книги / Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций
..pdfработы на основе гипотез, привлекаемых для пакета слоев в целом. Общим для большинства из них является допущение о характере распределения поперечных касательных напряжений или тангенциальных перемещений по толщине пакета.
Следует отметить, что несмотря на разнообразие уточненных моделей теории многослойных оболочек, результатов сравнитель ного анализа недостаточно для установления пределов применения или критериев использования того или иного варианта уточненных теорий. Тем не менее проведенные исследования показывают, что для макроскопически однородных тонких анизотропных оболочек введение кинематически неоднородных моделей деформирования по толщине пакета слоев не оказывает существенного влияния на механическое поведение конструкции в целом, а лишь усложняет анализ напряженно-деформированного состояния.
Исследование деформирования тонкостенных слоистых оболо чек из углерод-углеродных материалов на макроскопическом уровне будем проводить в рамках кинематической модели Тимошенко для всего пакета слоев. Разрешающие соотношения получим на примере оболочек вращения, так как многие элементы тонкостенных конструкций на основе УУКМ являются осесиммет ричными телами. Нелинейные геометрические соотношения [11] в квадратичном приближении в цилиндрической системе координат имеют вид
** - е* + М е* + ( К « - “’) ]-
Н ~ ев + 2
dU . |
о , |
dW . |
= d x ' |
+ ~dxC0S^ |
|
W/r, |
|
у + fl, 2(0= у — Q, |
Q = ^ x Sin^ |
dU |
|
dx C |
||
Здесь U, W—перемещение точек координатной поверхности обо лочки по касательной и по нормали к образующей оболочки вращения соответственно, у—угол поворота нормали при де формировании оболочки в меридиальном сечении; радиус ко ординатной поверхности оболочки вращения г = г(х); первона чальный угол между направлением нормали к координатной поверхности и осью вращения оболочки /3 = /3(х). Уравнения (8.1) описывают нелинейные деформации ех, ев, ехг координатной по
верхности оболочки, а компоненты тензора деформации е*. ej
ег в произвольной точке тонкостенной конструкции, удаленной
на расстояние z от координатной поверхности, определяются следующим образом:
*»+
(8.2)
* |
* |
= |
*е)- |
Компоненты тензора деформации в произвольной точке оболочки в системе координат, связанной с осями ортотропии слоя УУКМ, определяются соотношениями поворота тензора второго ранга,
егп |
= |
егх cos2 у |
+ eZqsin2р, |
|
в22 = |
ех sin2 ^ |
+ COs2 Ф* |
|
|
ei2 |
= |
(ее ~ ф |
sin |
|
еп = |
|
* 2 3 = ‘ ‘и * * 2* |
< * - 3 > |
|
где <р—угол армирования слоя, удаленного на расстояние z от координатной поверхности (угол между направлением нитей основы слоя и образующей оболочки вращения).
Линейные физические соотношения для слоя ортотропного материала в условиях плоского напряженного состояния имеют вид
|
|
|
(в11 +V12e22^ |
0х |
- |
Егг |
K 2 + V2ien )’ |
°22 |
" |
1 - v V |
|
° \2 |
= |
С12еП>. |
(8.4) |
|
где of—компоненты тензора напряжений в системе координат,
связанной с направлениями армирования слоя, E yv Е22—модули Юнга, vJ2, v21—коэффициенты Пуассона, G12—модуль внутрислой-
210
ного сдвига слоя УУКМ. Для оценки межслойных сдвиговых напряжений УУКМ используют также линейные физические соотношения
= с 13е13' |
°23 |
(8.5) |
|
где G13 и G23—модули межслойного сдвига пакета УУКМ.
Уравнения равновесия оболочки вращения в цилиндрической системе координат при осесимметричном деформировании имеют вид
1 т* „ « я + 1 . 7 *
~г — х— 7 7> s ^ + ^ 7*. =
1 |
d(rKe> |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(1х |
|
|
1</(гМр |
|
|
|
|
|
|
г |
dx |
|
X |
~тх' |
|
|
1 |
|
. |
1 |
м |
|
(8.6) |
г |
dx |
|
г |
хв cos /3 |
= 0, |
|
при |
этом |
|
|
‘о* |
|
|
|
ЕчК II |
1 |
Еч* |
II |
1 |
|
К х
где
= Тхг + Тха -
Л II
R2—главные радиусы кривизны срединной поверхности,
Тх, Тв, —мембранные продольные и сдвиговые усилия,
Txz—перерезывающие усилия, Мх и Мв—изгибающий и крутящий
моменты, дх, qg, <7n, тх—проекции векторов внешних усилий и
моментов, приведенных к координатной поверхности оболочки вращения. При формулировке краевой задачи соотношения (8.1)—(8.6) должны быть дополнены необходимыми граничными условиями.
