книги / Механика трещин

(5.17)

Видно, что при к = 0 (и только при к = 0), когда функция С2 опре­ делена выражением (5.16), однородные решения удовлетворяют нужным условиям. При этом функция f(t) остается неопределенной. Она соответствует сосредоточенному источнику энергии, движуще­ муся со сверхрэлеевой скоростью (сд < / < с2).

Как следует из формул (2.2.25), (4.31), (5.17), интенсивность излу­ чения энергии из края трещины связана с функцией f(t) следующим образом:

- г — (o/Cjî- i y 2m m n t ) =

(CR< и < Са).

§ 5.6. Автомодельная задача

Рассмотрим задачу о трещине, начальная длина которой равна нулю. В этом случае метод, основанный на последовательном учете взаимного влияния напряжений изложенный в §5.4, не может быть применен. Если задача автомодельна: и = tKu(t/xl9 t/x2), то ее можно решить другим способом, например на основе метода функционально-инвариантных решений [32, 31, 117, 122]. При этом используются решения уравнений теории упругости, определенные и вне плоскости трещины. Однако для приближенной модели (1.30) состояние вне указанной плоскости не определено, постулирована лишь связь (4.1) между перемещением и напряжением в плоскости трещины. С целью получить решение как для точной, так и для прибли­ женной моделей, воспользуемся другим методом, основанным на введении аналитических представлений, определяемых формулами (1.16), (1.17). Для реализации этого метода достаточно соотноше­ ния (4.1).

Полагаем, что функция SLF(s, q) (4.1) удовлетворяет условиям

50[(x + iO)/t] = - 5 0[(x - iO)/t] ( - u 0t < x < u 0t9 o 0 > 0),

причем функция S0(z, t) ограничена и отлична от нуля в некоторой

рассматриваемым задачам, удовлетворяют условиям (6.1). Для задач I, II и0 = ср , для задачи III о 0 = с2.

Пусть напряжение o(t, х) представимо в виде

Dn_m(t) = d™Dn(t)/dt™.

При этом свертка с Dn(t) означает - n-кратное дифференцирование по t (п < 0), n-кратное интегрирование (п > 0) или тождественное преобра­ зование (п = 0), Dn(t) * Dm(t) = Dn+m{t). Из представления (6.2) следует, что L F - преобразование функции o(t, х) имеет вид

где Qo ” некоторая функция, которая получается в результате указан­ ных преобразований. Отсюда и из соотношений (4.1), (6.1) получаем

Значение п в (6.2) - (6.5) определяется зависимостью для напряже­ ния о_ или перемещения и+ (для них это значение предполагается

< x < v +t) л = 0.

Используя формулы (1.16), (1.17), находим связь между аналитиче­ скими представлениями для функций и и о (обозначаем их теми же

буквами, но вместо переменной х для и и о пишем z для их аналити­ ческих представлений):

Отсюда

u{t, z) =Dn+2(t) * 5 0f — [[D.n.iW * o(f, z)][,

t[D-„-2(t) * u(t, z)]

Полагаем, что для функций u{t, х), o(t, х) существуют представле­ ния Коши, которые даются формулами (1.16), (1.17), и введенные здесь аналитические представления - представления Коши. В связи с этим

o(f, z) = 0(l/z), u{t, z) = 0(l/z) (Izl °°). (6.7)

Данное предположение, очевидно, выполняется в рассматриваемой задаче о трещине, поскольку при любом конечном значении t функ­ ции и, о - финитные.

При сформулированных условиях (6.6) - (6.8) решение задачи не единственно, так как существуют нетривиальные однородные реше­ ния. Например, для п = - 1, положив и+ = о_ = 0, можно записать

u(t, z) = u0(z/t) = i[(z/f + о t)(z/t- u2] - 1/2 =

(y = + 0), a следовательно, o_ = 0. Вместе с тем u_ Ф 0, o+ Ф 0, т. e. нетри­ виальное однородное решение действительно существует.

В связи с этим введем, как обычно, условие непрерывности пере­

которое для задачи о трещине ограничивает поток энергии. Уравнение (6.6) решается, по существу, тем же методом, что и аналогичное урав­ нение для статики (см. § 2.2). В соотношение (6.6) введем функцию fi

Второе равенство вытекает из первого, поскольку скорости концов трещины - и1 ^0, и2 >0, и если при некотором значении t = t x коорди­ ната данной точки x > u 2tx или х < - о xtl9 то эти неравенства сохраня­ ются и для t < t 19 вследствие чего свертку по времени с функцией и можно заменить (для указанных областей) на свертку с функцией и+.

На интервале - < х < u2f непрерывно отношение S0{z/t)/u0{z/i). Поэтому на том же интервале, как видно из равенства (6.11),

Здесь, вообще говоря, нельзя заменить о на 0_: если функция о интегрируется (п = - 2, - 3,. . . ), то для t = tx свертка будет зависеть от напряжений o(t9х)9 которые для t < t 19 точнее, для f < т а х ( - х / и ^ х/и2), обозначены как о+. Однако при п > - 1, когда свертка в правой части равенства (6.13) не меняет носителя функции o(t, х)9

существенные для дальнейшего лишь как сингулярные обобщенные функции. Поскольку последние сосредоточены в указанных точках,

по ее скачкам (6.12), (6.13), (6.14). Для перемещений и напряжений, используя равенства (6.11), можно написать следующие формулы:

u(t,x) = lim[ii(t,z)- u(t,z)];

у-*+О

a(f,x) = lim [o(f,z)- o(f,z)]; y-*+0

u(^ z) = Dn+2{t) *[t-'w(z/%

слагаемые в выражении для w(z/Y), кроме интеграла по области у (6.15),

свертка с Dn+1(t) (6.15) означает (п + 1) кратное интегрирование по L По той же причине, по которой нельзя было заменить о на о . в форму­ ле (6.13) при п < - 1, можно утверждать, что вклад в интеграл на ука­ занном интервале будут давать значения о = о +, соответствующие однородным решениям.

