книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек
..pdfА.2. Трёхслойные оболочки |
231 |
пакета по формулам (А.З), (А.4) или (А.6), (А.7), (А.8). Этот расчёт можно запрограммировать, основываясь на предложенных выше соот ношениях.
А.2. Трёхслойные оболочки
Трёхслойный пакет (рис. А.4) состоит из двух несущих наружных слоёв и слоя заполнителя, расположенного между ними. Все три слоя в свою очередь могут быть выполнены также в виде многослойных
пакетов. Первый несущий слой (рис. А.4) имеет толщину hi |
и состоит |
|||||
в общем случае из N\ |
слоёв, каждый из которых характеризуется тол |
|||||
щиной h[k^ (к = |
1,2, |
|
модулями упругости |
(i = |
1,2,3,4) |
|
и двумя модулями G [\\ |
(г = |
1,2) поперечного сдвига. |
|
|||
Здесь Е \к\ |
Е 2к){ |
— |
модули |
упругости соответственно |
в первом |
|
ивтором направлениях к-го подслоя первого несущего слоя;
Е^ — модуль сдвига в тангенциальной плоскости к-го подслоя первого несущего слоя;
Е $ = E f f v f f |
= E $ v — модуль, связанный с коэффициентами |
(к) (к) |
к-го подслоя первого несущего слоя. |
Пуассона и2j , г^Ц |
Второй несущий слой (рис. |
А.4) также характеризуется |
|||
соответствующими величинами: /12. |
N2, |
h ^ \ |
в \2\ G \2\ G^ |
|
(г = 1,2, 3,4; к = 1,2, ...,N 2). Слой |
заполнителя |
(рис. А.4) толщиной |
||
6 состоит из N3 слоёв с толщинами 6 |
(к = |
1,2, ...,N 3) и, в общем |
||
случае, с таким же, как у наружных слоёв, набором констант
упругости: Е \ G\k\ G^ (i = 1,2,3,4; к = 1,2, ..., Аз).
Здесь у модулей упругости и сдвига первый нижний индекс отно сится к направлению анизотропии (г = 1,2,3,4), а второй — соответ ствует первому несущему слою (1), второму (2) или слою заполни теля (3).
Прежде чем определять жесткостные характеристики трёхслойного пакета, необходимо с помощью соотношений раздела А.1 найти жёст кости каждого из трёх слоёв. В результате применения формул (А.З), (А.4) или (А.6), (А.7), (А.8) можно найти (г = 1,2,3,4):
в \ х\ В ^ \ В — жёсткости на растяжение-сжатие, сдвиги и жёст кости, соответствующие коэффициентам Пуассона (г = 4), несущих слоёв и заполнителя;
D \ x\ D^2\ D^ — минимальные жёсткости несущих слоев и запол нителя на изгибы, кручение и жёсткости, соответствующие коэффици ентам Пуассона;
z \x\ z[2\ z^ — величины, определяющие центры жесткостей
внесущих слоях и заполнителе;
к[ х\ К^2\ К — жёсткости несущих слоев и заполнителя на поперечные сдвиги в двух направлениях (г = 1,2).
|
|
|
|
А.2. Трёхслойные оболочки |
|
233 |
|||
я , = * + ^ + |
( | - 4 ,) |
h |
_ г(2) |
h\ -\~ h2 |
|||||
2 |
* |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Н (О _ |
В |
( 2) |
|
?(>) |
; Н?> + Н Р |
|
|
||
|
-Нц Н (2) |
^ - Я |
|
(А.17) |
|||||
|
В, |
|
|
|
|
|
|
||
в Р н $ 1) = в Р н Р : |
= 1,2,3,4. |
|
|
|
|||||
Здесь B i, |
|
|
— |
соостветственно |
жёсткости трёхслойного |
пакета |
|||
на растяжение и сдвиг в тангенциальной плоскости и минимальные изгибно-крутильные жёсткости;
B fc, D fc — соответствующие суммарные жёсткости несущих сло ёв; D* — минимальные изгибно-крутильные жёсткости трёхслойного пакета с безмоментными (D fc = 0) несущими слоями. Величины Hi представляют собой расстояния между соответствующими центрами жесткостей несущих слоёв (рис. А.4).
