книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

Обычно при потере устойчивости от внешнего давления выполня­ ется условие гг2 1. В этом случае из соотношения (7.15) после ми­ нимизации по параметру п получаются следующие расчётною формулв1 для определения критического колвцевого усилия:

ip.

Коэффициент у в соответствии с [8] вычисляется по формуле:

Полученные расчётною формулв1 применимы, если выполняется

крЛ-х.

Если заполнителе достаточно жёсткий на поперечною сдвиги: К 2 > > 0,5 Тж, то можно использоватв модель прямолинейного элемента (типа сдвиговой модели Тимошенко). Тогда разрешающее соотношение

После минимизации этого выражения по параметру п можно по­ лучить следующую формулу для определения критического кольцевого усилия [72]:

Зная значения критических усилий, можно найти критическое внешнее давление. Для оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем (К2 < 0,5 Тж):

192Гл. 7. Устойчивость многослойных композитных конических оболочек

7.4.Устойчивость при действии крутящего момента

исдвигающих усилий

При исследовании устойчивости от действия крутящего момента Мкр или сдвиговое усилий S ограничимся слабоконическими пологи­ ми трёхслойными оболочками. Тогда можно восполвзоваться зависимо­ стями для цилиндрических оболочек. Особенноствю потери устойчиво­ сти подобных оболочек является то, что в случае слабв1х на поперечные сдвиги заполнителей при потере устойчивости образуется много волн как в кольцевом, так и в осевом направлениях [66]. В то же время до­ статочно жёсткие на поперечные сдвиги оболочки теряют устойчивость по классической схеме, образуя одну полуволну в осевом направлении. Поэтому необходимо рассмотреть отдельно каждый из этих типов потери устойчивости.

В случае трёхслойных оболочек со слабым на поперечные сдви­ ги заполнителем по аналогии с цилиндрическими оболочками можно получить следующие зависимости для расчёта критических усилий сдвига [66]:

S KP= y / ( K i + T - p ) К >; г кр k opTrI Z ^ j 1 - ^

Если трёхслойные или многослойные оболочки имеют высокую жёсткость на поперечные сдвиги, то по аналогии с цилиндрическими оболочками для расчёта критических усилий сдвига можно получить

Расчётные зависимости (7.23) для оболочек с малыми жесткостями

Расчётные зависимости (7.24) для оболочек с большой жёсткостью

чёты по формулам (7.23), (7.24) и выбрать минимальный результат.

Г л а в а 8

УСТОЙЧИВОСТЬ многослойных

СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ

8.1. Разрешающие соотношения

Рассмотрим устойчивость сферического сегмента с углом полураствора $. Значению д = 7г/2 соответствует полусфера, значению "д = д — полная сфера. Разрешающие соотношения на основе модели лома­ ной линии применительно к исследованию устойчивости трёхслойных и многослойных сферических оболочек получаются из зависимостей (1.1)-т-(1.5), если положить в них вместо радиусов кривизн R \, R 2 радиус сферической оболочки R = R\ = R 2. При S = 0 получаются разрешающие соотношения для анализа устойчивости сферического сегмента в случае действия наружного давления [71]:

= 77“с + D* — изгибная жёсткость трёхслойного пакета; D"c + П D* —

в широтном направлении и соответствующие коэффициенты попереч­ ной деформации; р — наружное давление; од, а2, фи Ф2 — параметры анизотропии трёхслойной конструкции. Величина П(А,ф), определяю­ щая влияние поперечных сдвигов (0 < Q ф 1), имеет вид (1.5).

Критическое значение усилия Ткр и соответствующие значения Акр, фкр параметров волнообразования получаются из (8.1) минимизацией по А и ф.

Из разрешающего уравнения (8.1), построенного на основе общей модели ломаной линии, как частные случаи получаются зависимости,

196 Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек

расчёта критического значения наружного давления в общем случае могут значительно отличаться от экспериментальных данных, что и на­ блюдается в изотропных однородных сферических оболочках.

В случае однородных по толщине h оболочек с характеристиками упругости Е н г жёсткости определяются соотношениями

В = Е h , D = 12(1 _ v2y

а формулы для расчёта критических параметров примут вид [8, 81]:

8.3.Изотропные трёхслойные оболочки

слёгким заполнителем

Рассмотрим устойчивость при действии наружного давления трёх­ слойных изотропных сферических оболочек. В этом случае разрешаю­ щее соотношение (8.1) приводится к виду:

Д Д 2’

Здесь б?3, S — соответственно модуль упругости заполнителя при поперечных сдвигах и его толщина; Н — расстояние между нейтраль­ ными поверхностями несущих слоёв.

Если заполнитель достаточно слабый на поперечные сдвиги (шх з> 1, К < 0,5 Т*), то из соотношений (8.7) прямой минимизацией

можно получить:

При выводе формул (8.8) принималось во внимание характерное для трёхслойных конструкций соотношение D* к D.

Если жёсткость К заполнителя на поперечные сдвиги достаточно ве­ лика (UJX <с 1, К ф 0,5Т^), то анализ устойчивости можно проводить

на основе модели прямой линии, В этом случае соотношение (8.7) примет вид:

Здесь величина шх <^i 1, и, как показал численный анализ, она слабо влияет на форму волнообразования. Учитывая это, проминимизируем выражение (8.9) по параметру х , считая величину D постоянной. Тогда

Если пренебречь квадратом малой величины £о, то расчётные фор­ мулы (8.10) примут вид:

Как видно из (8.8), (8.10), (8.11), критические усилия определяются тремя величинами: Тцс — критическое усилие, соответствующее обо­ лочке с раздельно работающими несущими слоями; Тж — критическое усилие трёхслойной оболочки с абсолютно жёстким (К —*• оо) на по­ перечные сдвиги заполнителем; К — жёсткость заполнителя на попе­ речные сдвиги — критическое усилие при так называемой сдвиговой форме потери устойчивости (b = 1). Этими тремя величинами (Т™, Тж, К) определяются обобщённые жёсткости трёхслойной изотропной сферической оболочки в задаче об устойчивости.

Соотношение между обобщёнными жесткостями оболочки опреде­ ляет две характерные области потери устойчивости. Так , в области слабых на поперечные сдвиги заполнителей (К < 0,5Т^, b < 1), как следует из соотношений (8.8), критическое усилие пропорционально жёсткости К заполнителя и слабо зависит от жёсткости Т™ несу­ щих слоёв, поскольку для силовых трёхслойных конструкций харак­ терна зависимость К Т™. Если заполнитель достаточно жёсткий (К > 0,5 Т*, b > 1), то, как следует из соотношений (8.10), (8.11), критическое усилие определяется обобщённой жёсткостью Тж, а попе­ речные сдвиги играют поправочную роль и слабо влияют на критиче­ ское усилие. Поправка от сдвигов определяется величиной

Если Дс <с 1, то можно применять классическую модель оболочек с неизменной нормалью и пользоваться формулами (8.5).

198 Гл. 8. Устойчивость многослойных сферических оболочек

Зависимости (8.10), (8.11) пригодны также для расчёта на устойчи­ вость многослойных сферических оболочек, сопротивляющихся по мо­ дели прямой линии либо по классической модели. Для этого доста­ точно при вычислении величины Г * подставлять соответствующие жёсткости оболочки на растяжение и изгиб; кроме того, необходимо принимать во внимание жёсткость К многослойного пакета на попе­ речные сдвиги [32, 41].

8.4. Устойчивость многослойных ортотропных оболочек (классическая модель)

Рассмотрим ортотропные оболочки сначала на основе классической модели. Критические характеристики таких оболочек определяются минимизацией выражения (8.3) по параметрам волнообразования А и 1ф. Проводя минимизацию по параметру А, найдём [71]:

Т = ^ = к ( ф ) ^ ^ Т Ш = к ( ф ) Т 0; То = | 0 ^ А ;

Величина Го соответствует критическому наружному давлению при осесимметричной форме (ф = 0) потери устойчивости. При этом кри­ тическое значение параметра А становится равным Аж (Акр = Аж).

В общем случае волнообразование неосесимметрично (ф Ф 0), и для определения критических параметров Ткр, Акр, фкр необходимо прове­ сти минимизацию функции к(ф) по ф. Проводя минимизацию, получим формулы для расчёта критической нагрузки и параметров волнообра­ зования при потере устойчивости многослойных ортотропных сфериче­ ских оболочек при действии наружного давления (од < а 2):

8.4. Многослойные ортотропные оболочки (классическая модель) 199

при потере устойчивости указывает на возможность удовлетворитель­ ного согласования теоретических и экспериментальных результатов. Как известно, в случае изотропных оболочек, когда форма волнооб­ разования теоретическим путём однозначно не определена, различие между и теоретическими и экспериментальными значениями критиче­ ских усилий достигает Зч-4 раз [8, 18]. Систематизированные экспе­ риментальные результаты по устойчивости ортотропных сферических оболочек нам неизвестны.

При подстановке в формулы (8.13), (8.14) соответствующих жёстко­ стей можно рассчитать критическое внешнее давление для вафельных сферических оболочек [40].

Для однородных по толщине h ортотропных сферических оболочек зависимости (8.14) принимают вид:

Здесь Ei, Е2, G12, v\, щ — характеристики упругости ортотропного материала оболочки.

Если анизотропия оболочек такова, что а\ > «2, то оболочки теряют устойчивость по осесимметричной форме. Это следует из соотношения (8.13), поскольку в этом случае величина к(ф) достигает минимума при фКр = 0 (/сорт = О- Критические параметры при этом определяются соотношениями:

Ткр= ^ = Т о = | У в д ; Акр= А 0; ^ кр= 0 (пкр = 0). (8.16)

Расчёт критических нагрузок в случае а\ = ач также проводится по формуле (8.16). Однако форму волнообразования в этом случае нельзя определить однозначно. Анализ зависимости (8.3) показывает, что критические параметры волнообразования при он = ач определя­ ются формулой

Таким образом, форма волнообразования при потере устойчивости от наружного давления в случае а\ = ач может быть любой, лишь бы выполнялось условие (8.17).