книги / Механика трещин

Заметим, что в стационарной задаче длина трещины сохраняется неизменной. Если трещина движется и ее длина конечна, то с одной стороны она раскрывается, с другой - смыкается. При этом в диапазо­ не 0 < и < сд в точке Г) = - / энергия выделяется (вытекает из особой точки), а в точке Г) = / поглощается (стекает в особую точку).

Вернемся к нестационарной задаче. Как видно из соотношений (4.15) - (4.19), в областях, где функции, вынесенные за знак интеграла, непрерывны, асимптотики перемещений и напряжений у края полубесконечной трещины определяются произведением: первые из множи­ телей - функции времени - зависят от истории движения трещины,

/(f)- Таким образом, последние множители можно определить, рассмат­ ривая стационарную задачу. На основании соотношений (4.13), (4.15), имеем

со скоростью края трещины / в данный момент времени в нестационар­ ной задаче. Тогда

Тогда

Q. = - ~ г Ш а/ Г ^ ) я (/ - X).

у/л

Таким же способом находим: если

P^F(iqO,q)=f+(ü)P^F(0, q);

то

Итак, в нестационарной задаче о полубесконечной трещине асим­ птотики перемещения и напряжения у края трещины можно предста­ вить в виде

7 7 /.[/(01 Фи) - X [S+(f, х) * * о _U, *)] (х - / - 0);

Перейдем к однородным решениям. Для тех значений t, в которых функции f{t), l(t) непрерывны, формулы (4.10), (4.20) определяют следующие асимптотические равенства (х - / “*•0; fm= 0 (ш Ф к), fK= /)

Ви д н о , что интегралы в правых частях этих равенств также можно определить, рассматривая стационарную задачу. В соответствии с формулами (4.10), (4.14)

u .-fU W -, о . - М Н . (х - /);

Положим, как и выше, / = ut, и = const Тогда

И ? - # ?

5 - zqu

s - iqu

Hf* = 5 ^ (zq u ,q )( - I# ;

« T - W o ü . q K - »(,)*.

Если справедливы равенства (4.29), (4.30), то в нестационарной задаче о полубесконечной трещине

н - ~ 7 г / - й « - £ г № » - * “ -

(4.34)

Но при любом значении к = 0,1,. . . однородные решения (4.33), (4.34) не удовлетворяют условию непрерывности перемещения берега трещины (локальной ограниченности потока энергии). Следовательно, в тех случаях, когда функции SFF, PFF представляются в виде (4.29), (4.30) , обобщенная функция С= 0.

Выпишем выражения для функций /Ли) (4.28), /.(о ) (4.29), / +(о) (4.30) . Для плоской задачи функции SLF, P^Fопределим применительно к факторизации, проводимой для решения задачи о полубесконечной трещине, движущейся с дорэлеевской скоростью, т. е. в соответствии со вторым вариантом факторизации из указанных соотношениями (3.18). Основываясь на формулах (1.24), (1.29), (1.30), (3.8), (ЗЛО), (3.12), (3.14), получаем следующие зависимости ( - с2 < и < с2, и # + cR):

задача I:

задача II: в соответствии со сказанным в § 5.3 приведенные выше формулы (4.35), (4.36) будут отвечать задаче II, если параметры с19 Ь19 blie в выражениях под явно выписанными радикалами (У~) заменить на с29 Ь29Ь2* соответственно;

задача III:

(4.37)

Графики функций - / 0(с) (см. рис. 5.3), ц/_(и)/(1 - v) (рис. 5.8), / +(и) (рис. 5.9) пронумерованы соответственно указанным выше задачам (для задачи III следует положить v = 0). Графики отношений функций /+, определяемых формулами (4.36), к их точным значениям (4.35)

§ 5.5. Переход через критическую скорость

Формулы (4.9) определяют решение нестационарной смешанной задачи при условии (4.3), когда скорость точки раздела граничных условий / заключена между скоростями границ носителей функций 5+, Р+и 5_, Р_ (4.2) при данной факторизации. Другая факторизация может отвечать другому диапазону. Рассмотрим теперь задачу для случая, когда скорость / переходит из данного диапазона в другой.

Пусть на интервале 0 < t < t 1 скорость точки раздела граничных

можем записать решение задачи для интервала t < tx в виде формул (4.9), в которых функциям 5± , Р+ следует приписать индекс 1:

Здесь обобщенная функция С (4.8) обозначена через С±. Положим, что при t > скорость / лежит в пределах

(если р = п, то это означает, что / > ип). Таким образом, считаем, что при t= tx скорость точки раздела граничных условий, пересекая „крити­ ческую” скорость иш+1, а возможно, и иш+2, . . ., переходит в другой диапазон, указанный неравенствами (5.3). Предположим, что суще­ ствует факторизация вида (5.1), где индекс т заменяется на р (если

В отличие от равенства (4.5) здесь свертка Р2_ * * u_(u = ц+ + u j, вообще говоря, отлична от нуля при х > /, так как при t < t 1 скорость / ^ Up. Поэтому из уравнения (5.4) нельзя получить два равенства типа (4.7), как это оказалось возможным для уравнения (4.5). Однако при всех значениях t S2+ * * о+ = О (х < /), так как всегда выполняется неравенство un+v В уравнении (5.4), таким образом, левая часть равна нулю при х > /, правая - при х < /. Следовательно,

где С2- обобщенная функция типа (4.8), сосредоточенная при х= l(t). Правая часть последнего равенства содержит, однако, неизвестную функцию и_ (функция и+, как и о_, полагается заданной).