Минимальные изгибно-крутильные жёсткости Di (i = 1,2,3,4) вы числены относительно соответствующих центров жесткостей z* трёх слойного пакета. Положения центров жесткостей для трёхслойных па кетов с лёгким заполнителем (рис. А.4) определяются зависимостями:
Zt = z (') + H^ = z ^ + ^ - H i . |
(А.18) |
Таких центров жесткостей для ортотропных многослойных пакетов в общем случае четыре. Если принять коэффициенты Пуассона одина ковыми для всего пакета, то число независимых центров жесткостей сократится до двух. Один из них соответствует изгибам, второй — кру чению. За коэффициенты Пуассона в этом случае следует принимать следующие приведённые значения:
|
|
V{21)в\1+ 42)в[2) |
|
|
В2 |
В2 |
|
|
|
(А.19) |
|
V2 |
^ В ^ + ^ В ^ |
v\X)B {2 ] + v {2)B {2) |
|
Bi |
В х |
||
|
При этом должны выполняться известные для ортотропных оболо чек зависимости:
B\i/2 = B2v\\ D2V\ = D \V2. |
(А.20) |
Анализ разрешающих зависимостей, опыт отработки и расчётов изделий показывают, что трёхслойные конструкции с лёгким заполни телем, как правило, сопротивляются в соответствии с моделью ломаной линии или моделями более низкого уровня (прямая линия, неизменная нормаль). Согласно модели ломаной линии поперечные сдвиги в несу щих слоях отсутствуют, а в заполнителе они распределены равномерно
234 Прил. А. Неоднородные по толщине композитные конструкции
по толщине. В этом случае для заполнителей получено следующее со отношение для расчёта жесткостей на поперечные сдвиги Ki (i = 1,2) трёхслойного пакета:
Ki = ^p~> * = 1 , 2 . |
(А.21) |
Если заполнитель выполнен в виде однородного слоя, то величины Gis представляют собой модули сдвига материала заполнителя в плос костях xz и yz соответственно. В том случае, когда лёгкий заполнитель выполнен в виде многослойного пакета, величины Gis представляют собой приведённые значения модулей сдвига. Они определяются с по мощью соотношений (А.4) или (А.8).
А .2.2 . Трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем. Если условия (А. 16) не выполняются, то заполнитель нельзя считать лёгким,
т.е. его жёсткости будут сопоставимы с жесткостями наружных слоёв.
Вэтом случае трёхслойный пакет будет частным случаем многослой ного, и его жёсткости и положения центров жесткостей определяются зависимостями (А.З), (А.4) или (А.6), (А.7), (А.8).
П р и л о ж е н и е Б
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Б.1. Геометрические параметры (г = 1,2,3,4)
hi, h2
S
h
ДО .(2) .(3)
н \ х\ H P
Ht = f f f }+ f f f }
R\, R 2 R l
p(x)
e
r 1 r 2
Ri = R 2 = R
толщины несущих слоёв; толщина заполнителя;
суммарная толщина многослойного (трёхслойного) пакета;
величины, определяющие центрв1 жёсткостей несущих слоёв и заполнителя;
величины, определяющие центрв1 жёсткостей многослойного (трёхслойного) пакета;
расстояния между соответствующими центра ми жёсткостей трёхслойного пакета и цент рами жёсткостей несущих слоёв;
расстояния между соответствующими центра ми жёсткостей несущих слоёв; радиусы кривизнв1 оболочки вращения; радиус цилиндрической оболочки; длина цилиндрической оболочки;
главный радиус кривизны конической обо лочки;
угол конусности, т. е. угол между осью конуса и его образующей;
радиус малого основания конуса; радиус большого основания конуса;
радиус сферической оболочки;
Б.2. Жесткостные характеристики многослойных оболочечных конструкций из композитов
(г = 1,2, 3,4)
Ei — модули упругости в ортотропных пластинах и оболочках;
Е 3 — бт|2, -Ёф — 1/\Е2 — V2E\
236 |
|
Прил. Б. Основные обозначения |
|
V\, V2 |
коэффициенты Пуассона; |
в[х\ B f \ |
вР |
жёсткости на растяжение-сжатие и сдвиги |
|
|
несущих слоёв и заполнителя; |
|
Bi |
суммарные жёсткости пакета на растяжение- |
|
|
сжатие и сдвиги; |
D{x\ D f\ |
D P |
минимальные изгибно-крутильные жёсткости |
дне = дО) |_д(2) |
несущих слоёв и заполнителя; |
|
суммарные минимальные изгибно-крутильные |
||
|
|
жёсткости несущих слоёв; |
Щминимальные изгибно-крутильные жёсткости трёхслойного пакета с безмоментными несу
|
|
|
щими слоями (D P = D P = D p = 0); |
