книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

122 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

провести аналитически [72]. В результате получим следующие выра­ жения для критических параметров:

V \ + t 2 + i

(4.70)

Функция f p(t) характеризует влияние поперечных сдвигов запол­ нителя на критическое усилие трёхслойной оболочки. При достаточно больших величинах t (жёсткие на сдвиги заполнители) функция / р близка к единице, и оболочка сопротивляется в соответствии с клас­ сическими гипотезами.

Для малых t (t ^ 1,6) функция f p(t) аппроксимируется выражением

(4.71)

Учитывая зависимости (4.71) и (4.68), из (4.70) найдём

(4.72)

Эта формула работает в области слабых на сдвиги заполнителей, когда выполняется условие

(4.73)

Если заполнитель достаточно жёсткий на сдвиги (t > 1,6), то функ­ цию f p(t) можно представить в виде

(4.74)

С учётом этой зависимости из (4.70) получим формулу для расчёта критического усилия:

124 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

При достаточно жёстких на сдвиги заполнителях уК2 > - T ^ J ,

как следует из (4.75), сдвиговые факторы играют поправочную роль, оболочка сопротивляется в соответствии с гипотезами прямолинейного элемента. При К 2 > ЮТ^ поправка, вносимая поперечными сдвигами, не превосходит 5%, в технических расчётах ею можно пренебречь, считая нормаль трёхслойной оболочки недеформируемой.

Необходимо иметь в виду, что применение рекомендованных фор­ мул обусловлено выполнением условия п2 1. Если это условие не вы­ полняется, то критические усилия определяются дискретной миними­ зацией по п выражения (4.63). Обычно в области слабых на сдвиги

заполнителей ^К 2 < - Т ^) указанные условия выполняются. Для дос­

таточно жёстких на сдвиги пакетов ^К 2 > форма волнообразо­

вания близка к форме для оболочек с абсолютно жёстким на сдвиги заполнителем (пкр ~ пж). В этом случае, если не выполняется условие пж > 1, хорошие результаты даёт подстановка в (4.63) величины пкр, вычисленной по формуле (4.70).

При исследовании устойчивости при внешнем давлении трёхслой­ ных конструкций с дискретными шпангоутами необходимо иметь в ви­ ду, что для слабых на сдвиги заполнителей критическое усилие опре­ деляется величиной К 2, которая не зависит от граничных условий.

Для достаточно жёстких на сдвиги пакетов ( К 2 > 2^2К) опРеДеляю" щую роль играет критическое усилие Т™, вычисленное для оболочки с абсолютно жёстким на сдвиги заполнителем. В этом случае подкреп­ ляющее влияние дискретных шпангоутов учитывается также, как для классических оболочек [1].

В заключение отметим, что результаты ряда экспериментов [27] по нагружению внешним давлением трёхслойных цилиндрических обо­ лочек показывают хорошее согласование теоретических и эксперимен­ тальных значений критических параметров.

4 .2 .4 . Особенности расчёта трёхслойных оболочек при круче­ нии. Устойчивость трёхслойных ортотропных оболочек при действии крутящего момента Мкр исследуется на основе соотношений (3.2), (3.5). Полагая в них Т\ = Т2 — 0, получим следующие разрешающие соотношения для определения критических параметров [ 66] :

В соотношениях (4.80) сохранены обозначения (1.4), (1.5), (4.40). Первое из соотношений (4.80) соответствует пологим оболочкам, вто­ рое — непологим полубезмоментным. Здесь т и п — числа полуволн в осевом и волн в кольцевом направлениях соответственно.

Заметим, что соотношения (4.80) получены лишь при частичном выполнении условий шарнирного опирания. Ниже будет показано, что

вслучае слабых на поперечные сдвиги заполнителей критические па­ раметры слабо зависят от граничных условий и определяются первым соотношением (4.80), а в оболочках с достаточно жёстким на попереч­ ные сдвиги заполнителем расчётные формулы будут скорректированы

всоответствии с результатами [24], где граничные условия удовлетво­ ряются точно.

Рассмотрим сначала трёхслойные оболочки со слабым на попереч­ ные сдвиги заполнителем, когда выполняется условие ш2 + шхф2 <с

<LOXLO2X2F2 (ф). В э т о м случае функция П (Ауф)у характеризующая

податливость трёхслойной оболочки на поперечные сдвиги, приводится к виду (4.41):

Подставляя это выражение в первое соотношение (4.80), после алгеб­ раических преобразований получим:

Для определения критического сдвигающего усилия S выражение (4.81) необходимо проминизировать по параметрам волнообразования А и ф. Проводя минимизацию по параметру А, найдём:

126 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

Из полученных соотношений видно, что они пригодны, если выпол­ няется условие К\ + К 2ф2р < 0,5 Т*0, т. е. оболочка имеет не слишком большие жёсткости на поперечные сдвиги.

