книги / Механика трещин
..pdfмонотонному пропорциональному нагружению (при указанных выше условиях). В частности, поскольку при стационарном продвижении трещины (вместе с пластической областью) энергия не рассеивается - полная работа пластической деформации не изменяется, весь поток энергии из упругой области должен стекать в край трещины. И так как напряжения у края трещины в упругопластическом теле ограничены, ее раскрытие не может стремиться к нулю при приближении к краю: трещина нормального разрыва должна заканчиваться тупиком (см. § 3.4). Следовательно, в задаче о фиксированной трещине в упру гопластическом теле не может ставиться условие непрерывности пере мещения берега трещины, здесь выполняется условие ограниченности потока энергии (см. § 2.2, 3.4).
Перейдем к конкретным задачам.
А н т и п л о с к а я д е ф о р м а ц и я . Рассмотрим безграничное упру гопластическое тело с полубесконечной трещиной, расположенной на отрицательной полуоси х х. Полагаем, что берега трещины свободны от внешних напряжений.
В упругой области напряжения и перемещения определяются через коэффициент интенсивности напряжений формулами (2.2.21), а в пластической образуют центрированное поле линий скольжения (2.8), (3.3) (ниже будет видно, что если в последних формулах взять верхние знаки, то всем условиям задачи можно удовлетворить). Из сопостав ления зависимостей (2.2.21) и (2.8) следует, что упругие и пластические поля напряжений можно непрерывно состыковать, если границу их раздела взять в виде окружности радиусом г0с центром на продолже нии трещины г= га> 0 = 0 (значение г0 определяется ниже), полюс центрированного поля совместить с краем трещины г= 0 (рис. 4.2), а упругое поле сдвинуть вдоль оси хх на г0. Тогда на границе пласти ческой области (при переходе к ней извне и изнутри)
(5.5)
где г', 0 '- полярные координаты с центром г= г0. На границе г'= г0, 0' = 20. Отсюда и из (5.5) видно, что напряжения на ней будут непре
рывны, если взять |
|
г0= к 2прпк% |
(5.6) |
На той же границе, как следует из (2.2.21), (3.3), |
|
(5.7)
|
|
|
где Я* = 2r0cos 0 - расстояние от |
|
|
|
края трещины до границы пласти |
|
|
|
ческой области. Видно, что при наг |
|
|
|
ружении тела - при росте пластиче |
|
|
|
ской области Л = Л° = R^/r > 0. Итак, |
|
|
|
в пластической области |
|
Рис. 4.2. |
|
и3 = 2vr0sin 0, |
|
|
|
|
е 13 |
Ко sin 20, |
|
К 0 |
Ê23 |
cos2 0, |
||
|
2г |
|
г |
причем на границе области (г = 2r0cos 0) перемещения и деформации непрерывны.
Теперь можно определить раскрытие берегов трещины у ее края, которое, как было показано выше, должно быть и действительно оказывается отличным от нуля. Поскольку в упругой области переме щения непрерывны,
«2Кш
А= 21im u3(xr + 0) = 2u31е_ ^ 2= ------- .
Xi— о |
r= о |
Подсчитаем поток энергии, который стекал бы в край трещины при ее стационарном единичном продвижении вдоль оси x v если бы зави симости (5.1), (5.4) выполнялись и при разгрузке. Возьмем прямоуголь ный контур х 2= ± е 0, х х= ± а ± °°. В соответствии с равенством (1.3.8) и указанными выше зависимостями для напряжений и переме щения значение потока энергии определяется здесь следующим образом:
т" У аГ ] àu3
|
О |
л/г |
|
Г |
л Kin |
= 2 |
02Эиз (8)<Ю = 2kyR0— = — . |
О
Последний результат полностью совпадает с полученным ранее для уп ругого тела (2.2.25), что подтверждает сделанный выше вывод о потенциальности работы пластической деформации в указанных условиях.