Из сказанного следует, что произвольные постоянные должны определяться условием (6.8) относительно функции о. А именно, они должны быть выбраны так, чтобы на интервале - i)tt < х < u2t напря­ жение о, рассчитанное по формуле (6.15), совпадало с заданным: о = о_.

Из соотношений (6.15) следует, что при 0 < х < u2t x/U2

(6.16)

о

где Фх(хА) - скачок функции Ф^z/t) = w{z/t)/[(z/t)S0{z/t)] при x > u 2t.

Второе слагаемое в правой части выражения (6.16) должно быть равно

нулю. Следовательно, 1/и,

о

Система линейных уравнений (6.17) определяет постоянные Вт. Точно так же из условия о = о_ при - и J < х < 0 получается система

уравнений относительно постоянных Ат: 1/U

при х -►иt + 0 коэффициент интенсивности напряжений выражается следующим образом:

и

(n = - 1);

Vu2 - а 2

О

Пусть к берегам трещины приложены постоянные сосредоточенные силы: o_(f, х) = - b(x)H(t) (п = - 1). Тогда из формул (6.18) получаем

где / = текущая полудлина трещины, функция / 0 определена формулами (4.35)- (4.37) (см. рис. 5.3). Сравнивая с формулой (2.2.17) для р(£) = ô(|), видим, что здесь отношение статического коэффициен­ та интенсивности напряжений к динамическому равно / 0(и).

В случае равномерно распределенной нагрузки o_(f, х )= — H (ut-

-Ixl)H(t) получаем зависимости

=- q ^ D ^ R ^ y fïw t;

Здесь К и £ - полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

Для приближенного описания (1.30)

На рис. 5.11 представлены графики отношений К(и)/К(0)9построен­ ные по формулам (6.19) и пронумерованные соответственно рассматри­ ваемым трем задачам, а на рис. 5.12, 5.13отношения KffKi, Щ/Кц соответственно (v = 0,3). При расчетах принимались значения парамет­ ров Ь(1#2)*, определяемых формулами (1.31).

Как видно из рис. 5.4, 5.10, 5.13, в случае задачи И приближенное

описание приводит к довольно значительному отличию от точного результата даже для умеренных скоростей. Лучшее соответствие получается при выборе параметра Ь2* из условий совпадения функций 5 ц и 5i ю в среднем на интервале 0 ^ x/t < сх [86] (принимаются глав­ ные значения соответствующих интегралов). Графики зависимостей отношений btJb2 (кривая 1), b2Jb2 (кривая 2) от коэффициента Пуас­ сона показаны на рис. 5.14, а соответствующий этому график отноше­ ния коэффициентов интенсивности напряжений Кц/Кц, определенных по формулам (6.19), (6.20), - на рис. 5.15.

Рис. 5.11.

§ 5.7. Некоторые задачи о динамике пояубесконечной трещины

Начнем, как обычно, с антиплоской задачи. Пусть, полубесконечная трещина (х < /(/^расширяется со скоростью I < с2 (/ > 0). Как было показано выше (3.9), функции S+, Р+ для антиплоской задачи сосре­ доточены на луче x = c 2t. При этом общее решение нестационарной задачи относительно напряжения на продолжении трещины о23 = о+, соответствующее импульсу о_ = ô ( / - f 0) ô (x - x 0), х 0 < /(0), дается формулой (4.9) при С = 0

Итак, при действии сосредоточенного импульса напряжение на продолжении трещины представляет собой сосредоточенную силу, движущуюся со скоростью и и изменяющуюся во времени. Параметр т0, удовлетворяющий уравнению (7.2), соответствует моменту, когда фронт волны, излученной импульсом, достигает края трещины и по­ рождает указанную сосредоточенную силу.

Перемещение в плоскости х г = х, х 2 определяется сверткой фунда­ ментального решения (1.18) с напряжениями о_ + о+[о_ = ô (f - f0)ô (x -

т0 - время прихода фронта сдвиговой волны, излученной импульсом, к краю трещины. Последующее движение трещины (0 ^ / < с2) не вли­ яет на решение.

Перемещения в плоскости х х, х2 определяются суммой прямой и отраженной волн. Первая описывается фундаментальным решением (1.18) и представляет собой цилиндрическую сдвиговую волну, излу­ ченную импульсом, действующим на границу полуплоскости. Вторая возникает в момент прихода фронта прямой волны к краю трещины.

несли в данный момент скорость трещины l(t) непрерывна, то /(т0 - - l(t) — l(t)(t - т0). Отсюда и из указанного уравнения следует

X “* XQ

Заметим, что при постоянной скорости трещины асимптотические равенства (7.4) становятся точными.

Пусть берега трещины при t = 0 нагружаются постоянными равно­ мерно распределенными напряжениями о_ = - о = const. При этом из формулы (7.3) получаем