книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

характерна, например, при потере устойчивости от действия наружного давления и кручения. В то же время в этих случаях почти всегда законно применение полубезмоментной теории трёхслойных оболочек, учитывающей непологость [19, 61, 65]. Используя результаты [61], найдём дифференциальное уравнение устойчивости полубезмоментных оболочек в следующем виде [66]:

Полученное дифференциальной уравнение имеет четвёртый порядок по меридиональной координате х и десятый — по окружной коорди­ нате у. В нём не учтены эффекты погранслоя [65], поскольку они не оказывают заметного влияния при исследовании устойчивости полу­ безмоментных оболочек.

Представим решение уравнения (1.22) в виде (1.3). Тогда для отыс­ кания критических значений нагрузок получим следующие соотноше­

аналогичным (1.6). При этом функция влияния поперечных сдвигов

и изменяется от нуля (раздельно работающие слои) до единицы (абсо­ лютно жёсткий на поперечные сдвиги заполнитель): 0 ^ Пп ^ 1.

32 Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек

Если заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги в кольцевом направлении, т. е. выполняется условие

то можно применять гипотезы прямой линии. В этом случае уравнение

Зависимости (1.27) пригодны также для анализа устойчивости трёх­ слойных оболочек с так называемым жёстким заполнителем и много­ слойных оболочек.

В том случае, когда можно пренебречь поперечными сдвигами в па­ кете, т. е. выполняется условие

применима классическая модель тонкостенной полубезмоментной обо­ лочки с неизменной нормалью.

Разрешающие соотношения для классических оболочек получаются

Зависимости, полученные здесь на основе полубезмоментной тео­ рии оболочек, будут применены при анализе устойчивости конкретных видов оболочек.

34 Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок

Здесь А и /х — параметры формоизменения, собственные числа задачи, определяющие критические значения сил. Параметр /х определяет вли­ яние погранслоя, а А — параметр волнообразования при выпучивании трёхслойного стержня.

Процедура определения критического значения величины t обычна и состоит в следующем. Удовлетворяя шести граничным условиям (по три на каждом торце) трёхслойного стержня, получаем с помо­ щью решения (2.4) систему шести линейных однородных уравнений относительно шести постоянных интегрирования А\ А§. Для суще­ ствования нетривиального решения необходимо, чтобы определитель системы был равен нулю. Из этого условия определяем набор чисел tKр, из которых выбираем наименьшее [31].

Краевые условия, которые управляют быстроизменяющейся частью решения типа погранслоя, обычно слабо влияют на значения критиче­ ских параметров [19, 33]. Например, с помощью [19] можно показать, что различие между критическими значениями параметров А и t для шарнирно опёртого стержня со свободным на торце заполнителем и за­ полнителем, закреплённым от поперечных сдвигов, составляет доли процента. В связи с этим значение критического параметра волнооб­ разования Акр практически совпадает со значением, соответствующим стержню с неизменной нормалью. Отсюда следует важный для прак­ тических целей вывод о том, что и стержни с раздельно работающими слоями, и стержни с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги запол­ нителем, и трёхслойные стержни с ограниченной сдвиговой жёстко­ стью имеют одну и ту же форму волнообразования, если они одинаково закреплены по краям.

С помощью характеристического многочлена дифференциального уравнения (2.3) можно получить для трёхслойных стержней следующее выражение силового параметра t через параметр волнообразования А:

Критическое значение осевой сжимающей силы Ткр получается из (2.5) минимизацией по параметру А. Легко показать, что функция (2.5) есть монотонно возрастающая функция А2, т. е. критическое значение Т кр достигается при минимальном значении A^in = А2р. Минимальные значения величины Акр для различных случаев закрепления приведены в табл. 2.1.

36 Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок

критическая нагрузка определяется критической силой стержня с аб­ солютно жёстким на сдвиги заполнителем: Ткр = Тж.

Таким образом, соотношение (2.8) является критерием примени­ мости классической модели к трёхслойным стержням. Погрешность применения классической модели составляет

т - 1 2 ИИ_

(2.9)

~ К ' ~ 4 Акр G & '

где В — жёсткость стержня на растяжение-сжатие, G — модуль поперечного сдвига, Н — расстояние между нейтральными линиями

несущих слоёв.

Если сдвиговая жёсткость заполнителя достаточно велика, но ко­ нечна, а несущие слои слабо сопротивляются изгибам, т. е. выполняет­

то из (2.7) получим соотношение для критической силы, соответству­ ющее модели прямой линии (сдвиговой модели Тимошенко):

Величины Тж/ К с и и>А^р в формулах (2.11) определяют поправку к классическому решению, полученную путем учёта сдвигов по сдви­ говой модели Тимошенко. Таким образом, условие (2.10) служит кри­ терием применимости к расчёту на устойчивость трёхслойных стерж­ ней модели прямолинейного элемента (сдвиговой модели Тимошенко). Заметим, что правомерность применения модели прямой линии иногда неправильно связывают только с малостью изгибной жёсткости несу­ щих слоёв по сравнению с жёсткостью всего пакета:

Тнс -С Тж; £>нс < D.

