книги / Механика трещин
..pdf
Носители функций Рот(т = 1, 2, 3, 4): х = - cxt, x = t = 0, x = t = О, х = cxUЧто касается функций ££f = 1/D £f , то, как видно из процедуры вывода зависимостей для D+ (3.13),
£ ± = ô(x )ô (0 - |
|
|
|
д f 1 |
1 |
Г |
(p(a)cfa |
------- \-------- ехр |
— |
V-P- |
— — - |
dt I nlxl |
л |
J |
а + t/x |
|
|
ь, |
(3.17) |
X sin[(p(f/x)][ Н{± t/x - |
|
+ t/x). |
|
Переход к приближенному описанию (1.30) состоит в пренебреже нии вторыми членами в правых частях формул (3.13), (3.17) (двойная свертка с Ô(x)ô(i) - тождественное преобразование) и замене парамет ра на blie.
Полученные зависимости позволяют написать следующие пред ставления функции SLF в виде произведения двух функций, оригина лы которых определены выше:
SLF= S £ s L r , |
m = 1,2,3; . |
cLFriLF cLF cLF cLF |
cLFriLF cLF. |
|
|
|
|||||
°1 + |
|
°02 °03 °04 > |
°1 - |
°01 > |
|
|
|
||
$2* = D^F$оз S04 , |
|
S^f = D^F |
; |
|
(3.18) |
||||
cLF_ |
nLF cLF. |
c LF - r^LF c LF cLF cLF |
|
|
|
||||
°3 + - |
u + |
o 04 , |
o 3_ |
и r |
o 01 |
^02 °оз • |
|
|
|
Носители |
функций Sm+, |
Sm и |
области |
между |
ними указаны |
||||
в табл. 5.1 (с = x/t). |
|
|
|
|
|
функций |
= |
||
Аналогичные соотношения можно написать для |
|||||||||
= l/SFF. Ввиду того что носители функций Р02, Р03 точечные (х = f =D), во всех вариантах представления (3.18) носители функций Рш+, Рт. будут одинаковыми:
|
c2 <Sc<c, (Pm+), - |
C l< C < - C 2 |
(Pm_). |
|
|
|
|
Таблица 5.1. |
|
|
m |
Носители |
Промежуточная |
|
|
|
|
V |
область |
|
S m . |
|
|
|
1 |
-Сд«С«С, |
-Cj <c< -c2 |
— c2 < с < — C R |
|
2 |
CR<C<C, |
- Cj < |
c < - C R |
— Сд < С < Сд |
3 |
c2 < c ^ c l |
- Cj <c < |
сЛ< с < с 2 |
|
Функция SFF (1.26), фигурирующая в задаче II, отличается от S лишь одним параметром в множителе Snf S04 (3.14). Если в функциях
s of> S04» Soi> So4» pov po4 (2*14)- (2.16) заменить параметр cx на c2, то все приведенные выше зависимости будут отвечать функции S1V
Как видно из табл. 5.1, в представлениях (3.18) носители функций
SFF, SFFлежат вне одного из диапазонов между соседними скоростя ми - с2, - Сд, Сд, с2. Это позволяет решить задачу о трещине, распро страняющейся со скоростью (в том числе и переменной) в любом из указанных диапазонов (см. § 5.4).
Проведем факторизацию SLF применительно к межзвуковому диапазону: с2 < и < сг Заметим, что функция, факторизация которой достигается с помощью интеграла типа Коши, должна быть такой, чтобы ее логарифм стремился к нулю при q -*•± Следовательно, ее модуль должен стремиться к единице (q -*•± °°), а ее индекс (прираще ние аргумента, деленное на 2л) должен быть равен нулю. Этим усло виям удовлетворяет функция DLF (3.10), но факторизация (3.18) для межзвукового диапазона не годится.
