книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

Подставляя (1.3) в (1.1), с помощью соотношения (1.2) получим разрешающее уравнение для отыскания критических параметров:

Ti, Т2, S — сжимающие усилия, действующие до потери устойчивости. Критические значения усилий Т), Т2, S определяются минимизаци­

ей выражения (1.4) по параметрам А и п волнообразования.

При решении конкретных задач часто вместо параметров волнообразования А и и удобно использовать параметры А и ф = —. Производя эту замену, из соотношений (1.4) можно получить:

Fi(Ф) = Х4 ф 1(Л>те) = 1 + а\ф2 + AV’4;

р2{Ф) = ^ Ф 2(А,п) = 1+ а 2ф + м> ;

2

р и(Ф) = ^ Фд(А,п) =

1 + т /

26 Гл. 1. Разрешающие соотношения для многослойных оболочек

f2i(A, ф) + А2(сщ + ш2ф2) 0.2(\,ф ) ’

1 + Х2(ш2к + Ш1кф2)

Уравнения устойчивости (1.4), (1.5) трёхслойных оболочек, постро­ енные на основе модели ломаной линии, совпадают с аналогичными соотношениями для классических оболочек с неизменной нормалью, если величину D"C+ QD* заменить полной изгибной жёсткостью D\ = D"c + D*. Следовательно, величину

можно назвать эффективной изгибной жёсткостью трёхслойной обо­ лочки. Она представляет собой изгибную жёсткость D\ оболочки, уменьшенную за счёт влияния поперечных сдвигов. Влияние попе­ речных сдвигов определяется функцией ЩХ,ф), которая зависит как от податливостей wi, ш2, ui\K, ш2к заполнителя на поперечные сдвиги, так и от параметров А и ф волнообразования. При отсутствии запол­ нителя податливости на сдвиги стремятся к бесконечности, а функ­ ция Q(A, ф) становится равной нулю, т. е. Dfc + Q, D* = D*c, и несущие слои сопротивляются независимо друг от друга. Если заполнитель абсолютно жёсткий на сдвиги, то податливости равны нулю, Q = 1, и оболочка сопротивляется в соответствии с классической моделью неизменной нормали. Назовём функцию Q (А, ф) функцией влияния поперечных сдвигов. Эта функция изменяется в зависимости от сдвиго­ вой жёсткости заполнителя в пределах от нуля до единицы: 0 ^ Q ^ 1.

В общем случае можно записать

= D?c + ttD*i = Q D i + (\ - Q ) D ^ C.

Для достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей величина Q ~ 1, а поскольку в трёхслойных оболочках D*c «С D ь получим

Д]ФФ = П Д .

В этом случае оболочка сопротивляется в соответствии с моделью прямой линии [37].

1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и композитные оболочки 27

Если заполнитель имеет малую жёсткость на поперечные сдвиги, то £2 1, и D|*c ~ £2D*, что соответствует модели ломаной линии.

Заметим, что функция £2 влияния поперечных сдвигов не зависит от характерного радиуса кривизны оболочки и, таким образом, пригод­ на как для анализа пологих оболочек вращения произвольной формы, так и для пластин и балок.

Рассмотрим слабые заполнители с высокой податливостью на попе­

Соотношения (1.7), (1.8) характерны для модели ломаной линии.

В том случае, когда заполнитель достаточно жёсткий на попереч­

Тогда функцию £2 влияния поперечных сдвигов можно представить в виде (£2i и £22 и 1):

(1.Ю)

Зависимости (1.8), (1.10) используем в дальнейшем для получения расчётных формул.

1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и многослойные композитные оболочки

Рассмотрим трёхслойные оболочки с так называемым жёстким за­ полнителем, когда тангенциальные жёсткости заполнителя соизмеримы с соответствующими жёсткостями несущих слоёв и пакета в целом.

В этом случае несущие слои и заполнитель по существу равноправны,

т.е. трёхслойные оболочки с жёстким заполнителем являются част­ ным случаем многослойных оболочек. Если рассматривать многослой­ ные оболочечные конструкции, слои которых имеют жёсткости одного

1.2. Трёхслойные с жёстким заполнителем и композитные оболочки 29

( 1. 12)

Полученное дифференциальное уравнение имеет десятый порядок и учитывает в многослойных оболочках быстро изменяющееся НДС типа погранслоя.

При исследовании устойчивости многослойных оболочек погранслой не оказывает заметного влияния на значения критических пара­ метров [19]. Пренебрегая этим влиянием, получим дифференциальное уравнение для исследования устойчивости многослойных оболочек:

Порядок этого уравнения равен восьми, оно учитывает поперечные сдвиги параметрически и соответствует модели прямолинейного эле­ мента. Заметим, что входящие в податливости ш\, Ш2 жёсткости К\, К 2 на поперечные сдвиги должны вычисляться с учётом неоднородности пакета по толщине. Формулы для расчёта величин К\, К 2 приведены в Приложении А.

Уравнение (1.13) по аналогии с (1.2) можно записать в операторном

Входящие в коэффициенты и операторы дифференциальных урав­ нений (1.12)—(1.14) жёсткости на изгиб и кручение являются соответ­ ствующими минимальными жесткостями многослойного пакета. Они вычисляются в соответствии с Приложением А.

Представляя решение в виде (1.3), найдём соотношение для расчёта критических параметров, аналогичное зависимости (1.4):