книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

Чтобы доказать это утверждение, достаточно доказать справедли­ вость неравенства

критическое усилие (2.23) в одном несущем слое, если заполнитель тонкий. Анализ соотношения (2.7) показывает, что в реальных трёх­ слойных конструкциях с лёгким заполнителем (К с Тнс) выполняет­ ся соотношение

уж

поскольку для несущих трёхслойных конструкций Тнс <с К с\ К с ~ Тж. Подставляя в (2.24) зависимости (2.23) и (2.25), получим

Учитывая неравенство (2.23), найдём отсюда

гркр

± общ < 0,61(0,8)3/2 = 0,436 < 1,

2ТеКлР

что и требовалось доказать.

2.4.Запасы устойчивости трёхслойных стержней

слёгким заполнителем

Врезультате расчётов получим критическую силу (2.7) общей поте­

ри устойчивости трёхслойного стержня и критические силы (2.18) местной потери устойчивости Т*р, Т2кр для каждого несущего слоя. Чтобы вычислить запасы устойчивости стержня, полученные значения критических сил необходимо сравнить с расчётным значением Тр силы, сжимающей стержень. Между несущими слоями эта сила распределя­ ется пропорционально их жесткостям:

слоёв и всего трёхслойного пакета с лёгким заполнителем.

Запасы устойчивости определяются по известным соотношениям:

Тогда с помощью зависимостей (2.28) получим следующее соотно­ шение для определения критических значений силы Т2 и параметра волнообразования Ап:

Минимизацией данного выражения по параметру А„ найдём крити­ ческие значения величин. Легко убедиться, что правая часть является монотонной функцией аргумента (А2 —1), т. е. минимум правой части достигается при минимально возможном значении пкр = 2. В результа­ те получим следующие значения критической силы и формы волнооб­ разования при общей потере устойчивости трёхслойной круговой арки

Таким образом, форма волнообразования при потере устойчивости трёхслойной арки с лёгким заполнителем такая же, как и в классиче­ ских арках [79]. Используя это, получим из формулы (2.30) выражения для критической силы, полностью совпадающие по форме с соответ­ ствующей зависимостью (2.7) для трёхслойных стержней:

Из соотношений (2.31) следуют зависимости для расчёта критиче­ ских сил на основе более простых моделей. Например, если сдвиговая жёсткость заполнителя велика, т. е. выполняется условие

то можно применять классическую модель арки с неизменной нор­ малью, и

Таким образом, условие (2.32) является критерием применимости классических гипотез неизменной нормали к анализу устойчивости

44 Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок

трёхслойной арки. По аналогии со стержнями получим погрешность применения классической модели:

Если сдвиговая жёсткость заполнителя достаточно велика, но ко­ нечна, а несущие слои слабо сопротивляются изгибу, т. е. выполняется условие

то получим зависимость, соответствующую модели арки с прямолиней­

1 + ± ^

К с

Л 2

Следовательно, условие (2.35) служит критерием применимости модели прямолинейного элемента к расчёту трёхслойных арок. Погрешность применения этой модели определяется формулой

Для многих трёхслойных конструкций характерны маложёсткие (типа пенопластов) заполнители, при этом выполняется условие «С •С Т,2*. Тогда из выражений (2.31) получим одну из типичных для трёхслойных конструкций зависимостей:

По аналогии со стержнями (2.13) найдём отсюда критерий эффек­

Проведём анализ влияния граничных условий. В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей, когда выполняются усло­ вия (2.32) или (2.35), влияние граничных условий в точности такое же, как и для классических арок [79]. В этом случае в формулы (2.31) или (2.36) следует подставлять значения Т * вычисленные для реальных условий закрепления классических арок. Если же выполняется условие К 2 <С Т* , а расчёт ведётся по формуле (2.38) (маложёсткие запол­ нители), то граничные условия не оказывают существенного влияния, поскольку в этом случае обычно Щ 2> Т"с а величина Д 2 (критиче­ ская сила при так называемой сдвиговой форме потери устойчивости) не зависит от граничных условий.

Как и в случае трёхслойных стержней, устойчивость трёхслойных арок определяют три величины Т*, Т2С, К% ~ К 2 которые назо­ вём обобщёнными жесткостями трёхслойной арки. Эти три величины

определяют критические усилия, критерии применимости математиче­ ских моделей и влияние граничных условий.