Положим s=/gu+p. Тогда функция S(iqu+p,q) будет отвечать преобразованию в движущейся системе координат: преобразованию Фурье S(t, uf+ ri) по r\= х - ut с параметром q и преобразованию Лапла са по te параметром р[93, 115]. Для решения задачи о распространении
трещины (разреза) с межзвуковой (фиксированной) |
скоростью о |
|||||
достаточно |
факторизовать SLF= SFFSFF так: S+ = 0 при |
х <ut(r\ <0\ |
||||
S_ = 0 при |
Л>0 |
(SFF(iqu + р, q) не имеет особых точек |
при |
Img^O, |
||
SFF(iqu + р, q) - |
при |
Im q ^0, |
p >0). Анализ показывает, |
что при |
||
с2 < и <сх для задачи I, II (см. формулы (2.25), (2.2), (2.23)] |
|
|
||||
IndSLF= - y - |
G) (1), |
IndS L F = - G) (H). |
|
|
||
При p= + 0
ггb\U2 Vo"
SLF(iqu + 0, q) = ------ -——— |
( - |
iq+ 0)Q(iq+ 0)“ 1_ü) (1); |
|
|
r s |
|
|
г г |
biu2 \Zÿ~ |
( - |
iq + 0 )-1/2+“ (i(7+ 0 )-l/2- (*) (II); (3.19) |
SLF{iqu + 0, q)------------— - |
|||
|
Г Х |
|
|
e = [(2 - |
b|u2) 4+ 16(1 - b fu ^ b 2u2- l)]1' 2. |
||
Впредставлении (3.19) имеется нужное разбиение на множители,
иэтого достаточно для решения стационарной задачи (см. §5.4). Для факторизации SFFпри р > 0 (т. е. для решения нестационарной задачи) представим
rF SLF(iqU + p, g)
° ~ SFF(iql) + 0, q)
Так как индекс не зависит от p(Rep>0), функция D0 обладает нужными свойствами и ее можно факторизовать с помощью интеграла типа Коши (3.11). Заметим, что в формулах (3.20) вместо SLF(iqu + 0, q) можно взять любую функцию с теми же индексом и ростом при q ± °°, например, в задаче I положить
SLF(iqU + p,q) = SFFDLF;
SL0F= - |
M Ü ’ |
VZT |
|
(3.21) |
п |
( - iq + р)“ (»д + р )'1_ы; |
|||
OLF= SLF/SLF- j (q -± *> ), |
lndDLF= 0. |
|||
В отличие от |
(3.18) факторизация |
(3.21) приводит к функциям |
||
с носителями при х > uf(D+) и при х < u f(D j |
(с2 < и < с х); диапазона, |
|||
содержащего о, в котором обе эти функции были бы равны нулю, здесь нет.
§5.4. Общее решение обобщенной плоской задачи
одинамике трещины
Обратимся к формулам связи между перемещениями и напряже ниями на границе упругого полупространства (1.13), (1.26). В силу сим метрии в задаче I т = 0, в задаче II 0= 0. Таким образом, для всех трех задач имеет место соотношение
uLF(s,q j= S LF(s,q)aFF(s,q), |
(4.1) |
где выражение для функции SLF, а также смысл переменных ц о конкретизуются в зависимости от номера задачи так, как это следует из указанных формул. Пусть в результате факторизации SLF= SFFSFF- получены функции S* P+, S Р_ (P±F= 1/S±), удовлетворяющие условиям
Pit, х) = 0 |
( * < и J); |
|
SX Uх) = РД t, х) * 0 |
{х > иJ); |
(4.2) |
и _ < и ..
Рассмотрим нестационарную задачу (начальные условия нулевые) о полубесконечной трещине, расположенной на оси х х = х < l(t). Счи таем, что берега трещины загружены напряжениями 0= о_(/, л), где
о = °22 (задача I), о 12 (задача И), о23 (задача III). В соответствии с усло вием, принятым при выводе зависимостей для функций SLF (см. § 5.1), с удалением от трещины напряжения стремятся к нулю. Предположим, что скорость края трещины удовлетворяет условию
и _ ^ / ^ и + . |
(4.3) |
Представим перемещение и и напряжение о в виде сумм и = и+ + и_ , о+ + 0. , где индекс плюс относится к функциям с носителем на про должении трещины (х > /(/)), индекс минус - к функциям с носителем на берегах трещины {х < /(f)). В силу симметрии и+ = 0, однако, чтобы не уменьшать общности решения уравнения (4.1), не будем пока это учитывать. Полагая, что функции о. , и+ заданы, а функции о+ , подлежат определению.