Представим и_ = их_ + и2_, где Uj. - функция, определяемая первой из формул (5.2) для любого значения t. Поскольку их_=и_ при К t19 на этом интервале и2„ = 0. Поэтому для любого значения t свертка и2_ * * Р2_ = 0 при х > /. Но данная свертка в правой части равенства (5.5) содержит множителем функцию Хевисайда Н (х- /) равную нулю при х < /. Следовательно, произведение равно нулю при всех значениях х Ф/, и с точностью до обобщенной функции, сосредо­ точенной при х = /, которую можно включить в неопределенную фун­ кцию С2, справедливо равенство

{Р2_ * * и)Н(х - /) = (Р2_ * * и+ + Р2_ * * Uj J # ( x - /).

Правая часть этого равенства известна: функция ц+ задана, а функция Wjопределена первой из формул (5.2).

Подставим в правую часть соотношения (5.5) выражение для функции tij. в виде

Получим

о+ = - F 2+ * * {[S2. * * о . - Р2. * * Ц+ -

- Р2_ * * Si_ * * (51+ * * о_ - * * u+ + Cj

(5.6)

- (51+ * * о . - Рг_ * * и+)Н(х - /))] X

X Я(х - /) - С2} .

Поскольку

Р2- * * S j . * * 5 1+ = Р2_ * *S = 52+ ;

Ра. * * V * * Л - = ^2- * * [à(t) à(x)l = Р2_ ,

подчеркнутые члены в выражении (5.6) взаимно уничтожаются и фор­ мулу для искомой функции о+ можно переписать в виде

видим, что выражение в квадратных скобках (5.7) равно нулю при х < I и, следовательно, множитель Н(х-1 ), стоящий после квадратных скобок, можно опустить. Учитывая тождество Р2+ * * Р2_ * * = Р1 + , которое следует из предыдущего (5.8), находим (t < tt)

о+ = - Р1+ * * [(51+ * * 0. - P j. * * U+) х

х я ( х - 0 - Cj +p2+**c2.

Сравнивая этот результат со второй из формул (5.2), видим, что

С2 = 0 при t < t 1.

опущен, в результате чего формула (5.7) становится тождественной второй из формул (5.2). Функция определяется равенством

Перейдем к случаю, когда при t = t1скорость точки раздела гранич­ ных условий убывает, т. е. к случаю р < т . Запишем уравнение (4.1) так:

Р2_ * * м_ - (S2+ * * о - Р2_ * * и+)Н(1 - х) =

Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным выше для случая р > т.

Положим о+ = о 1+ + о2+, где функция о 1+ определяется второй из формул (5.2) для любого значения t Поскольку о2+ = 0 при t < t 19 свертка S2+ * * о~+ = 0 при х <1 и для t > tv Следовательно, произве­ дение (S2+ * * о2jH(l - х) = 0 при всех значениях х Ф/ и с точностью до обобщенной функции, которую можно включить в неопределенную функцию С2, справедливо равенство с известной правой частью

(S2+ * * о)Я(/ - х) = (S2+ * * о_ + S2+ * * о 1+)Я(/ - х).

Подставив сюда выражение для о 1+, определяемое, как было условлено, второй из формул (5.2) для любого значения t9и учитывая тождества S2+ * * Р1+ * * 51+ = S2+, S2+ * * Р1+ * * = Р2., преобра­ зуем формулу (5.11) к виду

щий после квадратных скобок, можно опустить. Используя тождество S2- * * S2+ * * Р1+ = Si_, находим

Сравнивая это с выражением (5.2) для ц_ видим, что формула (5.12) справедлива и для t < t 19но при t < t1обобщенная функция С2 = 0.

Функция о+ определяется после этого так:

о+ = Р* * (и_ + ц+) - о..

Рассмотрим теперь задачу о динамической деформации упругой полуплоскости, на границе которой заданы одна из компонент напря­ жения, действующего на границу: о = о_(х < /(f)) (другая компонента равна нулю ( - 00 < х < °°)) и соответствующая компонента перемеще­ ния и = и+{х > /(f)). Искомыми являются функции о = о+ (х > /), и = (х < /). Начальные условия нулевые.

г+:

S2. = 51.**[HW6(f-VcJ?)];

p 2+ = p i + * * [ W à ( t ~ X / C R ) 1

Поскольку свертка с б-функцией - тождественное преобразова­ ние, а дифференцирование не расширяет носителя функции, ясно, что в данном случае выражение в квадратных скобках формулы (5.7) равно нулю при х <1 и функцию Н{х - /), стоящую после этого выражения, можно опустить. Учитывая, кроме того, что Р2+* * Р2„* * S1- = Л+> найдем

Обратимся теперь к формуле (5.9). Представим ее с учетом послед­ него равенства в виде

Сравнивая зависимости (5.14), (5.15) с формулами (5.2), видим, что решение (5.2), полученное для дорэлеевской скорости точки раздела граничных условий, можно экстраполировать так, как это предписы­ вается указанными формулами (5.2), - на диапазон сд < / < с2. При переходе через рэлеевскую скорость появляются, однако, дополни­ тельные слагаемые Р2+ * * С2 для напряжения о+ и S2_ * * С2 для пере­ мещения ц_, где С, - неопределенная обобщенная функция, сосредо­ точенная при х = /(f) и равная нулю при f < fr

В плоской задаче требование непрерывности перемещения берега трещины (ограниченности потока энергии) приводит к равенствам

и поэтому, как показано в § 5.4, С\ = 0. Что же касается однородных решений * * С2, Р2+ * * С2, то, воспользовавшись соотношениями (4.29), (4.30), (4.32), (4.33), (5.13), находим для них следующие асимпто­ тические выражения {х /):

о+ ~/(*)Я+,

H 5 = -/.(ü )(iq + 0)-3' 2(u /c* - 1)-M- /q)K,

Я? = - Д(о)(0 - iq)-ll2(0/cR - 1 Г Ч - iqr

{cR<u = i< c2).