В случае конечной трещины (длиной 21) в упругом теле, подвер женном антиплоской деформации, в соответствии с формулой (2.2.18) без второго члена в ее правой части (берега трещины свободны от внешних напряжений)
(5.8)
p2\z\2
т2 = о2 + о2 1ф'12 =
\12 ““ Z2 I '
Определим протяженность и ширину зоны, ограниченной контуром, на котором выполняется условие пластичности т2 = к2. Если х 2 = 0, то из уравнения x 2s2 = I/2 - х 21, s = p/к находим, что для х х > 0 указанная зона заключена в пределах
х _ < х 1 < х +, х_ = // yfl + 52, |
х + = // |
“ 52. |
Таким образом, длина пластической области (определенной по ре шению упругой задачи)
1 = 1 0 = / |
1 |
(5.9) |
|
|
л/1 +52 |
Для определения ширины пластической области рассмотрим урав нение (5.8) при т2 = к2, определяющее зависимость х 2= х 2(хг) для гра ницы этой области:
(/2 - х 2 + х 2) 2 + 4х2х 2 = 54(х 2 + х 2)2. |
(5.10) |
Там, где 1х21достигает максимума, производная dx2/dxx = 0. Учитывая это и дифференцируя обе части равенства (5.10) по х 19 получаем х 2 = /2/(1 - s4) - х 2. Подставляя это в уравнение (5.10), находим шири ну пластической области
Is2
В = В0= 2х 2шах V 1- S4 '
Точное решение для конечной трещины при антиплоской деформа ции упругопластического тела определяет следующее выражение для длины пластической области [79]:
2 |
1 +S2 |
(5.11) |
L = L* = / |
Е |
|
л |
1 — S2 |
|
где Е - полный эллиптический интеграл второго рода. Если учесть представления
л |
/ |
х 2 |
Зх4 |
\ |
а д " 7 |
Г |
Т |
~ - |
( х < 1 ) ’ в(*) ~ 1 ( х "м ~ 0)’ |
то можно выписать соотношения |
|
|||
L*// = s2 + — s4 + |
(5 |
< 1 ); |
||
|
4 |
|
|
|
L J I--------------- |
(s - 1 - 0), |
(5.12) |
||
|
Л(1 ~ $) |
|
|
|
а из формулы (5.9) получить |
|
|
||
|
5 |
s6 + . . . |
(s < 1); |
|
L0/l =s2 + — |
||||
|
8 |
|
|
|
V * ' |
4 2(1 - |
s) |
(5 -^1 - 0). |
(5.13) |
|
|
|
||
Сравнивая представления (5.12), (5.13), видим, что „упругое” реше |
||||
ние (5.13) приемлемо, если |
величина |
s2 = (p/fc) 2 мала по сравнению |
||
с единицей. При больших значениях s2 формула (5.9) занижает размер пластической области, хотя он, так же как и по точному решению (5.11), неограниченно возрастает при сближении уровня внешней нагрузки с пределом текучести.
Результат более близкий к точному, получается в том случае, если, по-прежнему рассматривая упругую задачу, задать в качестве гранич ных условий на некотором интервале / < \xt \< / + L напряжения о23, отвечающие пределу текучести, и определить значение параметра L, так, чтобы при \хх1> / + L выполнялось неравенство о23<к (о 23 > 0).
Соответствующее этому решение можно получить, рассматривая трещину на отрезке \хгI < / + 1 и полагая, что ее берега на участках / < \хгI < / + L загружены напряжениями о23= к. При этом напряжения в области \хх \> / + 1 можно определить, используя (2.2.14) и учитывая
равномерное |
поле |
о 23 = р, о 13 = 0, |
отвечающее |
напряжениям на |
|
бесконечности. |
|
|
|
|
|
В результате получаем |
|
|
|||
о23 |
\хг\ |
2к |
I |
|
|
|
|
р --------arccos-------- + |
|
||
|
|
|
л |
1+L |
|
2к |
/ |
(1+ Ь)2Г 2~ 1 |
(IXl\>I + L). |
(5.14) |
|
+ -----arctg |
/ |
— |
----------------- |
||
лV 1 ~ (l + L)2x l2
Требование o23<fc ( lx., I > 1 + L) эквивалентно требованию огра ниченности напряжений, определяемых формулой (5.14). Так как
неограниченным может быть лишь первый член, в правой части равен ства следует приравнять нулю выражение, заключенное в квадратных скобках. Отсюда находим значение параметра L:
ns
1= /(1/cos------- |
1), |
5 = p/к. |
(5.15) |
2
При этом
2к |
Ix^Sin ns/2 |
(\х,\>/+L). (5.16)
п^ / x 2cos2 ns/2 - /2
Выражение для длины пластической области, как следует из ра венства (5.15), можно представить в виде
|
л2 |
л4 |
|
(S< 1). |
|
|
= ------ 52 + |
----- |
— 54 + . . . |
||
|
8 |
96 |
4 |
|
|
L |
2 |
|
( 5 - 1 - 0 ) . |
(5.17) |
|
I |
Л(1 - |
5) |
|||
|
|
Сравнивая это с представлениями (5.12), видим, что некоторое отличие от точного решения, заметное при малых напряжениях ( л2/8 « ^ 1,23; л4/96 **1,01), становится асимптотически несущественным при их увеличении.