Разделив обе части уравнения (4.1) на SFF, представим его в виде
P^F(iI |
+ uLF) = |
+ oLJ ). |
|
(4.4) |
Равенство (4.4) эквивалентно следующему: |
|
|
||
P. * * |
+ (Р_ * * ц+ - S+ * * o_)H(l(t) - |
x) = |
|
|
= S+ * * 0+ - (P_ * * u+ - |
S+ * * 0_)#(x - |
/(f)). |
(4.5) |
|
Если носители функций |
, 0+ , удовлетворяющих данному урав |
|||
нению, действительно расположены в указанных выше областях, то, учитывая условия (4.2), (4.3) и утверждения, доказанные в §5.3, приходим к выводу, что
Р_**и_ = 0 |
(x>/(f)); |
S+,**O+ = 0 |
(4.6) |
(x < /(f)). |
Вторые члены в левой и правой частях уравнения (4.5) удовлетворяют тем же равенствам, что и первые (4.6), поскольку они содержат множи тели в виде функций Хевисайда с указанными аргументами.
Таким образом, левая часть равна нулю при х > /(f), правая - при х < /(f), а так как они равны друг другу на всей оси х, каждая из них может быть отлична от нуля лишь в точке х = /(f). Можно, следователь но, записать
Р_ * * u_ = (S+ * * о . - Р. * * ü+)#(/(f) - х) + С ;
(4.7)
S+ * * о+ = - (S+ * * о . - Р_ * * и+)Я(х - /(f)) + С ,
где С - обобщенная функция с носителем в точке х = /(f). Такая функ ция представляется в виде
Свертывая теперь обе части первого из равенств (4.7) с функцией S. , второго с функцией Р+и учитывая, что S_* * Р_ = Р+* * S+ = ô(f)ô(x)
(S±F-P±F= 1), а свертка с б-функцией - тождественное преобразование, получаем искомые формулы
и_ = S_* * {(5+ * * о_ - Р_ * * u+)#(/(f) - |
х) + С}; |
о+ = - Р+ * * {(5+ * * о_ - Р_ * * и+)Н{х - |
(4.9) |
/ (0 ) - С}. |
Выражения в фигурных скобках равны нулю при х > l(t) (для иJ и при x< l{t) (для о+), а функции 5_, Р+ удовлетворяют условиям (4.2), поэтому можно утверждать, что полученные решения также удовлет воряют нужным условиям, а именно
ii_ = 0 (х>/(0), |
0+ (*</(*)). |
Обобщенная функция С должна определяться дополнительными условиями, так же, как и в статике. Эта функция порождает однород ные решения. Действительно, если о _ = и += 0, а С^О, то, как следует из формул (4.8), (4.9),
|
|
|
оо |
t |
|
|
и = и_ = S_* * С= s s s_{t- т, х - |) X |
||||||
х |
I / т (т )б ^ (| - l(T))dTdl = |
|
||||
|
т= 0 |
|
t |
|
(4.10) |
|
|
" |
дт |
|
|||
= |
Г |
|
/(i))/m(T)di ^ 0; |
|||
^ |
Т Т Г |
| S -.it- т , х - |
||||
|
т=0 |
дхт |
О |
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
о = о += |
] Г |
дт |
P+(t - |
т, х - /(i))/m(T)dx Ф0. |
||
дхт |
||||||
|
|
т= 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
То, что носители этих функций действительно удовлетворяют условиям и = 0 при х > l(i), о = 0 при х < l(t), следует из процедуры вывода формул (4.9), (4.10), но это можно установить и непосредствен
но. На основании неравенств (4.3). имеем х - |
l(t) + u _ (f - т) ^ х - |
/(т) = |
|
= х - / ( 0 + НО ~ Нт) ^ х - /(I) + i)+ ( f - т). Отсюда и |
из равенств |
(4.2) |
|
получаем S_(t- т, х - /(т)) = 0 (х > /(0), P+( f - |
т, х - |
/(т)) = 0 (х < /(0), а |
|
следовательно, тем же равенствам удовлетворяют и функции и, о. Функции S+ , Р± известны (они не связаны с конкретной задачей
о трещине). Таким образом, решение (4.9) в общем случае определяет ся четырехкратным интегралом.
