книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

П р и л о ж е н и е А

РАСЧЁТ ЖЕСТКОСТЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ ПО

ТОЛЩИНЕ МНОГОСЛОЙНЫХ И ТРЁХСЛОЙНЫХ

КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

А.1. Неоднородные по толщине многослойные оболочки

А. 1.1. Структура и жёсткости многослойного ортотропного пакета. Рассматривается в общем случае неоднородный, в частно­ сти, многослойный пакет общей толщиной h, состоящий из N слоёв (рис. А.1). Нумерация слоёв производится, начиная с внутренней по­ верхности оболочки. Каждый к-й слой толщиной h^ (к = 1,2,... , N) имеет однородную структуру, его нейтралвная (срединная) поверхности отстоит от внутренней поверхности оболочки на расстояние а,(к\

Полагается, что все слои являются ортотропными, их оси ортотропии совпадают с линиями главнв1х кривизн оболочки. В этом случае характеристики упругости каждого к-то слоя в тангенциаль­ ной плоскости ху определяются четырьмя модулями упругости Е ^

Сопротивление слоёв поперечным сдвигам характеризуется величи­

нами G ( i = 1,2), которые представляют собой модули сдвига А;-го слоя в плоскостях xz (i = 1) и yz (i = 2).

Здесь и в дальнейшем нижний индекс г относится к направлению анизотропии, а верхний индекс к — к номеру слоя.

Сопротивление ортотропного к-ro слоя в рамках модели прямой

фициентов Пуассона. Кроме того, сопротивление поперечным сдвигам в плоскостях xz, yz характеризуется сдвиговыми жесткостями к \ к\

К ^ . Перечисленные жёсткости находятся с помощью известных со­ отношений [31]:

оболочки (рис. АЛ). Тогда для расчёта жесткостей получаются следу­ ющие зависимости:

Здесь Bi — жёсткости многослойного пакета на растяжение-сжатие в двух направлениях (i = 1, 2), на сдвиги в тангенциальной плоскости (г = 3) и жёсткости на растяжение-сжатие, связанные с коэффициен­ тами Пуассона (* = 4); Di — некоторые изгибные жёсткости в двух направлениях (i = 1, 2), крутильная жёсткость (г = 3), изгибные жёст­ кости, связанные с коэффициентами Пуассона (г = 4), вычисленные относительно координатной поверхности ZQ. Величины Q являются статическими моментами соответствующих жесткостей Д относитель­ но оси, проходящей на уровне ZQ\ э т и величины характеризуют взаим­ ное влияние изгибных и мембранных компонент НДС в соотношениях закона Гука [32].

Как следует из (А.2), жёсткости Д многослойного пакета на растяжение-сжатие и сдвиги в тангенциальной плоскости не зависят от величины ZQ, т. е. от выбора координатной поверхности. В то же время статические моменты Ci жесткостей и изгибные и крутильные жёсткости Di существенно зависят от величины zo.

Можно показать, что для многослойного пакета с ортотропными слоями имеется четыре положения координатной поверхности Zi (г = 1, 2,3,4), для которых соответствующие статические моменты Ci обращаются в нуль, а изгибные и крутильные жёсткости прини­ мают минимальные значения. Именно минимальными жесткостями

висимости для определения минимальных жесткостей многослойного ортотропного пакета:

h Z i

224 Прил. А. Неоднородные по толщине композитные конструкции

Жёсткости Ki многослойного пакета на поперечные сдвиги в плос­ костях xz (г = 1) и yz (i = 2) определяются зависимостями [31]:

Учитывая, что в многослойных конструкциях модули упругости изменяются по толщине ступенчато, целесообразно (при N > 3) в при­ ведённых соотношениях интегрирование заменить суммированием:

