армированных композитов

Ниже приведены результаты расчетов эффективных термоуп­ ругих свойств УУКМ со структурой 2D и 3D.

Свойства материала, армированного в двух направлениях (рис. 6.10), рассчитаны методом осреднения жесткостей с исполь­ зованием метода граничных элементов в задаче микромеханики для ячейки периодичности однонаправленного композита.

определены из решения задачи методом граничных элементов для полной ячейки периодичности. При расчете эффективных свойств учитывалась их зависимость от температуры. Термоупругие свойства компонентов приведены в табл. 6.4, а упругие свойства и коэффициенты линейного теплового расширения УУКМ при различной температуре—в табл. 6.5.