Найдем выражения для асимптотик напряжений и перемещений у края трещины. Пусть носители функций S_ , Р, и скорость трещины определяются неравенствами
Положим
u+ = c = 0, S+ **o _ = / (f, x);
P+ = g(t, x)H(x - иj t)H2(u2t - x);
(4.12)
S. = h(t, x)H{- u , f - x)H2(u2t +x);
где функции Хевисайда введены, чтобы явным образом указать на но сители функций Р+ , S_ . (Так как g, h - обобщенные функции, следо вало бы писать Я (х - Ojf + 0),. . .,H (u 2f + x + 0). Мы этого не делаем, однако имеем это в виду.)
В соответствии с формулами (4.9) и зависимостями (4.11), (4.12)
—00 |
t |
|
U-= И |
h (T ,l)f(t-Т ,х - | ) Х |
|
- 000 |
(4.13) |
|
Х Я (- иjT —|)Я(и2т + |)Я(/(<- т) - x + QdTdt,. |
|
|
Имеем l(t- т) = l(t) - /(О т> т ^ ** ^ Как видно |
из представ |
|
ления (4.13), на носителе подынтегрального выражения выполняются неравенства
О^ К |
+ /(О ]т |
^ /(О т - £ < /(f) - x, |
£ < 0. |
(4.14) |
|
Если /(f) - х |
+ 0, то из соотношений (4.14) следует, что при опре |
||||
делении |
соответствующей асимптотики |
можно полагать |
0 < т О, |
||
О> £ |
0. При этом для значений x, t, где функция f(x, t) непрерывна, |
||||
f( t - |
т, x - |
I) |
x). Вынося эту функцию за знак интеграла находим |
||
U- ~ [S+(f, х) * * o_(t, *)] и5_(т, l)dTd% (х - 1(f) - 0), |
(4.15) |
||||
|
|
|
'd_ |
|
|
где область GL определяется неравенствами, вытекающими из пред |
|||||
ставления (4.13): |
|
|
|
||
- |
и2т |
|
Ujt, |
|
(4.16) |
i{t)T - |
l{t) + x < I < 0. |
|
|||
|
|
||||
На рис. 5.7 указанная область заштрихована, прямая 1: | = - UjT, прямая.2: | = - и2т,прямая 3: \ = х - l(t) + i(t)x.
Аналогичным образом представление
о+ = - И * ( т ,Ш * - т , х - |
|)Я (£- ütT)x |
-со 0 |
|
ХЯ(0 2Т - l ) H [ x - l - l ( t - |
T))drdl |
приводит к неравенствам |
|
О < [ о 1 - / ( 0 ] т < | - /(О т < х - 1(f) - + 0, 0 < 6 •
С учетом ограничения на ско рость трещины (4.11) снова получаем £ “*■т 0 и, следовательно, в обла сти, где функция непрерывна,
0+ ~ - [5+(^ х) * * 0_{t, х)] х
*И Р . ( т, DdTdl d.
( х - 1(0 + 0). |
(4.17) |
|
|
Область |
, заштрихованная на |
|
|
рис. 5.7, определяется неравенствами |
|
||
£ ^ и 2т, |
- l(t) + i(t)x. |
(4.18) |
|
На указанном рисунке прямая 4: £ = Uji, прямая 5: £ = и2т, прямая 6:
Ê = l(t) + î(t)x.
