книги / Механика трещин

характеристики материалов, подвергаемых испытаниям, и другие данные экспериментов.

О п р е д е л е н и е п о с т о я н н ы х . Постоянные Д и а определялись для алюминиевого сплава BSL 65 (4,4% Си, 0,7% Mg, 0,7% Si, 0,6% Mn, от = 395 МПа, Е = 6,9 * 104 МПа) и малоуглеродистой стали (от = 243 МПа, Е = 2,0 * 105 МПа). Было найдено: Д = 1,63 • 10“ 5 мм, Û = 2,6*10"6 MM (сплав BSL65);A = 2,84 •10"5 мм, а = 2,3 •10~6 мм (сталь).

Изучались нераспространяющиеся трещины (ссылки в [109]). Трещина считалась нераспространяющейся при заданной нагрузке, если она не увеличивала своей длины при приложении п = 107 (а иног­ да п = 109 - 1011) циклов нагрузки. Для диапазона 0,0652 ^ ^ 2,42 мм

были использованы для определения Д из соотношения (10.21). График зависимости для о+ (МПа) от /°(мм) по формулам (10.22) -

кривая 1 и по формуле (10.21)- кривая 2, а также экспериментальные точки - среднее по четырем измерениям-представлены на рис. 4.21. Видно, что различие между кривыми в рабочем диапазоне меньше экспериментального разброса. Заметные отклонения начинаются при больших /° и в области очень коротких трещин, например, при напря­ жениях 0-ь = 10 МПа /° = 19 мм (10.22) и /° = 5,9 мм (10.21).

Для определения а использовалась формула (10.20), куда подстав­ лялись экспериментальные значения л*(/0, o j . Значение а определя­ лось как среднее результатов вычислений.

Испытывались на растяжение при постоянном среднем напряжении 1/2ог(1 + R) = 77,0 МПа и переменной амплитуде тонкие стальные плиты

с центральным вырезом сложной формы. Время до разрушения в реаль­ ных образцах включает в себя время образования трещины и распро­ странения ее в, поле напряжений начального концентратора, что никак не учитывается в решении изложенной выше задачи. Поэтому сопо­ ставление с теоретическими результатами было проведено для трещи­ ны длиной 15 мм, что примерно в 4 раза больше величины начальной прорези. По графику / = /(л) была определена скорость /' при / = 15 мм. Для определения постоянных использовались формулы (10.20), (10.6) и (10.11). Критерием являлось хорошее прохождение расчетной кривой п* = п*(°±) среди экспериментальных точек (рис. 4.22), штриховая кривая соответствует другим значениям постоянных: Д = 1,63 •10"5 мм, а = 1,32 •10"6 мм (отношение A/а в обоих случаях одинаково и равно 12,3). Обращает на себя внимание близость значений постоянных для стали и алюминиевого сплава.

Сравнения приведенных выше теоретических результатов с раз­ личными экспериментами свидетельствуют о том, что предложенная в [109] и приведенная выше теория циклического роста трещины в тонкой пластине пригодна для описания многоцикловой усталости. В этом случае она позволяет сделать правильные выводы относительно длины нераспространяющейся трещины, скорости распространения трещины в различные этапы ее роста, влияния асимметрии цикла. При слишком малой начальной длине трещины, когда амплитуда напряже­ ний, при которых она растет, приближается к пределу текучести (в результате чего происходит сильное увеличение начальной длины пластической зоны), характер процесса изменяется: локализованные пластические деформации уступают место пластическим деформациям в относительно больших объемах материала. Это выражается в перехо­ де к малоцикловой усталости, для которой указанная теория непри­ годна.

Остановимся еще на связи одной из постоянных рассматриваемой теории, а именно, критического значения осредненного зазора с крити­ ческим значением коэффициента интенсивности напряжений Кс [111].