D* = - B* Hf ; |
В* |
4В(Р В Р( _ |
|
г |
4 * * |
1 |
вр + вр ’ |
Dt = D fc+DP+D* |
полные минимальные изгибно-крутильные |
||
|
|
|
жёсткости трёхслойного пакета; |
|
G 13, G23 |
модули заполнителя на поперечные сдвиги; |
|
|
К\, К 2 |
— жёсткости пакета на поперечные сдвиги; |
|
|
ш\, Ш2, |
Ш2к |
— безразмерные податливости конструкции |
|
|
|
|
на поперечные сдвиги; |
|
|
w1 |
Dt |
102 = |
Dt |
LO\K D\2 . |
^2K |
P *2 . |
KiR? |
K2R2 |
K 1R2’ |
K 2R 2’ |
|||
n
Д ь Д 2, Д 3
параметр влияния поперечных сдвигов (О < < П < 1);
поправки от поперечных сдвигов на критиче ские усилия при действии осевых, кольцевых и сдвигающих нагрузок;
Д к л
ДПр
PO
Ho
погрешность применения к трёхслойным обо лочкам модели неизменной нормали при рас чётах на устойчивость;
погрешность применения модели прямолиней ного элемента; параметр влияния внутреннего давления
на критическое усилие при осевом сжатии; параметр влияния осевого растяжения на кри тическое усилие при действии внешнего дав ления;
Б.4. Дифференциальные операторы |
237 |
е\ — параметр подкрепляющего влияния сплошно го заполнителя на устойчивость цилиндри ческой оболочки при осевом сжатии;
e<i — аналогичный параметр при действии наружно го давления (в2 2> ei).
Б.З. Параметры анизотропии многослойных ортотропных оболочек
«1
R ^2 А - д - ,
корт
+ 21/2; « 2 |
В2(1 - |
viv-i) |
- 2г/9 |
а 9 |
|
В \2 |
|
-£>12 |
|
о |
г>* &2 |
( |
|
P i ~ l % ~ f o = 0); |
/^2 —— , |
вг |
(«2: |
||
В\ |
|
|
|
|
о.1+ 2Y^/3
коэффициент ортотропии, характеризующий «2 + 2\//? влияние вида анизотропии на критичес кие усилия при осевом сжатии и форму
волнообразования.
Б.4. Дифференциальные операторы
<94 |
д |
of |
— основные операторы, опре- |
||
|
2— о |
А —4 (* = 1.2) |
|||
|
я~- |
ду |
|
|
|
деляющие устойчивость |
и формы волнообразования ортотропных обо |
||||
лочек; |
|
|
|
|
|
Vc = 1 - R 2 {oJ\ + ^2к) 3^2 “ л2(^2 + WlK) -^2 + |
— ОПера- |
||||
тор, определяющий сопротивление оболочки поперечным сдвигам; |
|||||
1 - R 1 |
д2 |
Ы\„ |
|
|
|
Я22к——о + |
|
|
|
||
Пху |
ах |
ду2 v! — оператор, |
определяющий влия |
||
ние поперечных сдвигов на |
критические усилия; |
|
|||
В Д ) = l + a ^ + A V ’4; |
( *=1, 2) ; |
</>= ?= |
А = ^ ; |
||
m— число полуволн в меридиональном направле нии;
п — число волн в кольцевом направлении.
238 |
Прил. Б. Основные обозначения |
Б.5. Силовые факторы
Ти Т2, S, М, Q
Ti
|
|
|
|
|
т2 |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
Q |
q = T ° |
+2 S # |
|
|
д |
|
|
■т2^ ; |
||||
дх1 |
дхду |
|
“ Qyz |
||
|
2ТР, T2Kp, SKр, М кр, QKр |
||||
|
|
|
ТГР = кортТ10 |
||
Т 10 |
2_ |
|
|
V V |
|
|
|
R \7-Вг(1 - |
\ 2)D\ |
||
Ч |
~ |
д yjB 2{ \ - |
г/| //2) l)"c |
||
'Т ’Ж |
__ jL |
7 ^ Ж |
-1- 1 |
—«'орт-1 ю |
|
|
|
гркр |
куст |
эксп |
|
Т^кр |
||
действующие на оболочку уси лия, могущие привести к потере устойчивости;
осевое сжимающее усилие;
кольцевое сжимающее усилие;
усилие сдвига в поверхности оболочки;
крутящий момент; перерезывающая сила;
критические значения действую щих усилий, приводящие к поте ре устойчивости;
критическое усилие при осевом сжатии многослойной цилиндри ческой ортотропной оболочки;
критическое усилие осевого сжа тия при осесимметричном волно образовании;
критическое усилие трёхслойной оболочки при раздельно работаю щих несущих слоях и осесиммет ричной форме волнообразования;
критическое усилие при осесим метричном волнообразовании в трёхслойной оболочке с абсо лютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем;
критическое усилие в трёхслой ной ортотропной оболочке с аб солютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем;
коэффициент устойчивости;
-^теор
Б.5. Силовые факторы |
239 |
эксп
ТкР
ттеор
—экспериментальное значение сжи мающего осевого критического усилия;
—теоретическое значение сжимаю щего осевого критического уси лия;
т? |
_ |
|
|
|
|
|
— |
критическое |
значение |
кольцево |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
го усилия в цилиндрической обо |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