Когда Uj = u2 и функции Р+, S_ можно представить в виде Р+ = = p(f)ô(x- иО, S_ = s(f)ô(x + ut), указанные на рис. 5.7 области превра щаются в отрезки прямых:
** - ДО
5 - " т> |
0 < , < ^ г й " т* Ю ; |
|
|
/(1) - х |
(4.19) |
|
|
|
| = - и т , |
---------:— |
= т ( d ) . |
|
и + /(1) |
- |
При этом
* ± - 0 ,
5 |
S P+dTdZ, = J |
р (т)с/т, $$ |
S .c fic fl = $ s ( i ) d i . |
cf+ |
0 |
d- |
° |
Рассмотрим однородные решения |
|||
|
= S_ * * С, |
о+ = Р+ * * С, |
|
определенные формулами (4.10), в которых заменим т на f - т. На носи теле функции S_(P+)
- и2т ^ х - |
l(t- т) ^ - UjT |
(üii < х - l(t- т) ^ и2т). |
(4.20) |
Для границ указанных областей получаем уравнения |
|
||
|
(5-), |
(Р+), |
|
Х~ Kt~ |
- Ul,2TTl,2 = |
|
|
Если х-*- l{t), то
T_ V - 0, i ( f - T ^ 2) ~ / ( f ) - / W T + v
и из уравнений (4.21) следует
l(t) ~ X |
* - к о |
- 1,2
Указанными значениями можно заменить пределы интегрирова ния по т в формулах (4.10).
Рассмотрим теперь трещину конечной длины î_(t) < х < /+(f), /+ - /_ ^ /0 > 0 (t> 0). Представим напряжения суммой
о = о_ + о” + о+, |
(4.22) |
где о_ - напряжения, действующие на берега трещины, о1 - |
на продол |
жение трещины х ^ /+ . |
|
Выражения для напряжений о1 можно получить из формулы (4.9) для напряжений о +, если в ее правой части заменить 0_на0_ + 0" (при этом о+ = о+) или заменить о_ на о. + о+, Р+ на Р_, 5+ на (при этом о+ = (Г) (полагаем, что / < иxt, а носители функций Р+,S+(P_, S_) распо
ложены п р и и ^ ^ х < u2t (- и2^ х ^ - |
их0). Итак, при и+ = 0 |
|
|
о+ = - |
Р+ * * {[S+ * * (о_ + (Г)]Я[х - |
/+(0] + С+} ; |
|
о- = - |
р_ * * {[S. * * (о. + o+)]H[L(f) - х] + С '}, |
(4.23) |
|
где С* - |
обобщенные функции, сосредоточенные на краях |
трещины |
|
х = /+• Заметим, что влияние напряжения 0“ на функцию о+(о+ на (Г)
сказывается с запаздыванием на время, необходимое для распростра нения возмущений от одного края трещины до другого со скоростью о 2. Так, если (Г = 0 при t < т и то
(S+ * * 0‘ )Я [х - /+(<)] = О, |
|
|
|
когда f < f_, |
где значение f_ |
определяется |
уравнением u2(f_ - т1) = |
= /+(f_) - |
При этом t. > |
так как /+ - |
/_ > /0 > 0 {t> 0). Анало |
гично, если о* = 0 при t < т2, то |
|
|
|
(S. * * o+)H[L(t) ~ X] = 0 |
|
(4.24) |
|
при t < t +, a |
|
|
|
u2(f+- T 2) = /+( * 2) - 1 . ( 0 |
|
(4.25) |
|
при f+ > т2.
Зависимости (4.23) позволяют в принципе рассчитать напряжения на продолжении трещины. Подставим выражение для функции о~ в первую из формул (4.23). Вначале определим напряжение о+, полагая его значение в правой части формулы равным нулю, затем подставим туда найденную зависимость. Отличие „второго приближения” скажет ся с некоторым запаздыванием, определяемым равенствами (4.24), (4.25). Повторяя те же действия, т. е. снова подставляя в правую часть найденное выражение для 0+, получим следующее приближение и т. д. Существенно, что для определения точного результата при любом конечном значении времени потребуется лишь конечное число таких приближений, так как каждая последующая поправка запаздывает на время Дt > /0/о 2 по сравнению с предыдущей.