Как следует из зависимостей (2.7), такой критерий некорректен. Погрешность применимости модели прямолинейного элемента со­

В случае стержней с маложёстким заполнителем (например, типа пенопластов) обычно выполняется зависимость К с Т ж. С учётом этого из (2.7) найдём соотношение, типичное для трёхслойных кон­ струкций с лёгким заполнителем:

Высокая эффективность трёхслойных конструкций при действии сжимающих сил определяется тем, что критическая сила трёхслойной конструкции существенно превосходит критическую силу конструк­ ции, составленной только из склеенных несущих слоёв, т. е.

Таким образом, условие (2.14) является критерием эффективности трёхслойной конструкции. Из этого критерия следует, что соединение мощных несущих слоёв (Тнс велика) со слабым заполнителем (вели­ чина К с мала) неэффективно: «в одну телегу впрячь не можно коня и трепетную лань».

Анализ полученных формул для расчёта критических сил поз­ воляет судить о влиянии граничных условий на критическую силу трёхслойного стержня. Как видно из (2.7), от граничных условий зависит величина Лкр, входящая в параметры Тж и Тнс. Величи­ на К с от граничных условий не зависит. В случае достаточно жёстких на сдвиги заполнителей, когда выполняется условие (2.10), а расчёт критической силы проводится по формуле (2.11), значение этой си­ лы определяется параметром Тж. Этот параметр существенно зависит от граничных условий. Если заполнитель имеет сравнительно малую жёсткость (Тнс <с К с <СТЖ), а расчёт проводится по формуле (2.13), то критическая сила трёхслойного стержня определяется величиной К с, которая не зависит от граничных условий. Таким образом, критическая сила широкого класса трёхслойных стержней (для которых выполняет­ ся условие Тнс -С К с <С Т КЛ ) слабо зависит от граничных условий.

Анализ полученных расчётных формул показывает, что критическая сила трёхслойного стержня в общем случае определяется тремя пара­ метрами, которые имеют простой и ясный физический смысл:

Тж — критическая сила классического стержня, т. е. трёхслойного стержня с абсолютно жёстким на поперечные сдвиги заполнителем; эта величина характеризует жёсткость в целом трёхслойного стержня; Тнс — критическая сила в стержне с раздельно сопротивляющимися несущими слоями; эта величина характеризует собственную жёсткость

несущих слоёв трёхслойного стержня; К с — критическая сила так называемой сдвиговой формы поте­

ри устойчивости; эта величина характеризует жёсткость заполнителя (сдвиговую жёсткость трёхслойного пакета).

Три собственные характеристики Тж, Тнс, К с можно назвать обоб­ щёнными жесткостями трёхслойного стержня при осевом сжатии. Анализ зависимостей (2.7)—(2.14) показывает, что обобщённые жёст­ кости определяют критическую силу, области применимости различ­ ных расчётных моделей и дают критерий эффективности трёхслойного стержня.

38Гл. 2. Расчёт на устойчивость многослойных стержней и арок

2.2.Трёхслойные с жёстким заполнителем

имногослойные стержни

Вобласти так называемых жёстких заполнителей жесткостные свойства несущих слоёв и заполнителя — одного порядка, при этом выполняется условие (2.10). Следовательно, в случае жёстких за­ полнителей к расчёту на устойчивость трёхслойных стержней можно применить модель прямолинейного элемента. В то же время в этом случае, поскольку все слои трёхслойного пакета имеют жёсткости одного порядка, трёхслойный стержень является частным случаем мно­ гослойного.

Таким образом, соотношения для расчёта устойчивости трёхслой­ ных стержней обобщаются для расчёта многослойных. Итак, крити­ ческая сила трёхслойного с жёстким заполнителем и многослойного стержней определяется соотношением (2.11), полученным на основе

модели прямолинейного элемента:

Здесь D — минимальная изгибная жёсткость стержня; К — его эф­ фективная жёсткость на поперечные сдвиги, вычисленная с учётом неоднородности стержня по толщине; жёсткости D и К вычисляются с помощью зависимостей, приведённых в Приложении А. Критиче­ ское значение Акр зависит от способа закрепления краёв стержня (см. табл. 2.1). Соотношения (2.15) в частном случае совпадают с со­ ответствующими формулами [13, 55, 60].

В том случае, когда сдвиговая жёсткость К стержня достаточно велика, для расчёта пригодна классическая модель стержня с неизмен­ ной нормалью:

2.3. Многослойные стержни на упругом основании и местная устойчивость трёхслойных стержней

Рассмотрим устойчивость сжатого многослойного стержня, скреп­ лённого с упругим основанием. Полагаем, что стержень сопротив­ ляется в соответствии с классической моделью (неизменная нор­ маль), а упругое основание поддерживает стержень адекватно модели Власова-Пастернака [28, 44]. Используя соотношения [73], получим следующую зависимость для определения критических сил в много­ слойных шарнирно-опёртых стержнях на упругом основании: