книги / Механика трещин

пк =1к> соответствуют одинаковые значения энергии, определяемой суммированием по указанным значениям и интегрированием.

Применению дискретного преобразования Фурье в задачах для систем с периодической структурой посвящена статья [72].

§ 6.2. Стационарная задача

Нашей целью является вывод макроскопического критерия разру­ шения упругой среды через параметры ее микроструктуры. Имея это ввиду, можно считать, что по масштабам микроструктуры скорость трещины, направление ее распространения изменяются достаточно медленно. Это позволяет рассматривать установившиеся („стационар­ ные” ) режимы для полубесконечной трещины, развивающейся с по­ стоянной скоростью, хотя на макроуровне трещина может быть конеч­ ной, а параметры ее движения - переменными.

Таким образом, в рамках указанной цели основное значение при­ обретает стационарная задача динамики решетки.

Единственность обсуждавшегося выше соответствия между ди­ скретным и непрерывным была обусловлена привлечением дискрет­ ного преобразования Фурье (1.3)- (1.5). В стационарном случае, одна­ ко, более удобной является другая интерполяция.

Рассмотрим периодическую функцию

(2.1)

где хк - дискретная переменная {хк = ск, ск ± ак, ск ± 2ак, . . . ); t - не­ прерывная. Такая функция может быть решением „стационарной” задачи: наблюдатель, перемещающийся (скачками) вдоль координаты х 1 через равные промежутки времени - средняя скорость), в каждый период между скачками будет видеть одну и ту же картину (изменяющуюся в течение периода aju). Ясно, что функция, удовле­ творяющая условию (2.1), в действительности зависит не от t и х

При и Ф0 ее первый аргумент принимает все вещественные значения из-за непрерывности времени t. Переходя к „соответствующей” фун­ кции непрерывного аргумента x v конечно, проще всего не менять представления (2.2), полагая в нем координату х г непрерывной. Тогда функция / 0 будет отвечать стационарной задаче в полном смысле этого слова: / 0 не зависит от t для наблюдателя, движущегося вдоль оси х х с постоянной скоростью и. Ввиду того, что на зависимость / от t не на­ кладывается никаких ограничений, зависимость / 0 от ц (от непрерыв­ ной переменной x j , вообще говоря, не отвечает соотношению (1.6), т. е. преобразование Фурье над ней по х 1 не принадлежит множеству

Вп, а сама функция / 0 не принадлежит множеству интерполирующих функций, рассмотренных в §5.1. При этом преобразование Фурье / 0F* (q, х2х3) по непрерывной переменной г|= ATI —ut можно рассматривать как преобразование по ( - ut) при фиксированном х х = 0 или как преоб­ разование по непрерывной переменной х при ut = 0.

Предположим, что при о = 0 существует решение статической задачи/0(х 19 х2, х3), являющееся пределом (для почти всех uf) реше­ ния динамической задачи при и -* 0. Это означает, что как бы ни мало было значение и > 0, допускаются периодически возникающие дина­ мические возмущения (связанные, например, со скачкообразным распространением трещины в решетке), которые, однако, заметны лишь в исчезающе малый промежуток времени по сравнению с пе­ риодом a ju (и -►0) и, следовательно, на исчезающе малом интервале отрезка а1 оси x t. Тогда, если функция f0(xx - of, х 2х 3) интегрируема (по первому аргументу), для любого фиксированного значения qt

оо

ff(<h,x2,x з ) = S foiv, Х 2 , x 3)eicirfdT) =

Сa t(n + 1)

Таким образом, при указанных условиях преобразование Фурье по л с точностью до множителя (ei(hai - l)/(iqx), не зависящего от вида функции / 0, стремится (и -►0) к дискретному преобразованию Фурье для предельной статической задачи. Если же речь пойдет об однород­ ных соотношениях между преобразованиями Фурье различных функ­ ций, с чем мы будем неоднократно иметь дело при исследовании конкретных задач, то упомянутый множитель не будет играть никакой роли и при и -+ 0 соотношение относительно непрерывных преобразо­ ваний по л будет переходить в соотношение относительно дискретных преобразований по пх [в функции от qxax (2.3)].

Решения линейных стационарных задач, вообще говоря, не един­ ственны. Действительно, в таких задачах не ставятся начальные усло­ вия и тем самым не фиксируются решения однородных уравнений, в частности для бесконечных областей - гармонические волны, кото­ рые могут распространяться по данной системе. В связи с этим предла­ гались различные „правила отбора” (принципы причинности или предельной амплитуды, предельного поглощения, принцип Зоммерфельда, принцип Мандельштама, см. по этому поводу [8, 13, 50]), цель которых обеспечить единственность решения за счет исключения начальных возмущений или волн, приходящих из „бесконечности” .

