книги / Механика трещин

где и®0 (х2), € ^ (х 2) ~ соответствующие компоненты на границе 0 = 02. Итак, в случае трещины, растущей в упругопластическом мате­ риале без упрочнения, напряжения ограничены, а концентрация деформаций менее сильная, чем в упрочняющемся материале. Ясно, что при этом, так же как и при росте трещины в линейно упрочняющем­

ся материале, энергия в край трещины не стекает.

§ 4.7. Растущая трещина при плоской деформации упругопластического тела

Ограничимся здесь асимптотическим анализом состояния у края трещины, растущей в упругопластическом материале без упрочнения.

Зависимости для напряжений и деформаций в движущемся поле пластического течения, а также в области разгрузки даны в § 4.2 - 4.4. Анализ этих зависимостей приводит к выводу, что в некотором сек­ торе, 101> 0 1 > 0, должна происходить разгрузка, причем луч 0 = 0 Х, где начинается разгрузка, совпадает с линией скольжения в центри­ рованном поле напряжений.

Определим напряжения и деформации в окрестности края трещи­ ны, полагая, что при любом значении е > 0 деформации в области г ^ е, 101 ^ л - е ограничены.

Начнем с задачи I. Здесь в секторе 101 < л/4 расположено равномер­ ное поле напряжений, причем компонента о 12 = 0. Из уравнения (3.19)

Следовательно, если какая-либо из компонент градиента перемещений стремится к бесконечности при г -►0, то /' (х) -*■ 00 при х 0 и компо­ нента деформации е22 =/'(Л + х 2) + /'(п - х 2) равна бесконечности на линии 0 = л/4, что противоречит принятому выше допущению. Итак, в равномерном поле (101 < л/4) деформация ограничена.

Обратимся к выражению для компоненты перемещения и2 (3.23). Ввиду ограниченности деформаций в равномерном поле и непрерыв­ ности перемещений на границе с центрированным полем должна выполняться оценка и2= 0(г) (101 = л/4). Отсюда следует, что

Подставляя выражение для Д ( г) в формулу (3.24) (здесь и ниже дифференцирование асимптотических соотношений оправдано), находим

Так как 1пг<0 (г-►О), функция Л. >0 (101 > л/4) и обобщенная функция 6(п - х 2) приводят при 0 = лА к приращению деформации сдвига вдоль линий скольжения (еге) в направлении действия каса­ тельных напряжений:

х2+е

о 12 = 0. Непрерывными являются также компоненты £гг (из-за непре­ рывности перемещения) и CQQ (вследствие непрерывности егги о).

Обратимся к выражениям для перемещений и напряжений в обла­ сти разгрузки (4.24). Из условия непрерывности перемещений и дефор­ маций на линии 0 = 0 15 где начинается разгрузка, следует непрерыв­ ность всех компонент градиента перемещений, определяемых форму­

можно выписать асимптотические представления для перемещений и градиента перемещений в области разгрузки (г -» 0):

так как вследствие непрерывности omn(x2ctg 0 Х, х 2) = 0^n(x2), а вели­ чины о ° п, е^п не зависят от координаты Л-

относится и к напряжениям 0^п. В результате для 0 > 0Х> 0 находим

разгрузки не может достигать берега трещины при г > 0, так как иначе при некотором значении 0 = 02 < л вновь возникает состояние пла­ стичности, а затем при 0 > 02 квадрат максимального касательного напряжения т2 будет больше / с 2 ,что запрещено условием пластичности.

Таким образом, при 0 > 02 здесь лежит область вторичных пласти­ ческих деформаций. Если эта об­ ласть примыкает к берегу трещины, то в ней в силу граничных условий

022 = 012 = О (101 —

напряжения должны быть распре­ делены равномерно, причем, как следует из физических соображений

и выражения для о гх (7.5), оХ1 > 0. Отсюда и из условия пластичности т2 = fc2 находим

Полагая в формулах (7.5) 0 = 02 и приравнивая правые части ука­ занным значениям, получаем систему уравнений, из которой опреде­

(0 Х< 101 < 02), т. е. найденное решение, действительно, удовлетворяет условиям пластичности.

лами (2.13), где С- о0 + fcn/2; при 0Х< 0 < 02 - формулами (7.5) и, на­

Таким образом, при v ^ V* напряжение о33 в указанной области определяется формулой (2.14), а при v < v* - первым из равенств (3.20), где о+ = 2о0 и следует взять верхний знак. Анализ показывает, что если v ^ V*, то напряжение о33 находится по формуле (2.14) во всей области. В противном случае при 0 > л/4 происходит разгрузка по отношению к имевшему место пластическому скольжению, связанно­ му с условием т2 = к2. При этом

°зз = °зз + v(° + - °2); л / 4 < е < л ;

°33 = ° o - fc; °2 = 2оо-

В частности, в области вторичной пластичности

Из последних формул видно, что при г > е > 0 все компоненты гра­ диента перемещения, за исключением производной àu jd xx, ограни­ чены. Последняя же на берегах трещины оказывается бесконечной.