Из (А.5) видно, что жёсткости Bi не зависят от выбора величины ZQ, т. е. от выбора координатной поверхности. В то же время стати­ ческие моменты Ci и изгибно-крутильные жёсткости Di существенно содержат величину ZQ. Для каждого номера i (i = 1,2,3,4) можно найти такое положение zo = z* координатной поверхности, при кото­ ром соответствующие статические моменты равны нулю. Приравнивая в (А.5) величину C i нулю, получим:

Из (А.5) следует, что величина С* равна нулю, если ZQ = z». Легко показать, что если изгибно-крутильные жёсткости D i (i = 1, 2,3,4) вы­ числять относительно осей, проходящих на уровне zit то эти жёсткости принимают минимальные значения. Минимальные жёсткости не зави­ сят от выбора координатной поверхности, являются собственными чис­ лами многослойного пакета и определяют сопротивление многослойной конструкции изгибам и кручению.

226 Прил. А. Неоднородные по толщине композитные конструкции

но разной толщины. Оно выполняется также, если многослойный па­ кет симметричен по толщине относительно срединной поверхности. В обоих этих случаях нейтральная поверхность совпадает со средин­ ной. Из (А.6) следует, что многослойная ортотропная оболочка имеет единую нейтральную поверхность, если выполняется условие:

Можно попытаться найти и другие частные случаи, когда много­ слойный пакет, составленный из ортотропных слоёв, имеет единую нейтральную поверхность.

Как известно, во многих случаях коэффициенты Пуассона оказыва­ ют незначительное влияние на результаты расчёта НДС, устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций. Поэтому при решении инже­ нерных задач обычно вводятся приведённые значения коэффициентов Пуассона, одинаковые для всего пакета. Приведенные коэффициенты Пуассона получаются из зависимостей (А.5) при г = 4:

В 11/2 = В21/\.

Если за коэффициенты Пуассона принять величины (А.9), то вы­ полняются следующие зависимости, получаемые из (А.6):

Отсюда следует, что если коэффициенты Пуассона одинаковы для всего пакета, то число центров жесткостей z* (число «нейтральных» поверхностей) снижается до двух. Один из них соответствует изгибу, другой — кручению многослойного пакета.

А Л .2. Расчёт характеристик упругости многослойных орто­ тропных пакетов с произвольным армированием. Структура мно­ гослойного композитного пакета представляет собой в общем случае произвольно расположенные слои следующих четырёх видов:

—слой, образованный армированием в некотором 1-м направлении

суглом укладки </? = 0° (например, в осевом направлении цилиндриче­ ской оболочки) — рис. А.2;

230 Прил. А. Неоднородные по толщине композитные конструкции

Модули поперечных сдвигов определяются соотношениями:

G\ = G\tpCos2ip + G2ipsin2p\

(A.13)

G2 = G\v sin2p + G2ipcos2p.

Для полной характеристики «бислоя» необходимо задать его об­ щую толщину hv=2 h = hM'3') (h — толщина монослоя) и расстояние av = а середины «бислоя» от опорной поверхности — в рассматри­ ваемом случае от внутренней поверхности оболочки.

Характеристики упругости монослоя с осевой и кольцевой армировками под углами р = 0° и <р = 9 0 °. Армировку с углом ар­ мирования <р= 0° составляют слои, уложенные вдоль оси 1 (рис. А.2). Из (АЛ 1), (А.12) и (А.13) при р = 0 получаем:

с соответствующими характеристиками армирующих элементов. В этих формулах опущены верхние индексы к\.

Армировку с углом армирования р = 90° составляют слои, уложен­ ные в направлении 2 (рис. А.2). Из формул (А.11), (А.12) и (А.13) при р = 90° следуют значения характеристик упругости монослоя второго

Здесь опущены верхние индексы к2 .

Полученные по формулам (А.11), (А.13), (А.14) и (А.15) харак­ теристики слоёв, составляющих многослойный, неоднородный по тол­ щине композитный пакет, вносят в табл. А.1, которая содержит все необходимые исходные данные для расчёта жесткостей многослойного