Ниже устанавливается довольно простое правило отбора, основанное на принципе причинности [8], или принципе предельной амплитуды [13], пригодное как для непрерывных, так и для дискретных задач, стационарных (в указанном выше смысле) в движущейся системе координат [93, 102]. В соответствии с упомянутым принципом един­ ственность стационарной задачи достигается введением условия: решение стационарной задачи является пределом (t-+ 00, 1r|I < const < °°) решения той же, но нестационарной задачи с нулевыми начальными условиями.

Пусть последняя приводится к соотношению

где SLF - аналитическая функция s и q, не имеющая особых точек и нулей при R e s > e 1 >0, Urn q\ < е2(е1), a uLF, oLF - изображения функций медленного роста, например, если и - функция непрерывной переменной х,

оо оо

«“ ■(* q) = $ S u(t, x)exp (iqx - st)dtdx,

— 00 0.

a если имеется в виду дискретная переменная п = 0, ± 1,. . . (х = ап), то

оо

uLF°(s, q) = I 5 u(f, n)exp (iqn - st)dt.

П0

Одна из функций ц, о может быть задана во всей области х, t, другая - подлежит определению. В смешанной задаче на части области может быть задана одна из этих функций, на остальной - другая. Функции в соотношении (2.4) могут зависеть и от других переменных. Предполо­ жим, что существуют пределы (t 00, Iril < const < °°)

lim u(t, x)e~mt = u(x\);

где uF*(q),. . . - преобразования Фурье по Л [см. формулу (2.3)]. Соот­ ношение (2.6) появляется при формальном решении стационарной задачи, функция SF* может иметь особые точки и нули на веществен­ ной оси q, что и делает решение неединственным. Найдем связь между функциями SLF(s, q) и S**(q) при условии (2.5).

Для непрерывного случая положим в соотношении (2.4) S = /0) + + iqi) + е. Из формул обращения немедленно следует [93], что uLF{i(ù +

+iqu + е, q),. . . являются преобразованием „на луче”

оооо

Домножим обе части (2.4) на е. Учитывая предположение (2.5), предель­ ную теорему для преобразования Лапласа (lim u(t) = lim euL(e)) и (2.7),

Слагаемое-символ 0 (нуль) употребляется, как обычно, в том смысле, что сумма представляет собой предел справа:

SLF{0 + iqu + loo, q) = lim SLF(e + iqu + IOO, q). e-*+o

Итак, из (2.8) получаем следующее предельное равенство

дающее правило обхода особых точек и нулей функции SF*(q) при инте­ грировании в формуле обращения для преобразования Фурье по ц.

Заметим, что SrF(s, q), l/SLF(s, q) - преобразования фундаменталь­ ных решений соответствующей нестационарной задачи: uLF= SLF при о = - ô(f)ô(x), oLF = 1/SLF(5, q) при и = - 6(t)à(x). Если рассматриваемая линейно упругая среда устойчива, то указанные фундаментальные решения не растут экспоненциально и их LF-изображения не имеют особых точек, а следовательно, и нулей на вещественной оси q при Re s > 0. Поэтому представляем (2.9) функция SF* на вещественной оси доопределяется полностью в том смысле, что из (2.9) однознач­ но устанавливается правило обхода ее особых точек и нулей. Равен­ ство (2.9) означает, что при формальном решении стационарной задачи везде, где встретится выражение iqu + т (в частности, со = 0 или и = 0), его следует рассматривать как предел справа. Тогда решение будет отвечать упомянутому требованию, т. е. будет являться пределом решения той же, но нестационарной задачи с нулевыми начальными условиями.

Для случая дискретной переменной приходим к тому же резуль­ тату. Представим формулу обращения в виде (а > 0)

л oc+i'00

Положим S = (2лк + q)iu + ico + up, q = q - 2лк. Тогда

°°(2к+1)л оф+1Л

(2к-1)л a/и-1л

-244-

+ up, q')exp (upf - iq'r\)dpdq =

Соотношение (2.10) представляет собой формулу обращения для двойного преобразования: непрерывного преобразования Фурье по ц (здесь ц и соответственно п = х можно рассматривать как непрерывную переменную - так, как это уже указывалось выше для решений ста­ ционарных задач) и дискретного преобразования по uf = 0, 1, . . . .

Равенство (2.4) можно переписать в виде

ри^Цр, q) = ~ SLF°(iqu + fa) + up, q) ро^Цр, q).

В стационарной задаче можем полагать Tj=jt - uf = n - uf непрерывной переменной. Преобразование Фурье по т] приводит к тому же соотно­ шению (2.6). Устремляя р к нулю и учитывая (2.5), получаем, что в дискретном случае

где fK- целые функции по обеим переменным, а особые точки и нули функции Р могут находиться лишь там, где какая-либо из функций fK обращается в нуль. Введем вспомогательную однородную задачу

ненулевые решения которой представляют собой обобщенные функ­

До перехода к пределу / =/(iQ + е, q), е -* + 0. При Re е > 0 корень уравнения /= 0 будет отличаться от q0. Обозначим его q0 + у. Полагая и = const (и = и0), имеем

Рассмотрим некоторые частные случаи, которые встретятся в даль­ нейшем. Пусть df/dQ =É0, о Фиг Тогда при е-^ + 0 в ряде (2.15) асим­ птотически существенны лишь первые два члена (у 0 при е 0). Сохраняя только эти члены и используя первое из равенств (2.14), находим

Таким образом, при указанном условии точка q = q0 представляет собой предел сверху (из верхней полуплоскости g), если и > ug, и пре­ дел снизу в противном случае.

Пусть и = ие Ф0, ô//ôQ=É0, düg/dqi^O. Обращаясь к (2.14), (2.15), находим

Видно, что при этом q = q0- двойной корень: один „приходит” из верх­ ней полуплоскости, другой - из нижней.

Пусть теперь df/dQ = d2f/dQdq = 0, и Ф ug, d2f/dQ2 Ф0. Тогда, как следует из тех же соотношений, корень снова двойной:

В отличие от (2.17) здесь корни приходят из разных полуплоскостей только при и < иg.

Определим расположение корней в случае четырехкратного нуля функции h2(q) = 2(1 - cos q) - Q2, Q = gu, о = 1, g0 = со = 0. При помощи

Таким образом, здесь три корня приходят из верхней полупло­ скости и лишь один - из нижней.

Видно, что в случае однократного корня (2.16) формулы (2.11), (2.12) приводят к принципу Мандельштама [50] для неоднородной вспомогательной задачи (2.13), стационарной в движущейся системе координат. Действительно, как следует из формулы обращения для преобразования Фурье, полюс q = q0 ± i0 (og ^ о) в выражении для tfi, отвечающем неоднородному уравнению (2.13), соответствует синусои­ дальной волне излучаемой влево (в сторону х-*-оо если полюс - пре­ дел из верхней полуплоскости q, т. е. при ug < o ) или вправо (при üg > и ). Это эквивалентно принципу Мандельштама, согласно которо­ му энергия, распространяющаяся со скоростью ug [8], должна излучать­ ся „на бесконечность” (а не приходить из бесконечности), т. е. влево, если üg<u и вправо при ug >u . При кратных корнях (2.17)- (2.19) непосредственное применение принципа Мандельштама было бы затруднено, кроме, пожалуй, случая (2.18) при и > ug.

Если сказанное относительно целой функции / справедливо для любой из функций fK(2.12), т. е. свойства нулей fK исчерпываются рас­ смотренными случаями, то сохраняются и выводы о происхождении особых точек и нулей функции Р, попадающих в пределе (t °°) на ве­ щественную ось q, а следовательно, и о направлении излучения.

Введя равенство (2.9) или (2.11), мы вынуждены рассматривать неоднородную задачу, поскольку решение однородной задачи с нуле­ выми начальными условиями остается нулевым (в решетке нет син­ гулярностей, которые могли бы быть источниками энергии). Однако интересующие нас процессы - разрушение и сопровождающее его воз­ буждение высокочастотных войн происходят, по масштабам макро­ уровня, у края трещины, где внешние силы как правило отсутствуют. Учет же внешних сил, действующих вдали от края трещины - по масштабам микроуровня, внес бы неоправданные дополнительные сложности в решения конкретных задач. Проще считать, что эти силы действуют „на бесконечности” и рассматривать однородную задачу. Возникающее при этом противоречие со сказанным выше можно разре­ шить, рассматривая однородную стационарную задачу как предел неоднородной нестационарной.

Рассмотрим вначале неоднородную смешанную нестационарную

где RLF - изображение внешних сил и, как обычно, индексом + (-) обозначены функции с носителем при Ц> 0 (п ^ 0) и изображения таких функций, не имеющие при е > 0 особых точек при Im q > 0 (Im q < 0). Заметим, что если в указанном выше смысле Im q = + 0,

то такая точка считается принадлежащей верхней полуплоскости (или

Здесь SFF{S^F) не имеет особых точек и нулей в верхней (нижней) полуплоскости q, включая вещественную ось (при е > 0), где регуляр­ на и не имеет нулей (также при е > 0) функция S%F. Тогда для е = + 0 выражение (2.20) можно переписать в виде

Предположим, что произведение SF*SF* в точке q = qp, р = 0,1,. . . , на вещественной оси q обращается в нуль порядка ыр, т.е.

SF*SF*~ const (0 + i(q - qp))w+ (0 - i(q - qp))“ -

Правая часть (2.22) должна удовлетворять двум условиям. Во-пер­ вых, она должна давать вклад в решение стационарной задачи, следо­

Во-вторых, так как мы хотим найти решение однородной задачи, RF*{q) как обобщенная функция должна быть равна нулю:

Полное решение складывается из частных, отвечающих правым

частям вида (2.26) для всех тех вещественных значений q, при которых = 0. Учитывая еще и решение однородного уравнения (2.22),

получаем

n = 0 ,1, . . . .