Системы разрешающих уравнений, описывающих нестационар ное поведение оболочки вращения при осесимметричном напря женно-деформированном состоянии, получим на основе вариацион ного принципа Даламбера—Лагранжа. Вариационное уравнение в этом случае имеет вид
J dw dh |
■И1 |
(8.7) |
А |
|
|
|
иди + W6W+ j^Y^Y\dA - АА = °» |
|
где Л—площадь координатной поверхности оболочки вращения, р —плотность материала, А—толщина оболочки, А—работа внеш них сил, w—удельная энергия упругой деформации осесим метричной оболочки, определяемая следующим выражением:
W = \ t C U ex + 2 С 12ехев'+ С 22ев + |
C S5exz + А \ \ ехКх + |
+ 2А12е^св + А22е9кв + |
+ ^D\-fxKe + |
Жесткостные характеристики УУКМ многослойной оболочеч ной конструкции A.., C.j и D.. определяют осреднением упругих
свойств слоев по толщине пакета:
с ,у |
= |
|
|
п |
|
Aij |
" 2 2 |
” zn^ |
|
п |
|
D« = |
<«•’ > |
|
|
п |
|
Здесь л—число слоев УУКМ тонкостенной оболочечной конст рукции, zn+1 и zn—расстояния от координатной поверхности
оболочки до наиболее удаленной и ближайшей точек л-го слоя, В*—жесткостные характеристики л-го слоя в конструктивной
(х, в , z ) системе координат, определяемые жесткостными харак теристиками материала слоя и ориентацией слоя по отношению к образующей оболочки вращения
K i = В \ / + 2(В\г + 2B -Jc4 +в ;/ , |
||
Кг = К / + 2<Кг+ 2КУ^ + К/- |
||
Кг = К , + В 22 - 4КУ^ + Кг<с*+ Л |
||
Кб = (К, + вп~ 2Кг~ ЩУ* + КУ + л |
||
Кб = |
К , |
" Кг~ 2КУ* + (Кг - Кг+ “ D ® *. |
Кб = |
(Ki |
~Кг~^ б ) “ 3 + <-Кг- Кг+ *КУ‘>«-Н» |
где |
|
|
|
В П = V < > |
- , V.2V2l)> *22 = *22/(1 - V )2 V2 1 ) , |
л ; б = |
С , , , |
|
Кг = V12* 22’ С= cos f"’ |
s ~ sin К' |
|
<pn—направление |
армирования нитями основы л-го слоя |
УУКМ. |
|
Численная реализация вариационного уравнения (8.7) осуще ствляется путем преобразования исходной краевой задачи к последовательности нелинейных краевых задач относительно пространственных координат. Для этого проводят дискретизацию по -временной координате, при которой процесс деформирования (нагружения) конструкции разбивается на ряд этапов (шагов) по параметру t, а производные обобщенных перемещений по времени
£/, |
W |
и у аппроксимируются конечно-разностными |
аналогами |
[72]. |
В рамках пошаговой процедуры полагаем величину шага |
||
т |
достаточно малой, искомые перемещения на к + 1 |
временном |
|
слое определяем состоянием механической системы на предыдущих этапах, получаемых решением соответствующих нелинейных стационарных краевых задач. Численную реализацию нелинейной стационарной задачи для оболочки вращения осуществляем вариационно-разностным методом [бб].
Математическое моделирование процесса деформирования обо лочки вращения позволяет определить в любой момент времени распределение полей напряжений и деформаций в слоях много слойной тонкостенной конструкции и провести оценку ее несущей способности по совокупности структурно-феноменологических кри териев прочности на основе сплайн-аппроксимации предельной поверхности прочности слоя УУКМ. Кроме того, в рамках предлагаемого подхода открывается возможность использования обратных связей между параметрами состояния механической системы и параметрами траекторий деформирования. Применяемая при этом комбинация сравнительно простых численных методов является в определенном смысле универсальной и довольно эффективной.
8.2.Численное исследование динамического поведения
инесущей способности углерод-углеродной оболочечной конструкции
Рассмотрим нестационарное деформирование многослойной оболочечной конструкции из углерод-углеродного композиционного материала, приведенной на рис. 8.1 и представляющей собой по
Рис. 8.1. Тонкостенная углерод-углеродная конструкция. Расчетная схема
углеродной ткани и имеет структуру армирования типа 2D «Кубин» (см. рис. 7.13). Прогнозирование жесткосгных и проч ностных характеристик слоя рассмотрено в предыдущей главе. Раскрой и укладка слоев в осесимметричной оболочечной конст рукции выполнены таким образом, чтобы направление нитей основы ткани совпадало с осевым направлением х, а направление нитей утка—с окружным направлением 0. Толщина оболочечной конструкции является переменной величиной, изменяющейся по кусочно линейному закону (см. рис. 8.1).
Краевые условия задачи формулируем следующим образом: граничные условия
U Iх= 0 |
до. |
|
начальные условия |
|
|
U \t=Q |
= vQ, 0 < х < L, |
(8.12) |
где vQ—первоначальная скорость осевого перемещения оболочки,
L—длина оболочки.
В сечении х = 0 действует осевая нестационарная сила торможения оболочки P(t), закон изменения нагрузки во времени приведен на рис. 8.2 и имеет вид
P^t |
при |
0 < t < tQ, |
|
т = ^ i(2*0 ““ 0 |
при |
*0 <Г<»3*0, |
(8.13) |
Л (* “ 4*о) |
ПРИ |
|
|
ще Рх = PQ/tQ.