Графики зависимости отношения приближенного результата к точному показаны на рис. 4.3, где кривая 1 соответствует формуле (5.9)- отношение LJL^ кривая 2 - формуле (5.15)- отношение I/L*.
Определим в той же постановке раскрытие трещины в точках *i= ±1 С этой целью воспользуемся формулой (2.2.28), в которой, переходя к принятым в данном параграфе обозначениям, следует заменить о, р, I, а на р, к, /+ L, L соответственно. Кроме того, следует
перейти к пределу (х -* /) и, поскольку рассматривается антиплоская задача, опустить множитель (и + 1)/4 [ср. формулы (2.1.10) - (2.1.12)]. Учитывая равенство (5.15), получим
(5.18)
Точное значение раскрытия трещины у ее края в упругопласти ческом теле [79]:
4к |
\ 2 |
(5.19) |
Д = Д* = -------/ |
— ( 1 + 5 2Ж ( 5 2) - 1 , |
|
лц |
[ л |
|
где К полный эллиптический интеграл первого ряда. График зависи мости отношения Д^Д* от s показан на рис. 4.4.
П л оская д е ф о р м а ц и я . Напряжения в пластической области у края трещины при условии т2 =/с2 определяются комбинацией центрированных и асимптотически равномерных полей. Ввиду отсут ствия внешних напряжений на берегах трещины к ним могут примы кать лишь равномерные поля, которые, в свою очередь, могут грани чить с центрированными полями на лучах 0 = ± л/4, 0 = ± 3л/4.
Взадаче I (растяжение по нормали к трещине) получаем следую щую картину линий скольжения (рис. 4.5, а): равномерные поля при 101< л/4, 0 > 3л/4 и центрированные поля между ними.
Всоответствии с формулами (2.13) и приведенным там замечанием относительно знака при параметре к
022= С + кп/2 ± к |
(101 < л/4); |
° 22= С + Зкп/2 + к |
(101 ^3 л/4), С= const. |
Отсюда находим
(5.20)
■I
Рис. 4.5.
Учитывая, что тело растягивается по нормали к трещине, следует положить о22 > 0 (0 = 0), т. е. взять верхние знаки в равенствах (5.20). Получаем
о11 = лк, |
о22 = (л + 2)к, |
о 12 = 0 |
( 101< л /4); |
|
|
° и |
= fc ( у л + 1 - 2101- |
sin2161 |
|
|
|
о22 |
к ~ |
л + 1 —2101 + sin 2101 |
л |
Зл \ |
|
— |
< 101 < ----- , |
||||
|
|
|
|
4 |
4 / |
012 = к cos 20 |
|
|
(5.21) |
||
Оц = 2к, |
о 22= о 12 = 0 |
(101 ^Зл/4). |
|
||
Если предположить, что |
< fc2, то в соответствии с формулами |
||||
(2.14), (2.15) |
|
|
|
|
|
2vfc ^ о 33 |
v(o 11 **" ^22) ^ 2v(n + l)fc; |
|
|
||
|
к2 |
|
|
|
|
т 2 |
[1 + (1 - 2v) ( л + |
< т 2, |
(V > 0), |
|
|
причем равенство в первых двух соотношениях выполняется в секторе101 ^ л/4. Отсюда видно, что т23 < к2 при v > v* = л/[2(л + 1)]. В про тивном случае одновременно с условием т\ = к2 в некотором секторе выполняется условие т2 = к2 и напряжение 033 определяется там зави симостью (3.20), следует взять верхний знак.