Переход от неоднородной задачи [см. формулы (2.20), (2.22)] к однородной открывает возможность притока энергии из бесконечности, что было ранее исключено введением равенств (2.9), (2.11). Однако теперь это контролируемая возможность: выбирая должным образом (исходя из физической постановки задачи) постоянные в правой части (2.27) и используя равенство (2.9) или (2.11), мы предотвращаем другие, кроме заданной, возможности притока энергии. Заметим, что если qp Ф0, то введение соответствующего члена в правой части (2.27) порождает поток энергии в форме высокочастотной волны (с частотой - qpu).

§ 6.3. Волна разрушения в цепочке

Роль структуры среды в динамике разрушения достаточно ярко проявляется при исследовании простейшей модели - одномерной решетки-цепочки, состоящей из частиц, расположенных на прямой и взаимодействующих с помощью линейно-упругих связей. Разруше­ ние (частичное) состоит в том, что при некотором критическом напря­ жении связи ее жесткость внезапно уменьшается. Исследование распро­ странения волны в такой цепочке имеет и некоторое самостоятельное значение в связи с вопросами, возникающими при постановке задачи о распространении плоской волны разрушения в хрупком теле.

Известны различные формулировки задачи о распространении волны разрушения (волны дробления) в упругом хрупком теле [6567]. Каждый из предложенных вариантов теории такого процесса основан на какой-либо гипотезе, например, о скорости волны разрушения [14, 66, 67], об интенсивности упругого предвестника [22] или об энергии разрушения [91, 107]. Введение дополнительного соотношения необ­ ходимо для замыкания системы уравнений динамики сплошной упру­ го-хрупкой среды. Однако без привлечения данных о структуре фронта разрушения подобное соотношение нельзя обосновать. Это обстоятель­ ство отличает волны разрушения от „обычных” нелинейных волн, макропараметры которых определяются независимо от структуры фронта [107].

Указанное принципиальное затруднение можно устранить [110], если обратиться к среде со структурой, что и делается ниже. В качестве

простейшей модели среды со структурой взята прямолинейная цепоч­ ка: каждая из составляющих ее частиц взаимодействует с двумя сосед­ ними с помощью линейно-упругих безынерционных связей. Масса каждой частицы, расстояние между ними и жесткости неповрежден­ ных связей приняты за единицы измерения; это означает, что за еди­ ницу скорости принимается скорость длинных волн в неповрежден­ ной цепочке. Ясно, что при этом соответствующая одномерная среда без структуры до разрушения характеризуется единичными плотно­ стью и жесткостью. При некотором напряжении связи о = о* << 1 про­ исходит ее частичное разрушение: жесткость связи принимает (поло­ жительное) значение а2 < 1. В отличие от постановки той же задачи в рамках модели сплошной среды, здесь надобность во введении каких-либо дополнительных гипотез не возникает.

Учет структуры приводит к обнаружению высокочастотных волн, уносящих часть энергии от фронта разрушения (эффект, аналогичный повышению температуры [91]). Это позволяет определить макроско­ пический критерий разрушения и макропараметры процесса - отноше­ ния о i/o*, о2/о*, где Oj = constосредненное напряжение в упругом предвестнике, о2 = constосредненное напряжение за фронтом раз­ рушения. Оказывается, что Oj < о* и что разрушение может происхо­ дить и в том случае, когда о 2 < о* (0 ^ > 0). Последний вывод может показаться странным, если его рассматривать, оставаясь в рамках модели сплошной среды без структуры. Здесь же он очевиден: полные напряжения за фронтом разрушения (с учетом высокочастотных волн) превышают осредненное значение.

Рассматриваем стационарную задачу. Полагаем, что скорости и и

нельзя представить перемещения, которые из-за наличия упругого предвестника зависят еще и от х.

В случае неповрежденных связей для произвольной частицы спра­ ведливо уравнение движения

a(n) = Q (n)- 0(Л - 1) + Я(П),

где (?(П) - увеличение расстояния между данной частицей (х = ц + uf) и соседней частицей справа (х = ц + ut + 1); Д(П)'- внешняя сила, дей­ ствующая на данную частицу. Из определения Qследует

д 2(?(Т1)

— _ = и 20"(п) = а(Л + 1)-а(Л).

Отсюда получаем следующее уравнение „в напряжениях” [для непо­ врежденной цепочки напряжение °(Л) = (?(Л)]

u2Q"(n) + 20(tl)- С(Л - 1 )- 0(Л + 1)«

(3.1)

= Р(л) = Я(л + 1) - К(Л).