Проминимизируем величину S в соотношении (4.82) по парамет­ ру ф. Как показал анализ, величина Т(ф) в области критических значений параметра ф слабо зависит от этого параметра; кроме того, в трёхслойных конструкциях, как правило, К\ з> Т (ф). Учитывая ска­ занное, при минимизации будем полагать величину Т (ф) постоянной. Тогда можно получить:

«запас» примем к(ф) = кор,г, где /сорт — коэффициент ортотропии, вы­ числяемый по формулам (4.9) или (4.12) для несущих слоёв и не пре­ восходящий единицы (корт ф 1).

В итоге выражения (4.82) для расчёта критических параметров принимают вид:

Как видно, зависимости (4.83) применимы для слабых на попереч­

для оценки сдвиговых критических усилий в оболочках вращения произвольной формы и в пластинах.

Формулы (4.85) соответствуют так называемой сдвиговой форме потери устойчивости и совпадают с результатом [85], который как частный случай получается из (4.83), если пренебречь изгибной жёст­ костью несущих слоёв (Т ™ = 0).

В трёхслойных конструкциях обычно изгибная жёсткость пакета Р\ много больше изгибной жёсткости Р*с отдельно взятых несущих слоёв (Pi > -Dfc), поэтому выполняется условие Р* ~ Р\. Тогда в формулах (4.83), (4.84) можно полагать

Анализ расчётных соотношений (4.83), (4.84) приводит к интерес­ ному выводу о том, что при потере устойчивости от кручения трёхслой­ ных оболочек, достаточно коротких и со слабым на поперечные сдвиги (4.84) заполнителем, не выполняется условие ф2р 2> 1 (п2р 2> А2р), характерное для классических оболочек. Поскольку анизотропия сла­ бых на поперечные сдвиги заполнителей (типа пенопластов) невелика (К\ ~ Кф), то из (4.83) следует, что ф\ ~ 1, т. е. Акр ~ пкр. Из (4.83) следует также, что параметры Акр и пкр волнообразования в этом случае являются большими величинами, т. е. при потере устойчивости от кручения в трёхслойных оболочках со слабым на сдвиги запол­ нителем образуется большое число ромбовидных волн. Образование большого числа коротких волн свидетельствует о слабой зависимости критической нагрузки от граничных условий. Формально этот вывод следует из соотношений (4.83), в которых от граничных условий за­ висит лишь малая величина Ткр <с К\. Заметим также, что величина критического усилия не зависит от длины оболочки.

Для достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей, когда

LU2 + со\ф2 од1од2А2^2 (Ф), как показывает численный анализ, законо­ мерности сопротивления трёхслойных оболочек аналогичны закономер­ ностям для классических оболочек: в продольном направлении обра­ зуется одна полуволна, сопротивление оболочки хорошо описывается

Критическое усилие в этом случае существенно зависит от длины оболочки. С учётом зависимостей Р*с «С D* « Dp соотношения (4.86) можно записать следующим образом:

Критическое усилие 5 кр получается отсюда минимизацией по пара­ метру волнообразования п.

128 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

Соотношение (4.87) соответствует модели прямолинейного элемента (типа сдвиговой модели С. П. Тимошенко). Если число кольцевых волн достаточно велико (n2 3> 1), то приходим к зависимости для пологих полубезмоментных оболочек:

Это выражение можно в аналитическом виде проминимизировать по параметру п и получить формулы для расчёта критических пара­ метров:

сдвиги. При абсолютно жёстком на сдвиги заполнителе (s2 /+ 1) при­ ходим к формулам (4.29) для классических оболочек (fs = 1). Заметим, что при получении расчётных зависимостей (4.89) дополнительно ис­ пользовались результаты [24], где точно удовлетворены условия шар­ нирного опирания.

В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей

130 Гл. 4. Устойчивость композитных цилиндрических оболочек

ишр не зависят от Л. Тогда после минимизации из (4.92) можно получить следующие расчётные формулы:

Если учесть, что в рассматриваемом случае сщА^р <с 1, то зависи­

Формулы (4.93), (4.94) следует применять для расчёта критических усилий в достаточно длинных оболочках, когда расчёт по формуле (4.91) даёт меньшие величины критических усилий, чем по (4.94).

Анализ расчётных формул (4.83) и (4.91) показывает, что кри­ тические нагрузки при кручении трёхслойных ортотропных оболочек определяются рядом параметров, которые можно назвать обобщёнными жесткостями:

К\, К 2 — жёсткости оболочки на поперечные сдвиги в двух на­ правлениях;

Т\Q, T f, 5Ж — критические усилия при абсолютно жёстком на поперечные сдвиги заполнителе; они характеризуют общую жёсткость трёхслойного пакета;

Т™ — критическое усилие при осевом сжатии оболочки при раз­ дельно работающих несущих слоях; они характеризуют жёсткость несущих слоёв.

Кроме того, расчётные формулы содержат необходимые параметры анизотропии: /сорт, Fi(ipKp), F2(,tpKp) и т. п.

Анализ расчётных формул на основе обобщённых жесткостей поз­ воляет установить границы применимости различных математических моделей (расчётных схем) при исследовании потери устойчивости