В случае сдвига вдоль трещины (задача И) нормальные напряжения на продолжении трещины отсутствуют (они являются нечетными функциями координаты х 2 и непрерывны при х г > /). Поэтому в неко тором секторе впереди трещины должно располагаться центрирован ное поле линий скольжения. К берегам, свободным от внешних напря жений, примыкают равномерные поля, которые могут граничить с центрированным полем при 101 = л/4 или при 101 = Зл/4. Если учесть, что в любом прямоугольном секторе 0 1 < 0 < 0 1 + л/2, не нарушая условий равновесия и совместности, центрированное поле можно заме нить равномерным (при этом знаки у параметра к в центрированных полях при 0 < 0 Хи при 0 > 0 j + л/2 должны быть различными), станет очевидной большая общность второго варианта: равномерные поля, примыкающие к берегам трещины, располагаются в секторах 101 > Зл4.
Итак, наиболее общим в данном случае является распределение полей напряжений, показанное на рис. 4.5, б, где область I - центриро ванное поле, определяемое формулами (2.13) при С= 0 (принимаем те знаки при параметре fc, которые там указаны), области II и IV - равно мерные поля, область III - центрированные поля, определяемые
теми же формулами, но с измененными знаками при параметре к
инеопределенном пока значении С.
Вданной задаче имеет место симметрия: напряжения о 115 о22нечетные функции координаты х 2, о 12четная функция. Поэтому достаточно определить их в верхней полуплоскости. Выпишем соот ветствующие формулы:
|
+ ^22 - |
> |
2012 + i(o22 ““ ^ц) ~ ^ I |
|
|
|||
o+ = - 4fc0, Z = 2к е10 (0 ^ 0 J; |
|
|
|
|||||
0+ = -4fcB1, |
I = 2fceI0i |
(0 ! ^ 0 < 0 Х+ л/2); |
(5.22) |
|||||
о+ = 2С+ 4fc0, |
|
|
/а |
/ |
71 |
Зл . |
|
|
£ = - 2fceIb |
(0, + — ^ 0 < — ) ; |
|
||||||
о+ = 2С + Злк, |
1 = 2к, |
|
|
Зл |
^ л |
|
||
'2 2 ' |
< 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Из последних равенств получаем |
|
|
|
|||||
C“ |
" * ( T + I ); |
0ii = - |
2fc( ^ - < e < n )> |
(5-23) |
||||
а из условия непрерывности напряжений на линии 0 = 0 Х+ л/2 |
||||||||
С+ k(2Qx + л + sin 20 J = - |
|
fc(20 ! ± sin 201), |
|
|
||||
где верхние знаки соответствуют компоненте 0 115 нижние - |
компонен |
|||||||
те о22 (непрерывность компоненты |
о 12 обеспечивается |
автоматиче |
||||||
ски), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 / л |
\ |
О»6427- |
|
|
|
0 |
х = - — (л + СД) = — |
у |
+ 1р |
|
|
|||
Очевидно, в формулах (5.22), (5.23) можно одновременно изменить знаки при параметре к, что будет соответствовать переходу к сдвигу в противоположьом направлении. При этом значение угла 0Х сохра няется.
Определение деформаций в рассматриваемой плоской задаче встречает большие трудности, чем в случае антиплоской [79]. Ограни чимся здесь замечанием, что в соответствии со сказанным в начале данного параграфа раскрытие трещины не стремится к нулю при приб лижении к ее краю. А так как при 0 = 0 перемещение и2= 0 (задача I) или = 0 (задача II), то в задаче I и2 = и2(0) (г = 0), и2(0) Ф0, а в задаче II
- 128-
u1 = Ux(0) (r = 0), u x(0) £ 0. Поэтому компоненты деформации представ ляются в виде
1
ет л ------/шп(6) |
(<■ 0) |
г |
|
с отличным от тождественного нуля тензором / шп, т. е. характеризуют ся более сильной концентрацией, чем в линейно-упругом теле.
Перейдем к задаче о растяжении тонкой пластины (растяжение по нормали к трещине - задача I). Будем рассматривать ее как задачу о плоском напряженном состоянии. Строго говоря, вследствие нерав номерного утонения пластины должны возникнуть напряжения о 13, о23, т. е. такая задача вообще не является плоской. Поэтому к выво дам из указанной постановки следует относиться с определенной осто рожностью, в частности их нельзя распространять на малую окрест ность края трещины, где отклонения от плоского напряженного состоя ния могут быть значительными.
