книги / Технология и проектирование углерод-углеродных композитов и конструкций

Рис. 8.8. Распределение прогибов углерод-углеродной оболочки в различные моменты времени: 1,5; 2,5 и 3,0 мс

Рис. 8.9. Напряжения в направлении нитей утка (а) и в направлении нитей основы (б) во внутреннем (7) и наружном (2) слоях оболочечной конструкции

направлении нитей основы (б) углеродной ткани в наиболее опасный момент процесса деформирования (7 = 2,5 мс) отражены на рис. 8.9. Максимальные напряжения возникают в области сопряжения цилиндрической и конической частей оболочечной конструкции—очевидно, именно в этой части оболочки вращения наблюдается наибольшая поврежденность слоев. Рис. 8.10 иллю­ стрирует уровень (степень) поврежденное™ наружного и внутрен­ него слоев углерод-углеродной конструкции в момент времени

Рис. 8.Ю. Уровень поврежденности внутреннего (У) и наружного (2) слоев углеродной конструкции

t = 2,5 мс через значение параметра F0, обратно пропорциональ­

ное коэффициенту запаса несущей способности соответствующего слоя.

Аналогичные расчеты для углерод-углеродной слоистой обо­ лочки вращения были проведены для случая, когда армирование тканевого слоя УУКМ проводилось по схеме «Граурис» (см. рис. 7.14). Жесткостные свойства несущего слоя углеродной конструкции принимались следующими: модуль Юнга в мериди-

ональном направлении Ех = 21 ГПа, модуль Юнга в окружном направлении EQ= 14 ГПа, коэффициент Пуассона слоя v = 0,09

(наименьший). Результаты численного исследования показывают, что деформирование конструкции при режимах нагружения (8.15)—(8.18) происходит аналогично. Распределение напряжений в различных слоях оболочечной конструкции, необходимые для оценки ее несущей способности, приведены на рис. 8.11 для режима нагружения определяемого соотношениями (8.15).

8.3. Расчет напряженного состояния пространственно армированных тел вращения

Толстостенные осесимметричные тела, подверженные воз­ действию разнообразных внешних нагрузок, достаточно часто встречаются в качестве несущих элементов конструкций и деталей машин. Динамическое поведение толстостенных цилиндров иссле­ довано в работах [36, 42, 54, 63], однако в них материал конструкции полагается обычно либо изотропным, либо ортотропным в цилиндрических пространственных координатах. Использо­ вание пространственно армированных волокнистых композитов [65] позволяет создавать неограниченное число вариантов арми­ рования тел вращения, что, в свою очередь, приводит к неоднородности макросвойств материала конструкции и требует использования более общих методов расчета полей напряжений. На рис. 8.12 приведены примеры пространственных схем армиро­ вания тел вращения по трем взаимно ортогональным направ­ лениям. Так, одна из приведенных схем армирования (см. рис. 8.12,а) приводит к макронеоднородности жесткостных свойств по радиальной, а другая (см. рис. 8.12,6)—по окружной координа­ там.

а6

Рис. 8.12. Пространственные схемы армирования тел вращения со структурой типа 3D на основе УУКМ

Численная методика решения динамических задач механики, использованная ранее для анализа оболочки вращения из УУКМ, может быть использована и для расчета тел вращения, но только для областей сравнительно простой геометрии. Это связано с тем, что конечно-разностная сетка, используемая для аппроксимации частных производных, не обладает достаточной гибкостью при

где индекс к означает принадлежность соответствующему элементу. Следует от­ метить, что суммирование в соотношениях (8.19) достаточно проводить только по элементам, непосредственно прилегающим к z-му узлу (на рис. 8.13 эти элементы заштрихованы). Остальные слагаемые тож­ дественно равны нулю в силу того, что

энергия деформирования элементов, не Рис. 8.13. Фрагмент ко- содержащих в качестве одной из вершин неч-но-элемеигной сетки

z-ro узла, не зависит от значений узловых перемещений и. или v., по которым осуществляется варьирование.

Для простоты изложения будем считать, что внешние не­ стационарные нагрузки можно моделировать сосредоточенными силами, приложенными в узлах сетки. При этом X, и Y. являются

проекциями вектора узловой нагрузки, приложенной в узле с номером z. Тогда вариация работы внешних сил на возможных перемещениях определится следующим образом:

Проварьировав работу сил инерции, получаем

(8. 21)

Суммирование в выражениях (8.21), как и в (8.19), следует проводить только по прилегающим к z'-му узлу конечным элементам.

В пределах конечного элемента функции перемещений и и v аппроксимируются с использованием базисных функций

где Л^.—базисные (координатные) функции, «—число узлов в

элементе. Варьирование по перемещениям z-ro узла(если z глобальной нумерации узлов принадлежит множеству узлов конечного элемента {1, ..., л} в локальной нумерации) в пределах элемента функций перемещений и их частных производных по пространственным координатам приводит к соотношениям

и V = ЛГ-,

канонический вид, что позволяет при численном интегрировании избежать операции обращения матриц высокой размерности и непосредственно использовать явные разностные схемы.

vkx, vkyt vkxv, vkyv в явном виде могут быть получены после выбора

формы аппроксимирующих базисных функций. Рассмотрим про­ стейший способ построения такой аппроксимации для элемента, содержащего п узлов. Введем локальную нумерацию узлов 1 ... л, полагая при этом, что узел 1 локальной нумерации соответствует г'-му узлу, а последующие локальные номера узлов соответствуют обходу контура элемента против часовой стрелки. Тогда среднее перемещение элемента можно вычислить как среднее арифметическое перемещений узлов элемента,