лочке с абсолютно жёстким на |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
поперечные |
сдвиги |
заполните |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
лем; |
|
|
|
|
|
^ _ |
Ц |
ЩB?(1 - |
"l"!)3^ |
— |
критическое значение сдвигового |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
усилия |
при |
кручении |
оболочки |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
с абсолютно жёстким на попереч |
|||||
T f, т2ж, S * , K 1, K 2, T I0, |
|
|
ные сдвиги заполнителем; |
|
|||||||||
T2HC — |
обобщённые жёсткости трёхслой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ных |
и |
многослойных |
оболочек |
||
|
|
TKP |
|
PKPR |
k |
|
|
при потере устойчивости; |
|
||||
|
|
— |
T |
— |
критическое |
усилие |
в |
класси |
|||||
|
|
T |
2 |
—корттo |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ческой |
сферической ортотропной |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оболочке при действии наружно |
|||||
|
|
2 |
_______________ |
|
го давления; |
|
|
|
|||||
|
To _ |
— |
критическое |
усилие в классиче |
|||||||||
|
R \ / # 2(1 - |
VIV2)DI |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ской |
сферической оболочке при |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
осесимметричной форме волнооб |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
разования; |
|
|
|
||
|
T0 _ |
R v 7B2(1 - |
viV2)Di |
— |
критическое |
усилие в трёхслой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ной сферической оболочке с аб |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
солютно жёстким на поперечные |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сдвиги |
заполнителем |
при |
дейст |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
вии наружного давления. |
|
||||
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих си стем. — М.: Машиностроение, 1978. — 312 с.
2.Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1987. — 360 с.
3.Бейкер Е. Экспериментальное исследование трёхслойных цилин дров и конусов, подверженных осевому сжатию. / / Ракетная тех
ника и космонавтика (пер. с англ.). 1968. Т. 6, № 9. С. 201-202.
4.Белова О.А., Горохова И.А., Сухинин С.Н. Устойчивость при осе вом сжатии многослойных композитных оболочек: теория и экс
перимент / / Изв. РАН: МТТ. 1999, № 1. С. 163-169.
5.Белова О. А., Сухинин С.Н. Исследование влияния круговых от верстий в цилиндрических оболочках из композиционных матери
алов на величину осевой критической нагрузки / / Космонавтика
иракетостроение. 1998, № 13. С. 156-163.
6.Белозеров Л.Г., Рубина А.Л. Устойчивость стеклопластиковых
оболочек при осевом сжатии / / Уч. записки ЦАГИ. 1970. Т. I,
№ 1. С. 124-133.
7.Бижляр П.П. Расчет упругой и пластической устойчивости трёх слойных пластин методом разделенных жесткостей / / Сб. пер. «Механика». — 1952, № 6 (16). С. 98-125.
8.Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчёт на прочность деталей машин: Справочник. — М.: Машиностроение, 1979. — 503 с.
9.Будрейка О.В., Носова З.М., Сухинин С.Н. О границах приме нимости различных гипотез к анализу осесимметричного НДС
трёхслойных оболочек из КМ |
/ / Прикладные проблемы прочно |
сти и пластичности. Методы |
решения. — Горький: ГГУ, 1988, |
С .92-99.
10.Бушнелл Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек — ло вушка для проектировщиков / / Ракетная техника и космонавтика (пер. с англ.). 1981. Т. 19, № 10. С. 93-154.
11.Буштырков А.А. О нижних и верхних критических нагрузках и об одном новом аспекте проблемы закритического поведения тонкостенных оболочек / / Тр. VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. — М. Наука, 1966. — С. 221-227.
12.Вайнгартен В.И., Морган Е.Дж., Сейд П. Устойчивость упругих тонкостенных цилиндрических и конических оболочек при осевом
сжатии / / Ракетная техника и космонавтика (пер. с англ.). 1965.
Т. 3, № 3. С. 151-157.
13.Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных мате риалов. — М.: Машиностроение, 1988. — 272 с.