книги / Механика трещин

Здесь индекс т принимает значения 2, 1, 3 соответственно указанным задачам для трещины, расположенной при х г <0, х 2= 0. Данный критерий содержит две постоянные: линейный размер а и предельную деформацию £*.

Рассмотрим задачу III об антиплоской деформации. В случае малой пластической области у края фиксированной (неподвижной) трещины выражение для деформации е23 имеет вид формул (5.6), (5.7).

Получаем

В стационарной задаче о растущей трещине асимптотика рассмат­ риваемой компоненты деформации определяется формулой (6.17). Примем значение Я* таким же, как и при неподвижной трещине (см. § 4.6), и предположим, что а Я*. Тогда, учитывая лишь главный член асимптотики, найдем

Отношение критических значений коэффициентов интенсивности напряжений, соответствующих растущей (ЯШср и неподвижной (ЯШс) трещинам

для пластичных материалов оказывается очень большим, поскольку параметр е* порядка единицы, а у - порядка 10” 3 - 10"2. Этим объ­ ясняется возможность устойчивого роста трещины в пластическом материале. Действительно, пусть в теле имеется некоторая начальная трещина. Будем постепенно увеличивать действующие на тело нагруз­ ки, раскрывающие трещину. При некотором их уровне достигается состояние, отвечающее равенству Кщ = Кщс (8.2), после чего трещина начнет расти. При этом будет происходить перестройка пластической области у ее' края - переход от состояния, соответствующего непод­ вижной трещине (5.7), к состоянию, описываемому решением стацио­ нарной задачи для движущейся трещины (6.23). Последнее характери­ зуется значительно большей сопротивляемостью материала распро­ странению трещины (Кцicg Кщс)у поэтому для ее продвижения необходимо увеличивать внешние нагрузки. Трещина станет неустой­ чивой лишь тогда, когда уровень внешних нагрузок и длина трещины будут отвечать состоянию, близкому к критическому для стационарно движущейся трещины (8.3).

В заключение отметим проявление масштабного эффекта для тре­ щины в пластине из упругопластического материала. Если пластина достаточно тонкая, то область у края трещины, где пластическое течение стеснено, т. е. та область, для которой предположение о пло­ ском напряженном состоянии материала не оправдано, может быть достаточно малой по сравнению с областью осреднения в критерии (8.1).

В противном случае напряженное состояние уже нельзя полагать пло­ ским. С увеличением толщины пластины в области осреднения оно приближается к состоянию плоской деформации, что ведет к снижению критического значения е*. Таким образом, трещиностойкость с увели­ чением толщины пластины уменьшается.

Критерии разрушения применительно к распространению трещин в упругопластических телах обсуждаются во многих работах (см. на­ пример, [11, 49, 77, 79]).

§ 4.9. Динамика трещины в упругопластическом теле

Рассмотрим те же стационарные задачи, что и в § 4.6, 4.7, но с уче­ том сил инерции, т. е. в динамической постановке. Зависимость пла­ стических свойств от скорости деформации учитывать не будем - сох­ раним условие пластичности (1.2) и закон пластического течения (1.6). Тогда по сравнению с квазистатическими задачами изменятся лишь уравнения равновесия (2.1.2), в которых объемные силы будут отлич­ ны от нуля: Fj = - рd2Uj/dt2 = - $с2д2щ1дх21, где последнее равенство вытекает из предположения о стационарности задачи для трещины, расположенной при х 2 = у = 0, х х - et = х < 0, с = const > 0.

Начнем, как обычно, с антиплоской задачи. В соответствии со ска­ занным выше и принимая во внимание соотношения, приведенные в §4.1, условие пластичности, уравнение движения и связь между перемещением и напряжениями можно записать в виде

г, 0(х= г cos 0, у = r sin 0) и предположим, что частные производные по г от напряжений и деформаций знакопостоянны в некоторой окрестно­ сти г = 0 при 0 = const Тогда, учитывая, что по условию пластичности напряжения ограничены, при г -►0 имеем

еxz=— dw/dx также ограничена и, следовательно, для ее производных

2

справедливы асимптотические формулы (9.3). Положим

orz= oxz cos 0 + 0yZsin 0 = fc sinu ;

O02= oyz cos 0 - oxz sin 0 = k cos со.

При этом условие пластичности удовлетворяется автоматически, а из уравнений (9.1) с учетом сказанного выше следуют равенства

Обращаясь к выражению для функции Л (9.4), находим, что в не­ равномерном поле

Л = — ( ± — V 1 " а2 sin2 0 - cos 0 ), 0 < а < 1.

\ir \ а

Поскольку Л > 0, в последней формуле и соответственно в правой части выражения (9.6) следует взять знак плюс.

Равномерное и неравномерное поля, каждое в отдельности, не удовлетворяют граничным условиям (9.2). Разгрузка с изменением напряжений при г = 0 невозможна вследствие ограниченности дефор­ мации гХ2(см. § 4.4). Остается комбинация полей (9.5), (9.6), а именно

Привлекая граничное условие при 0 = л, получаем

ctg 0* = ос.

Итак, рассматриваемые функции определяются зависимостями

(0* ^ 10! ^л).

ад/ 1 - a 2 sin2 0 + cos 0

Функция /(у) определяется условием непрерывности деформаций на границе с упругой областью, где при 0 = 0 dwldy = оу2/ц = fc/ц (х = L). Подчиняя выражение для dw/dy (9.7) данному условию, найдем

Видно, что при уменьшении скорости трещины деформация неограни­ ченно возрастает. То же относится и к углу, характеризующему раскры­ тие трещины (9.8). В отличие от квазистатики здесь деформация имеет менее сильную особенность, разгрузка непосредственно у края трещи­ ны отсутствует (она может происходить при удалении от края). Приве­ денное решение отличается еще и тем, что оно указывает на клино­ образную форму раскрытия трещины.

Перейдем к задаче о плоской деформации - рассмотрим задачу L Добавляя в уравнения равновесия силы инерции и привлекая соотно­ шения, постулированные в §4.1, можем записать следующие равенства, справедливые в области пластичности при условии т2 = к2 (2.9):

+- pc2— r = G;

—2Аохун

Функции о_, оху ограничены условием пластичности. Основываясь на приведенных зависимостях, можно показать [99], что среднее напряжение также ограничено. Таким образом, как и в случае квази­ статики, все компоненты напряжений ограничены.

Далее, рассуждения, аналогичные тем, которые приводились в случае антиплоской деформации, приводят к представлениям

причем указанные здесь асимптотики можно дифференцировать.

Если со'(0) Ф2, то, как следует из выписанных соотношений, при малых значениях полярного угла Л < 0. Таким образом,

А = со'(0) - 2 = 0,

3о

+ к cos (и - 20);

101 < 02 по одной из следующих формул (в зависимости от того, выпол­ няется ли соответствующее условие пластичности):

зависимостями (9.13), (9.16), (9.17) (ü'(0) = 2).

Раскрывшиеся берега трещины образуют клин, угол при вершине которого 20 определяется равенствомI

Приведем формулы, справедливые при малой скорости трещины (а - 0):

йа

При 101 < 0 и2 при 101 > 0 напряжения4 и деформации непрерывны и постоянны. Компоненты напряжений определяются соотношениями

ным условиям задачи и поэтому может трактоваться и как точное решение, отвечающее некоторым внешним нагрузкам. В последнем

Отличной особенностью решения плоской задачи является огра­ ниченность всех компонентов деформаций, а также поворота, причем данные величины [с учетом равенств (9.22)] - порядка /с/(ра), т. е. достаточно малы в обычных жестких материалах, если отношение