Перейдем к задаче IL Здесь в некоторой окрестности 0 = 0 располо­ жено центрированное поле линий скольжения (см. § 4.2), причем на оси х 1 (п > 0) о 1Х = 022 = 0. Из равенств (2.13) следует, что в области пла­ стического течения (101 ^ 0 Х)

Обращаясь'к формуле (3.23), учитывая асимптотическое равенство dujdx! — ди2/дх2 (справедливое, если указанные производные неограниченно возрастают по модулю при г -►0) и ограниченность компоненты dujdx2при Ц> е > 0, х 2 = 0, находим

Из последней формулы следует, что коэффициент А = const должен быть отрицательным.

Поступая точно так же, как и при решении задачи I, определяем напряжения в области разгрузки (0 х ^ 0 ^ 02):

+ (cos 20 - cos 20,) (1 + A cos 0,);

°33 = V( ° ll + 022)-

В области вторичной пластичности 02 ^ 0 ^ л, где напряжения постоянны,

Напряжения в области разгрузки (7.9) при 0 = 02 равны значениям, полученным по формулам (7.10). Отсюда находим

- 148-

Таким образом, область вторичной пластичности очень узкая: угол л - 02, соответствующий этой области, равен 10“ 3л.

Дальнейшее исследование задачи II показывает, что деформации в области разгрузки асимптотически неизменны (при изменении коор­ динаты х 2), как и в задаче I, а в области вторичной пластичности имеют особенности того же типа, что и в области первоначального пластиче­ ского течения (7.8). Компонента à u jd x2 однако, так же, как и в зада­ че I, на берегах трещины оказывается бесконечной.

Графики квадратов экстремальных касательных напряжений т2, т2>тз> отнесенные к к2, показаны на рис. 4.12 (кривые 1, 2, 3, соответ­

Таким образом, в случае плоской деформации идеально упруго­ пластического тела (без упрочнения) у края растущей трещины дефор­ мации имеют логарифмическую особенность, за исключением сдвиго­ вой компоненты (и поворота) в задаче И, где особенность - квадрат логарифма. В обеих задачах производная dujàx2 на берегах трещины оказывается бесконечной - порядка In х 2 (задача I) и In2 х 2 (задача II). В задаче I деформация в секторе 101 < л/4 ограничена, однако там имеет место довольно большое всестороннее растяжение: среднее напряжение о ^ 3,7721 /с.

Ввиду того что напряжения в окрестности края трещины ограни­ чены, а производная ди/дхх имеет лишь логарифмическую особен­ ность, при росте трещины, как и в антиплоской задаче, энергия в ее край не стекает.

З а м еч а н и е . Приведенные выше асимптотические равенства содержат выражения In г, In х2, где под знаком логарифма стоит раз­ мерная величина. Такие выражения указывают на характер особен­ ности и имеют лишь асимптотический смысл. В точном представлении аргумент логарифма должен быть безразмерным, в связи с чем следо­

замену первых выражений на вторые, после чего они будут иметь более правильный вид. При этом параметр L естественно отождествить

единица длины, скажем, сантиметр, и значения г, х 2, L выражаются числами, то

§ 4.8. Критерии. Возможность устойчивого роста трещин

Приведенные выше решения указывают на отсутствие потока энер­ гии в край трещины, растущей в упругопластическом материале. Этот факт настолько противоречит укоренившимся представлениям (выте­ кающим из модели упругого тела), что воспринимается некоторыми исследователями как парадокс, требующий принятия мер для его преодоления. Но можно ли требовать от классических моделей сплош­ ной среды, чтобы в них обнаруживалась потребность в энергии для разделения тела на части? Ведь в этих моделях ничего подобного не заложено.

То, что это происходит в линейной механике разрушения, обуслов­ лено свойствами упругого тела. При квазистатическом росте трещины в напряженном теле энергия высвобождается, однако нигде, кроме особой точки - края трещины, она не может поглощаться. Поэтому она туда и стекает. Сам же механизм поглощения энергии данной теорией непосредственно не улавливается. В случае рассматриваемой модели упругопластического тела высвобождающаяся в упругой области энергия может полностью поглощаться в результате необратимых пластических деформаций у края трещины.

Таким образом, оставаясь в рамках этой модели, нельзя учесть собственно поверхностную энергию, которая необходима для разрыва связей и образования новых поверхностей. Можно ввести лишь эффек­ тивную энергию - энергию, поглощаемую в пластической области. Первая, однако, в пластических материалах (для которых имеет смысл исследование пластической области на основе геометрически линей­ ной теории) много меньше второй, поэтому в первом приближении можно обойтись и без модернизации модели упругопластического тела. Следует лишь отказаться от энергетического критерия Гриффит­ са, который здесь неприемлем. Он может быть заменен деформацион­ ным критерием - естественным аналогом силового критерия Ново­ жилова.

Осредним компоненту деформации, отвечающую рассматриваемой задаче (е22, е21, е23 для задач I, II, III соответственно), по сектору г < а, 0 <0 < л/4 и введем предельное значение осредненной деформации е*. Критическое состояние у правого края трещины сопоставим с равен­ ством