Если в формулах (2.30), (2.31) положитв <у>о = 7Г. то придём к зави­ симостям для расчёта критических сил в трёхслойном кольце:

2.6. Устойчивость трёхслойных с жёстким заполнителем и многослойных арок

Если жёсткости заполнителя имеют тот же порядок, что и жёстко­ сти несущих слоёв, то такой заполнитель принято называть жёстким. В этом случае жёсткость заполнителя на поперечные сдвиги доста­ точно высока, выполняется условие (2.35), т. е. применима модель пря­ молинейного элемента. Кроме того, поскольку все слои в трёхслойной конструкции с жёстким заполнителем становятся равноправными, то такую конструкцию можно рассматривать как частный случай мно­ гослойной арки. Таким образом, расчётные формулы модели прямо­ линейного элемента обобщаются на многослойные арки. В итоге для расчёта критических усилий в трёхслойных арках с жёстким заполни­ телем и многослойных арках получаем с помощью соотношения (2.36) следующие зависимости:

Т"Ж

жёсткость многослойной арки и жёсткость многослойной арки на по­ перечные сдвиги. Формулы для вычисления этих величин приведены в Приложении А.

При расчёте на устойчивость трёхслойных с жёстким заполнителем и многослойных колец воспользуемся соответствующими формулами, следующими из соотношений (2.40):

46Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок

Втом случае, когда сдвиговая жёсткость К 2 многослойного пакета велика (Зс^ «С 1), можно пользоваться классической формулой для расчёта критической силы в кольце с неизменной нормалью:

2.7.Арки на упругом основании

ирасчёт местной устойчивости трёхслойных арок

При исследовании устойчивости арки на упругом основании от дей­ ствия внешней погонной нагрузки р воспользуемся классической мо­ делью арки с неизменной нормалью и моделью Власова-Пастернака для упругого основания. При таких предположениях для определения критической сжимающей силы можно получить следующее соотноше­ ние [73]:

ipo — угловой размер арки, Ъ— её ширина.

При получении зависимости (2.44) предполагалось, что число волн п велико (А^ » 1), т. е. арка пологая.

Проводя минимизацию по параметру А„, найдём критические зна­ чения параметров для расчёта на устойчивость арки на упругом осно­ вании:

^кр —

Как и в случае стержня, критическая сила в арке на упругом основании не зависит от её размера и, следовательно, граничных усло­ вий. Это происходит вследствие образования большого числа волн при потере устойчивости:

По этой же причине формулы (2.18), (2.45) для расчёта критических усилий в стержне и в арке на упругом основании совпадают с точно­ стью до обозначений.

Если арка прямоугольного сечения выполнена из однородного ма­ териала, то по аналогии со стержнями можно найти критическое

напряжение в арке на упругом основании, не зависящее от размеров поперечного сечения арки:

Е2 — модули упругости материала арки.

Если арка представляет собой замкнутое колвцо, то расчёт крити­ ческой сжимающей силы в кольце на упругом основании производится по формулам (2.45), где положено щ = тт.

По формулам (2.45) находится в общем случае критическая сила при местной потере устойчивости каждого несущего слоя трёхслойной арки под действием наружного давления. При этом запасы устойчи­

Г л а в а 3

РАСЧЁТ ИЗОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК НА ОБЩУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ

3.1. Разрешающие соотношения для исследования общей устойчивости

Уравнение устойчивости для ортотропных трёхслойных цилиндри­ ческих оболочек получается из соотношений (1.1), если в них поло­ жить: R\ —» оо; = R (R — радиус опорной поверхности цилиндри­ ческой оболочки):

Здесь сохраняются обозначения, принятые в (1.1).

Если решение уравнения (3.1) искать в виде (1.3), то для опреде­ ления критических величин усилий Т\, Т2, S получим зависимости, следующие из соотношений (1.4) и (1.5) при R\ —>оо, R 2 = R:

Ti + 2ф S + ф2Т2 = [Dr + D*{n (А, ф)} ^ (3.2)

Здесь приняты те же обозначения, что в (1.4), (1.5). Критические значения нагрузок Т\, S, Т2 определяются минимизацией выражений (3.2) по параметрам А и п (А и ф).

Для слабых заполнителей с высокой податливостью на поперечные сдвиги, когда выполняется условие (1.7) и влияние поперечных сдвигов велико (Q -С 1), функцию Q можно записать в виде (1.8).

В том случае, когда заполнитель достаточно жёсткий на попереч­ ные сдвиги и выполняется условие (1.9), применима модель прямой

линии, и вместо соотношений (3.2) можно использовать зависимости, следующие из (1.15), (1.16) при R\ —>оо, R2 = R:

Если поперечные сдвиги оказывают несущественное влияние (О, « ~ 1), то применима модель классических оболочек с неизменной нор­ малью. В этом случае из зависимостей (1.21) получим для цилиндри­ ческих оболочек:

В заключение выпишем аналогичные соотношения для расчёта кри­ тических усилий в непологих полубезмоментных цилиндрических обо­ лочках. В случае трёхслойных оболочек, сопротивляющихся адекватно модели ломаной линии, получим из (1.23):

TjA2 + 25 —(п2 - 1) + Т2(п2 - 1) =

В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей приходим к модели прямой линии, и соотношения для расчёта крити­ ческих усилий примут вид:

Если влиянием поперечных сдвигов можно пренебречь, то получаем зависимость для классических цилиндрических оболочек: