книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

3.2. Многослойные цилиндрические оболочки (классическая модель) 51

3 .2 .1 . О севое сж атие. В этом случае, полагая S = Тг = 0, найдём

Критическое усилие Т*р находится отсюда минимизацией по обоб­ щённому параметру волнообразования А(1 + ф2):

ТГР = Т10 = |\ / Ш З ; В = В{ 1 - г /2);

(ЗЛО)

В случае однородное изотропных оболочек, полагая

Eh3

В = Eh-, D = 12(1 - 1/2)

(Е, v, h — соответственно модуль упругости, коэффициент Пуассо­ на и толщина оболочки), из зависимостей (ЗЛО) получим известные формулы для расчёта критических напряжений и параметров волнооб­ разования:

Обратим внимание на то, что при расчёте на устойчивость изотроп­ ных цилиндрических оболочек при осевом сжатии форма волнообра­ зования не определена однозначно: параметры волнообразования Акр и пкр могут принимать произвольные значения, лишь бы между ними выполнялись соотношения (ЗЛО) или (3.11). Таким образом, одной критической силе соответствует множество вариантов форм волнооб­ разования. Это многообразие форм [36] является одной из причин большого различия между теоретическими и экспериментальными зна­ чениями критических напряжений [4, 10, 16, 45, 64, 81]. В связи с этим различием необходимо вводить поправочный коэффициент, умножая на него значения критических усилий и напряжений в формулах (ЗЛО), (3.11). Поправочный коэффициент куст можно принимать в соответ­ ствии с рекомендациями [8]:

52 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

При расчёте натурных оболочечных конструкций следует с осто­ рожностью относиться к данным, опубликованным в [12, 83], посколь­ ку многие из упомянутых там экспериментальных результатов полу­ чены на специальным образом изготовленных оболочках, в которых число неправильностей сведено к минимуму, что не всегда соответ­ ствует реалиям.

Приведенные выше формулы пригодны для оболочек средней дли­ ны, когда выполняется условие

то она теряет устойчивость по осесимметричной форме с одной по­ луволной в осевом направлении. В этом случае критическое усилие в многослойных оболочках определяется формулой

Ткр 7Г2D

Для однородных по толщине оболочек отсюда получаем известные [8] зависимости:

расчёт их на устойчивость следует проводить по формулам для сжатых стержней [81]

т кР = 2B R 2 2£2 '

3 .2 .2 . Внеш нее давление. Для исследования критических пара­ метров при действии внешнего давления р примем известное положе­ ние, что при потере устойчивости образуется одна полуволна в осевом направлении:

токр = 1 ;

3.2. Многослойные цилиндрические оболочки (классическая модель) 53

(R, I — соответственно радиус и длина оболочки).

Полагая в зависимости (3.9) Т\ = S = 0, получим соотношение для отыскания критических параметров пкр и Т*р при потере устойчивости цилиндрической изотропной пологой оболочки от действия внешнего

Критическое значение кольцевого усилия Т2 получается минимиза­ цией по дискретному параметру п. Если параметр п достаточно велик, то его можно считать непрерывно изменяющимся. Проведя в этом случае минимизацию при условии, что величина А2/п 2, содержащаяся в скобках, мала, найдём:

то из соотношений (3.14) получим известные формулы П.Ф. Папковича:

Если число волн пкр в кольцевом направлении мало и оболочку нельзя считать пологой, то необходимо воспользоваться соотношения­ ми для непологих полубезмоментных оболочек. В этом случае найдём

Критическое значение Т*р кольцевого сжимающего усилия получа­ ется минимизацией по дискретному параметру п волнообразования.

Как показывают соотношения (3.14), при потере устойчивости ци­ линдрической оболочки от внешнего давления параметры Акр и пкр волнообразования однозначно определены. Это позволяет предпола­ гать, что теоретические и экспериментальные значения критических усилий должны хорошо согласоваться. Опыт показывает, что различие

54 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

теоретических и экспериментальных результатов для многослойных оболочек находится в пределах 10 ч- 15%.

Полученные выше расчётные зависимости пригодны для оболочек средней длины, когда выполняются условия

критические усилия в них соответствуют критическим усилиям шар­ нирно опёртой прямоугольной пластины [8]:

7T2D

т,7

Длинные оболочки, для которых выполняются условия

£ > 2 P & / D ( | > 3 у / щ у

теряют устойчивость, как кольца, с образованием двух волн в окруж­ ном направлении:

3 .2 .3 . К ручение. В этом случае, как и в случае действия бокового давления, в оболочках средней длины при потере устойчивости образу­

ется одна полуволна в осевом направлении ^Акр = А) = С учётом этого из соотношений (3.9) можно получить для пологих оболочек:

Это соотношение соответствует решению (1.3), которое в рассмат­ риваемом случае не удовлетворяет граничным условиям шарнирного опирания и даёт заниженный результат. Используя результаты [24], где граничные условия удовлетворены точно, можно найти следующее выражение для расчёта критических параметров (п2 3> 1, п2 з> А[):

56 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

получим формулу Шверина [79]

Е( b _ Y 12

3\/2 (1 - j/2 )3/4 \ R J

3 .2 .4 . О зависимостях м еж ду критическими усилиями в и зо ­ тропны х цилиндрических оболочках. Выпишем полученные выше значения критических усилий для многослойных цилиндрических обо­ лочек при осевом сжатии, внешнем боковом давлении и кручении:

Нетрудно видеть, что между этими критическими нагрузками су­ ществует зависимость

Заметим, что соотношения (3.22) и (3.23) получены для случая шарнирного опирания цилиндрических оболочек.

3.3. Устойчивость трёхслойных цилиндрических оболочек с лёгким заполнителем

Для исследования общей устойчивости при сжатии и кручении трёхслойных оболочек с легким заполнителем воспользуемся гипоте­ зами ломаной линии. Разрешающие соотношения в этом случае имеют вид (3.2). Принимая во внимание зависимости (3.8), получим следу­ ющие соотношения для расчёта критических усилий в трёхслойных изотропных цилиндрических оболочках с лёгким заполнителем [34]:

Разрешающие соотношения (3.5) на основе полубезмоментной мо­ дели непологих трёхслойных оболочек в случае изотропных цилиндри­

Можно показать, что минимум величины Т\ достигается при ф = О, т. е. трёхслойные изотропные оболочки с лёгким заполнителем теряют устойчивость по осесимметричной форме (пкр = 0). В результате полу­ чим следующее выражение для расчёта критических усилий:

Проводя минимизацию этого выражения по параметру волнообра­ зования А, получим выражение для расчёта его критического значения:

3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем 59

В случае выполнения равенства 2К = наступает так называемая сдвиговая форма потери устойчивости, и расчётные формулы принима­ ют вид:

Если заполнитель имеет достаточно высокую жёсткость на сдвиги, то шА^р ~ 1. В этом случае можно из зависимостей (3.27) получить

\2 ™

Зависимость (3.35) по существу определяет критические параметры при осевом сжатии трёхслойной оболочки, сопротивляющейся в со­ ответствии с моделью прямолинейного элемента. Подставляя в выра­ жение (3.35) значение А = Акр, получим формулу для расчёта кри­ тических усилий в изотропных трёхслойных оболочках с жёстким на сдвиги заполнителем:

Как следует из формулы (3.36), она пригодна, если выполняется

Формулу (3.36) можно получить также непосредственной миними­ зацией зависимости (3.35) по параметру А. Сравнение критических усилий, полученных по формулам (3.31), (3.36), с результатами мини­ мизации по параметру А общего выражения (3.26) показало их прак­ тическое совпадение: погрешность не превосходит одного процента.

Из формул (3.31), (3.36) следует, что критические усилия при сжатии трёхслойных цилиндрических оболочек определяются тремя величинами:

TJQC — критическое усилие, соответствующее оболочке с раздельно работающими несущими слоями (жесткостная характеристика несу­ щих слоёв);

TjQ — критическое усилие при осевом сжатии трёхслойной обо­ лочки с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем (жесткостная характеристика всего трёхслойного пакета);

К — критическое усилие трёхслойной оболочки при так называемой сдвиговой форме потери устойчивости (жёсткость трёхслойного пакета на поперечные сдвиги).

60 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

Эти три величины естественно назвать обобщёнными жесткостями трёхслойных цилиндрических оболочек при осевом сжатии. Обобщён­ ные жёсткости определяют основные закономерности потери устойчи­ вости. Так, из соотношений (3.31), (3.36) следует, что для трёхслой­ ных оболочек характерны две области влияния поперечных сдвигов. В области 2К < Т * (слабый на сдвиги заполнитель) критическое усилие практически прямо пропорционально сдвиговой жёсткости К заполнителя (Т*р и К) и слабо зависит от жёсткости несущих слоёв. В этой области критическое усилие рационально увеличивать за счёт повышения жёсткости К оболочки на поперечные сдвиги. В области достаточно жёстких на сдвиги заполнителей (2К > Т^) в соответствии

ссоотношениями (3.36) критическое усилие определяется величиной

асдвиги играют поправочную роль. Так, увеличение жёсткости запол­ нителя на сдвиги в несколько раз приводит к увеличению критического усилия лишь на несколько процентов. Отсюда следует, что в области

2К > Т[* повышения критического усилия рационально добиваться за счёт повышения жёсткости В на растяжение-сжатие или увеличения расстояния Н между нейтральными поверхностями несущих слоёв.

Соотношение между обобщёнными жесткостями позволяет опре­ делить критерий рациональности трёхслойной конструкции. Примене­ ние трёхслойной конструкции оправдано, если её критическое усилие значительно превосходит критическое усилие TJQ, соответствующее раздельно работающим несущим слоям. Учитывая это, из соотно­ шения (3.31) получим критерий эффективности проекта трёхслойной

Отсюда видно, что в трёхслойных оболочках, как и в стержнях, соеди­ нение мощных несущих слоёв со слабым заполнителем неэффективно.

Обобщённые жёсткости и соотношение между ними определяют области применения различных расчётных моделей. Известно, что если пренебречь собственной изгибной жёсткостью несущих слоёв (Т^ = 0), то придём от модели ломаной линии к модели прямолинейно­ го элемента. Из соотношения (3.31) следует, что переход к модели пря­ молинейного элемента оправдан, если выполняется условие К Tf^. Поскольку это условие, как только что было показано, является од­ новременно и условием (3.38) эффективности трёхслойных оболочек, то для трёхслойных конструкций во многих случаях при расчётах на устойчивость можно использовать модель прямолинейного элемента. При этом погрешность Дпр применения такой модели составляет