После этого напряжение о” можно определить по второй из формул (4.23), а перемещения берегов трещины - по формуле (4.9), полагая найденные напряжения о" внешними. Впрочем, поскольку напряже ния определены для всех значений х, перемещения можно найти,
обратив соотношение (4.1): |
|
u(t, x) = S(t, х) * * o(t9х), |
о = о_ + о- + о+. |
Рассмотрим стационарную задачу для трещины, распространяю щейся с постоянной скоростью и. В этом случае и= и (х- ut), о = = о (х - иt). Решение такой задачи можно найти как предел, к которому при t 00 стремится решение соответствующей нестационарной задачи с нулевыми начальными условиями. Перейдем в (4.1) к преобразова нию Фурье в движущейся системе координат, положив s = iqu + р, домножив на р и устремив р к нулю [93,115]. Получим
uF*(q) = SLF(iqu+0, |
q)oF*(q). |
|
|
(4.26) |
||
При докритической |
скорости (lui < cR- |
задачи I, II и |
IиI < с2 — |
|||
задача III) |
|
|
|
|
|
|
& F(iqo + 0, q) = f0(u)SLF(+ 0, q), |
|
|
(4.27) |
|||
где SLF(+ О, q) соответствует статической задаче |
|
|||||
&*(+ 0, |
q) = - |
d(iq + 0)~1,2(- iq + O)'1'2, |
|
|
||
d= (1 - |
v)/p |
(1,10, |
d= l/р |
(III), |
|
|
a функция / 0 определяется формулами (1.18), (1.29) и рис. 5.3: |
|
|||||
/ о = - Ф |
) 5 22 |
(О, |
f0 = ~a(v)Sll |
(II), |
/o = -o (0 )S 33 |
(III). |
|
|
|
|
|
|
(4.28) |
Отсюда видно, что в докритических диапазонах скорости трещины при заданных напряжениях на ее берегах решение стационарной
14-171
динамической задачи и(л, и), о(л, и), Л= * - ut, отличается от решения
статической задачи лишь |
множителем / 0(и) в выражении для пере |
мещения: |
|
ы(П, и) = / 0(и)и(л, 0), |
о(л, и) = о(л, 0). |
В диапазоне CR< и < с2 (для задач I, И) в (4.27) функция / 0 сохра няется, a SLF(+ 0, q) заменяется:
SLF(iqU + 0, q) - - f 0(u)d(iq + О)’ 3' 2 (- iq + 0)1/2,
в результате чего в решении появляется неопределенная функция, отражающая действие источника энергии в точке x x = ut (см. § 5.2, 5.5).
Для тех же задач в межзвуковом диапазоне (с2 < и < с х) функция SLF(iqu + 0,q) определена формулой (3.19). Решение задачи (4.26) в межзвуковом диапазоне достигается с помощью того же метода, что и статической задачи - как „задачи сопряжения” [61]. Учитывая требо вание ограниченности потока энергии (в межзвуковом диапазоне это влечет за собой отсутствие потока в край разреза), для задачи I поло жим [см. формулы (2.25)]
* |
л |
/ £ |
+ / \ м |
л |
л |
Ф( » = и Ч » 1 — |
1 ; |
Ф( » - и ' ( 0 £ - “ , |
|||
где первое равенство соответствует разрезу 1л1</, второе-для разреза при л < 0; (*) заменяетсялна w - 1/2 для задачи II. Как и в фор мулах (2.3.13), скачок функции Ф(£) известен [с учетом (4.26), (3.19)] на всей вещественной оси и и'(л), о(л) определяются интегралом типа Коши. Например, для задачи I (см. § 2.3; р - плотность) на основании выражений (3.19), (4.26) имеем
t+ . |
pu2 \[а .. |
. |
|
|
|
|
||
г |
" .... С±ШЫ д± |
U= |
±0); |
|
||||
и " = |
G |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
л, |
|
|
pu2 л/0Г |
|
П |
d\\ |
||
и — |
+ |
/ ) |
Q |
|
1 |
J |
||
U |
|
2л, |
\ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
-~1 |
|
|
pu2 л/0Г |
0( I)) cos Л(0 + |
|
|
|
||||
и = |
е |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' / - |
Л\аз 1 |
v.p. |
|
É +/ \w |
0(1) |
X |
||
+ 1-------Ч |
— |
|
- É+ / / |
|
d\ sinno) |
|||
/+ л / |
л |
-/ |
|
|
Ê - П |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|