Таким образом описываются условия нагружения в усилиях. Соответствующий соотношениям (8.13) вариант записи условий
Рис. 8.2. Закон изменения осевой нагрузки, действующей на углерод-углеродную оболочку
нагружения в перемещениях для центра может быть представлен следующими соотношениями:
при 0 < t < tQ,
(т—масса оболочки).
Численное исследование деформирования тонкостенной конст рукции из углерод-углеродного композиционного материала про
водили |
при |
следующих |
исходных |
данных: PQ = |
200 кН, |
= 1 ... 2 мс, |
vQ= 15 мс, диаметр цилиндрического |
патрубка |
|||
Dc = |
1,15 м, |
наибольший |
диаметр |
конической |
оболочки |
DK= 1,5 м, длина цилиндрического патрубка LQ = 0,1,м, длина
оболочки L —0,45 м, масса оболочки т — 30 кг. Общий вид и расчетная схема нагружения многослойной оболочки приведены на рис. 8.1. Жесткостные и прочностные характеристики слоя УККМ типа «Кубин» соответствуют данным, приведенным в гл. 7. Граничные и начальные условия принимаем в виде (8.11) и (8.12). Помимо условий нагружения (8.13), рассматривались следующие варианты внешних воздействий на исследуемую конструкцию:
Р = P(t), и \t=Q = v |
tf(0, 0 = U(0, t0) при t > t0 |
(8.15) |
либо
Р = 0, U lf=0 = V Щ0, 0 = 0 при t > 0 . |
(8.16) |
Необходимость рассмотрения нескольких вариантов нагружения обусловлена недостаточной экспериментальной информацией о характере воздействия, отражающей реальный динамический режим работы углерод-углеродной слоистой оболочки. При этом вариант нагружения (8.16) моделирует удар оболочки без демпфирования. На рис. 8.3 приведено распределение напряжений Op при нагружении оболочечной конструкции по закону (8.14).
Графики соответствуют моменту времени t = tQ (когда P(t) = pQ)
и построены для различных значений параметра нагрузки fQ.
Результаты расчетов показывают, что при таком задании пара метров нестационарного воздействия скорость нагружения не оказывает существенного влияния на напряжения в слоистой конструкции.
На рис. 8.4 для стационарного нагружения (8.16) приведено распределение прогибов оболочки в различные моменты времени t. Видно, что в процессе деформирования тонкостенной конст-
Рис. 8.5. Изменение продольных напряжений в наружном (V) и внутреннем (2) слоях углерод-углеродной оболочки вращения
Рис. 8.6. Распределение окружных напряжений в наружном слое оболочки при различных режимах нагружения конструкции
прочности) Fg составляет 0,03, а структурные напряжения в
волокнах нитей утка и основы (а также в углеродном связующем) не превышает своих предельных значений;
2)для режима нагружения (8.15) max Fg = 1,13, а на
структурном уровне происходит разрушение углеродного связую щего и в некоторых наиболее опасных сечениях наблюдается разрушение армирующих нитей;
3) для режима нагружения (8.16) max Fg = 4,9, при этом
происходит множественное разрушение армирующих волокон и углеродного связующего на структурном уровне в больших объемах материала тонкостенной конструкции с исчерпанием ее несущей способности.
Исследуем возможность оценки параметров закона нагружения P(t), обеспечивающих наименее жесткий режим работы оболочеч ной конструкции из углерод-углеродного материала. Предположим, что уравновешивание конструкции как твердого недеформируемого
тела можно описать с помощью закона о балансе количества движения, тоща
t
mvQ = J* P(t) dt. (8.17) 0
Предположим также, что закон изменения силы P{t) является кусочно-линейным (см. рис. 8.2), а полное торможение оболочеч ной конструкции происходит в момент достижения осевой силой P(t) своего наибольшего значения. Тоща при заданных значениях первоначальной скорости оболочки vQ, амплитуды результатирую-
щей силы сопротивления PQ и массы оболочечной конструкции т значение параметра tQопределим из уравнения (8.17). Расчеты показали, что при vQ= 7,2 м/с, PQ= 200 кН и т = 30 кг значение tQ составляет примерно 2,4 мс.
Результаты расчета осевого перемещения левого (нагруженно го) торца оболочки вращения с момента начала ее торможения иллюстрирует рис. 8.7. Максимальное смещение оболочки проис ходит в момент времени t * tQ, определенный при решении
уравнения (8.17). Результат объясняется тем, что уравнение баланса количества движения (8.17) не учитывает деформируе мости углерод-углеродной конструкции.
Рис. 8.7. Осевое перемещение левого торца углеродной оболочки вращения
На рис. 8.8 приведено распределение прогибов оболочки в различные моменты времени до и после торможения тонкостенной конструкции как единого целого, причем максимальное значение прогиба достигается в момент времени t —2,5 мс.
Результаты расчета напряжений в поверхностных слоях тонкостенной конструкции в направлении нитей утка (а) и в