Экспериментальное определение Кс - одной из основных характе­ ристик сопротивления материалов хрупкому разрушению - связано с существенными трудностями: результаты испытаний тонколистовых конструкционных материалов нестабильны. Это объясняется сильным влиянием зон пластичности, возникающих у краев трещины при нагру­ жении лабораторного образца. Коэффициент интенсивности напряже­ ний - характеристика, имеющая ясный смысл в линейной механике разрушения упругого тела. Использование этой характеристики для упругопластического тела оправдано лишь в том случае, когда соот­ ветствующая асимптотика поля напряжений (типа квадратного корня) достаточно явно реализуется в некоторой окрестности края трещины. Но для этого необходимо, чтобы размер пластической области был мал по сравнению с длиной трещины (и с расстоянием от трещины до края образца). На образцах малых размеров (имеется в виду плоский обра­ зец с центральной сквозной трещиной, нагруженный нормально к пло­ скости трещины), обычно используемых при лабораторных испытаниях

для определения Ка удовлетворить указанному требованию не

(10.23)

/2 " 8о2

Вдостаточно широкой пластине (в которой трещина может стать нестабильной при относительно малой пластической зоне) Кс= о у/тй* (2.2.18) и, следовательно,

что свидетельствует о стабилизации длины пластической зоны L - / при увеличении длины трещины (и соответствующем снижении критиче­ ской нагрузки). Это, в свою очередь, ведет к стабилизации эффектив­ ной поверхностной энергии и, следовательно, - к стабилизации Кс.

С другой стороны, как следует из (10.9), (10.23), критическое значение длины трещины при а -►0

ло2

к которому стремятся критические значения коэффициента интенсив­ ности напряжений при увеличении длины трещины (и ширины образца).

ГЛАВА 5

ДИНАМИКА ТРЕЩИН

ВСПЛОШНОЙ УПРУГОЙ с ре д е

Вглаве рассматривается обобщенная плоская задача о динамике прямолинейных трещин в линейно-упругом безграничном теле. Внача­ ле решаются фундаментальные задачи динамики для упругой полу­ плоскости, подверженной воздействию на ее границе (см. например [93]). Они решаются как в точной постановке (на основе линейной теории упругости), так и для некоторой приближенной модели [86, 96, 108, 148], использование которой значительно упрощает анализ дина­ мики трещин и не сопровождается существенной потерей точности.

т.e. рассматриваются оригиналы, a не изображения, посвящены § 5.3,

5.4.Тем же методом решается смешанная динамическая задача о пере­ ходе через критическую скорость, в частности, задача о трещине, скорость которой может изменяться на объединении указанных выше диапазонов [113].

Автомодельные задачи решаются на основе аналитических пред­ ставлений, определяемых формулой обращения двойного интеграль­ ного преобразования [86, 93, 115].

Динамические задачи для трещины на границе раздела упругих сред с разными свойствами решены в ряде работ И. Л. Симонова, в частности в [88, 89]. Отметим еще обзорные работы по динамике трещин [76, 142,146].

§5 .1. Основные соотношения динамики линейно-упругого тела

Однородные уравнения динамики линейно-упругого тела полу­ чаются из уравнений равновесия (2.1.2) после замены внешних объем­ ных сил Fj силами инерции - рd2u/dt2 (р - плотность). Подставив после этого вместо напряжений их выражения через перемещения (2.1.1), придем к уравнениям

где, как и ранее, применяется правило суммирования по повторяю­ щимся индексам. Умножая каждое из написанных трех уравнений (/ = 1, 2, 3) на орт соответствующей оси и суммируя по j, получаем векторное уравнение (Д - оператор Лапласа)

где функция <р называется скалярным потенциалом, а векторная функ­ ция ф - векторным. После подстановки (1.2) в уравнение (1.1) прихо­ дим к следующему равенству

Здесь Cj, с2 - скорость волн расширения (продольных волн) и волн сдвига (поперечных волн):

ct = V (А. + 2 цУр , С2 = лЛдТр";

где К - модуль объемного расширения.

Волновые уравнения (1.4) определяют общее решение [93], причем на функцию ф, не уменьшая общности, можно наложить некоторое дополнительное условие, поскольку система (1.4) состоит из четырех скалярных уравнений относительно четырех функций: ф и трех проек­ ций ф, а задача динамики формулируется относительно трех функ­ ций - компонент перемещения U{. Таким условием может служить равенство div ф = 0 или любое другое, совместное с условиями, кото­ рым должен удовлетворять вектор и в конкретной задаче [93].

При плоской деформации (и3 = 0) среди компонент вектора ф остается лишь одна ф3 (в дальнейшем индекс опускается). При этом две скалярные функции

определяются двумя уравнениями (1.4), записанными относительно двух скалярных потенциалов: ф и ф = ф3. В этом случае отмеченный выше произвол исчезает и никаких дополнительных'условий на потен­ циал ф накладывать нельзя.

Уравнения для плоского напряженного состояния (о33 = 0), как и в статике, отличаются лишь значением постоянной. Для того чтобы от соотношений, отвечающих плоской деформации, перейти к соотно­ шениям для плоского напряженного состояния, достаточно опреде­ ленным образом изменить значение коэффициента Пуассона v: если

напряженному состоянию. Производя ту же замену в первом из урав­ нений (1.4), получим вместо с\

где Б - модуль Юнга, а значение с2 остается без изменений.

Если начальные условия нулевые, то из последнего равенства (1.10) следует, что в указанной там области Ф = 0. Таким образом, антиплоской задаче о трещине (1.7), (1.9) полностью эквивалентна линеари­ зованная задача о погружении некоторого тела в полупространство идеальной сжимаемости жидкости, когда граничные условия - ско­ рость и° = о°/ц и давление Р - задаются на невозмущенной поверх­ ности жидкости.

Для дальнейшего потребуются решения фундаментальных задач о динамике полупространства. Начнем с более простой антиплоской задачи.

Пусть на границе верхнего полупространства х 2= 0 задано напря­ жение

причем и3= и = 0 при t < 0.

Проведем преобразование Лапласа по t и Фурье по х х над уравне­ нием (1.7) и граничным условием (1.11). Получим

Здесь b2 = Mc2, uLF(s, q, x 2) = $ S u(t, x u x 2)e~st*,qxi dtdx1. Из уравнения

Укажем формулу, с помощью которой осуществляется обращение изображений такого типа [93, 115]. Пусть двойное преобразование (Лапласа и Фурье) функции f(t, х) приводит к такому изображению fLF{&, g ), ч то после замены q =sp оно представляется в виде

fLF(s, sp) = gL(s)h(p)e~sw(p) ;

dw

разрешимо относительно функции р = p(t, z), где р > 0 при iz > 0, р < О при iz < О, а искомая функция f(t, х) определяется следующим образом:

fat, z) = - —— h[p(t, z)] dp(t, z)/dt.

Здесь символ * означает свертку по переменной t, а значения p(t, z), dp(t, z)/dt доопределяются указанными выше неравенствами, т. е. по­ лучаются аналитическим продолжением: для функции ?? от значений z = iy(y > 0), где р < 0, dp/dt < 0 (t > 0), и для функции fz от значений z = iy(y< 0), где р > 0, dp/dt > 0 {t > 0).

В частности, при w = 0, как видно из уравнения (1.15),

к функции f°(t, z), после чего последняя станет аналитическим пред­ ставлением функции f(t, х) [115].

Изображение (1.13) удовлетворяет условиям (1.14):

Таким образом, при указанном импульсном воздействии возбуж­ дается цилиндрическая сдвиговая волна (1.18).

При произвольном воздействии на границу полупространства

° 2з = ° 2з(*> x i) (х 2 = 0) решение получается из фундаментального (1.18) суперпозицией

где S33 —фундаментальное решение (1.18) (u = S33 при о23= ô ^ f^ x j),

(п\ + q2)A - 2iqn2B = oLFl\x ;

2iqntA + (л2 + q2)B = xLF/\i

((X + 2p)n2 - Xq2 = p(n2 + q2)),

откуда следует

A = -----((n2 + q2) 0LF+ 2iqn2xLF),

ЦR