Решение задачи I (5.21), построенное для плоской деформации, здесь не подходит, так как при 033 = 0 т2 = к2(л/2 + I) 2 > к2 (101 ^ л/4), что противоречит условию пластичности. Поэтому следует строить поле напряжений исходя из равенства т2 = к2. Для некоторого диапа зона изменения внешних растягивающих напряжений 0 < р ^ р0 усло виям задачи удовлетворяет решение Д. С. Дагдейла [132] (решение этой
важной задачи связано также с |
именами Г. И. Баренблатта |
[4], |
М. Я. Леонова [44] и В. В. Панасюка |
[73]), в котором полагается, |
что |
пластическое течение в соответствии с указанным условием происхо дит в бесконечно узкой зоне - на некотором отрезке, являющемся продолжением трещины: / < х 1 < I+ 1, х 2= 0. В этом случае задача сво дится к определению состояния упругого тела, растянутого на беско нечности напряжениями о22 = р, при следующих условиях на прямой х 2= 0 [см. выражение (2.9) для т2, где о22 > о 1Х]:
о22 = 0 |
(bqK/), |
o22 = 2 k (/< |
\хг\< l + L); |
|
|
о 12 = 0 |
(-« о < * , < « ) , |
u2 = 0 |
(lx,! > / + !), |
(5.24) |
|
причем параметр L определяется из условия 1о221< 2 к (\хг \> l +L). Заметим, что сформулированная задача, по существу, эквивалент на задаче о трещине длиной 2(/ + 1 ), в упругом теле, берега которой
на участках / < \хгI < / + L притягиваются „силами сцепления” интен сивностью 2к, а размеры этих участков таковы, что напряжения в упру
гом теле ограничены |
(особенность типа Д 0)//7~в поле напряжений |
при \ххI = / + L, возникающая вследствие действия внешних напряже |
|
ний, растягивающих |
тело, компенсируется той же особенностью, |
но с другим знаком, |
появляющейся из-за действия сил сцепления). |
В этом случае при росте трещины поток энергии через точки х г = ±
± (/ + L) равен нулю.
Таким образом, модель Дагдейла для трещины в упругопластическом
теле вытекает из модели Баренблатта [4], если в последней принять указанное выше значение для сил сцепления и рассматривать задачу I, соответствующую плоскому напряженному состоянию. В связи с этим данную модель пластического течения называют моделью Баренблат та-Дагдейла.
По существу, мы уже нашли решение сформулированной задачи. Оно дается формулами (2.2.28), (5.14)- (5.18). В последних формулах, однако, как это следует из вывода и условий (5.24), необходимо заме нить параметр к на 2к, о23на о2:>, и3 - на и2 и, кроме того, вновь ввести множитель (и + 1)/4 = 1/(1 + v) в выражении для перемещений, поскольку вместо антиплоской задачи рассматривается задача о плоском напряженном состоянии.
Для определения перемещения берегов трещины на всем их протя жении воспользуемся формулой (2.2.28). Заменим в ней о р, р~*2к, L, / ”►/ + ! . Положим к = (3 - v)/(l + v) и возьмем значение парамет
ра I, как указано выше (5.15) (к -►2к). Найдем
bql^ Z + L, х 2 |
, |
Л5 |
= ± 0, L + /=//cos — . |
||
|
|
4 |
Таким образом, полученное решение определяет разрыв переме щений на продолжении первоначально заданной трещины (/^ IxJ < < / + ! ) - трещина оказалась длинее, чем это было принято при поста новке задачи. Однако на дополнительно раскрывшиеся берега дей ствуют напряжения („силы сцепления” ).
Такой результат - идеализация реального состояния, в котором перемещения при \ххI > / непрерывны, но в узких зонах на участках / ^ Ixj I < I+ L имеет место значительное пластическое течение, так что перемещение и2 быстро возрастает по модулю [н2(х15х2) = - и2(х19 х2)\при удалении от оси х х.
Узкая пластическая зона на продолжении трещины в тонкой пластине, растянутой поперек трещины, отчетливо регистрируется в эксперименте, причем теоретически предсказанная длина этой зоны (5.15) (fc 2fc), (5.25) при р ^ (значение р0 указано ниже) также близка к истинной [45] (см. рис. 4.6).