Частные производные перемещений конечного элемента рассчи­ таем с использованием численных аналогов контурных интегралов [23], предполагая выпуклость ячеек конечно-элементной сетки,

где х., у.—координаты узлов. Варьируя выражения (8.27) по

узлов и, кроме того, узел с номером (л + .1) соответствует первому узлу. Подставляя соотношения (8.26)—(8.28) в выражения (8.19)— (8.21), получаем окончательный алгоритм для исследования динамического поведения упругих анизотропных элементов кон­ струкций. После определения узловых перемещений для расчета деформированного и напряженного состояний конструкции после­ довательно используют геометрические соотношения Коши и обобщенный закон Гука.

Изложенный алгоритм позволяет численно исследовать напря­ женно-деформированное состояние элементов конструкций слож­ ной формы при воздействии нестационарных внешних нагрузок. Алгоритм достаточно универсален, без каких-либо затруднений обобщается на случай трехмерных элементов конструкций и тел вращения, не требует постоянного хранения в явном виде матрицы жесткости конструкции, а также обращения матриц высокой размерности, его эффективность не зависит от способа нумерации узлов и формы используемых при дискретизации элементов. Устойчивость численного интегрирования ограничивается общими требованиями к системам обыкновенных дифференциальных урав­ нений типа (8.24).

8.4. Оценка несущей способности и надежности цилиндра из углерод-углеродного материала со структурой типа 3D

Надежность сложных технических объектов определяется комплексом различных свойств, таких как безопасность, долго­ вечность, ремонтопригодность и др. [68]. Основным количествен­ ным показателем надежности является вероятность безотказной работы. Особенностью расчета надежности конструкций из во­ локнистых композитов является необходимость учета как случай­ ного характера внешних нагрузок, так и статистической природы прочности УУКМ. Как показано в работах [12, 69], вероятность

случайных нагрузок, Л'—функция надежности конструкций в пространстве внешних нагрузок Q. Закон распределения случайных нагрузок полагается заданным и, если .определена функция надежности конструкции, интегрирование выражения (8.29) может быть выполнено каким-либо численным методом.

Структура подынтегрального выражения позволяет, например, эффективно использовать алгоритм Неймана [34], согласно которому

с заданным законом распределения, полученные методами статис­ тического моделирования, N —число реализаций.

Данный подход позволяет свести статистическую задачу к последовательности детерминированных краевых задач, решение которых можно получить численно. Получив таким образом функцию надежности исследуемой конструкции, можно определить вероятность ее безотказной работы для любых значений статис­ тических параметров внешней нагрузки. Отметим, что при использовании численных методов решения краевых задач ме­ ханики конструкций задача определения надежности конструкции сводится к оценке надежности большой системы со счетным числом элементов, при этом надежность каждого элемента уже опреде­ лена. Элементами системы являются ячейки сетки (конечные элементы), на которой строится численное решение краевой задачи.

Точное построение функции надежности сложных систем, содержащих большое число элементов и не позволяющих про­ водить декомпозицию (выделение простейших подсистем с парал­ лельной или последовательной схемами связей), а именно к такому классу систем относятся подверженные дискретизации разностной или конечно-элементной сетками конструкции, представляет достаточно сложную проблему, которая, как показано в работах [6, 8], в общем виде еще не решена.

В практических расчетах широкое распространение получили различные оценки надежности больших систем, простейшая из которых [6] имеет вид

ще л—число элементов, Л*—надежность элемента с номером Л, определяемая как вероятность непревышения случайным тензором напряжений в элементе значений случайного тензора прочности композитного материала. Левая часть неравенства (8.31) соответ­

ствует гипотезе наислабейшего звена.

Физический смысл оценки (8.31) состоит в следующем: надежность произвольной системы не ниже надежности последо­ вательной и не выше надежности параллельной системы, состав­ ленной из тех же самых элементов. Поэтому оценка (8.31) в практических расчетах дает очень большой разброс значений надежности системы. Переход к минимаксным границам надеж­ ности [8] позволяет значительно улучшить оценку,

где и Q2—множества минимальных путей и сечений дискретной

системы. В работе [8] показано, что правая часть неравенства (8.32) является наилучшей оценкой надежности для больших значений R Тоща для оценки высоконадежных композитных конструкций справедливо следующее выражение:

(8.33)

В частном случае, если система не содержит таких элементов, отказ любого из которых (отдельно взятого) приводит к потере связанности, надежность системы, определяемая выражением (8.32), в качестве нижней границы будет иметь оценку

не накладывающую каких-либо ограничений на способ дискрети­ зации исследуемой конструкции и выделения критических путей и сечений в связанной системе.

Рассмотрим толстостенный полый цилиндр из углерод-углерод- ного композиционного материала, подверженный действию им­ пульса внутреннего давления. Схема армирования материала цилиндра высокопрочными волокнами приведена на рис. 8.12,6 (структура 32?, УУКМ типа «Кимф»). Ввиду того, что оси анизотропии не-совпадают с локальным базисом цилиндрической системы координат, в толстостенной конструкции при нагружении осесимметричной нестационарной нагрузкой в виде импульса давления помимо радиальных смещений точек тела будут наблюдаться также окружные перемещения. Поэтому при анализе