книги / Механика трещин
..pdfd% (x > 0, y = + 0);
(2.22)
dl (x<0, y=0).
Указанные решения существуют, конечно, лишь в том случае, если существуют соответствующие несобственные интегралы.
Из формул (2.22) или (2.18) можно получить решение однородной задачи о полубесконечной трещине (оуу = оху - oyz = 0 при х > 0, у = 0), совпадающее с соответствующей асимптотикой (2.19)- (2.21) у края трещины, берега которой свободны от напряжений. Положим в форму ле (2.18) z = - / + z19 р = pJ\j2Îи устремим / к бесконечности. Находим (индексы опускаются)
(х > 0, у = ± 0);
(2.23)
(х < 0, у = 0).
Видно, что здесь Re ф = 0 при х < 0, Im ф' = 0 при х > 0. Состояние упру гого тела, определяемое выражением (2.23) для функции ф, характерно тем, что хотя напряжения при удалении от края трещины стремятся к нулю, суммарное их действие отлично от нуля. Другие подобные решения ф = constzn~1/2, п = 0, ±1, ± 2 ,. . ., удовлетворяющие одно родным уравнениям и граничным условиям на берегах трещины, при п < 0 противоречат условию непрерывности перемещения берега тре щины, а при п > 1 соответствуют неограниченному росту напряжений при удалении от ее края.
При формулировке задачи I подразумевалось, что берега трещины расходятся: и ^ 0 при у = + 0. Если и < 0, то берега трещины проникают один в другой, т. е. возникает ситуация физически неосуществимая. В действительности, при соприкосновении берегов возникают напря жения, не учтенные при постановке задачи, когда предполагалось, что берега трещины не взаимодействуют. В связи с этим постановка за дачи I должна быть уточнена. Пусть по-прежнему трещина расположена на отрезке 1x1 < / - отрезке Q, а на ее берега действуют внешние нор мальные усилия ± о. Не исключая возможности того, что на части этого отрезка о <= Q берега трещины сомкнуты и, следовательно, оуу Ф - о,
положим |
|
|
|
|
0уу = - ° (и > 0 , |
х - о ) , у = + 0), |
(2.24) |
||
и = 0 (оуу ^ - |
0, |
х € (о). |
||
|
||||
Неравенство 0уу ^ - о отражает |
тот факт, что берега трещины, |
|||
по предложению, |
не |
притягиваются |
друг к другу, а могут лишь |
|
отталкиваться, если и = 0. При этом напряжения сжатия в области 0) ограничены, поскольку согласно зависимостям (2.19) неограниченным напряжениям сжатия на продолжении трещины (в данном случае
вобласти со) соответствует отрицательное перемещение верхнего бере га трещины. Условия (2.24) или равенство Ki = 0 для граничных точек области 0) служат для определения этой области. Заметим, что если множество со не пусто, то задача о трещине в линейно-упругом теле
вцелом становится нелинейной.
Рассмотрим следующий пример. Пусть плоскость равномерно сжа та напряжениями оуу = - о, а в центре трещины приложены сосредото ченные силы, раздвигающие ее берега: оуу = - Qô(x), Q > 0 (у = ± 0). На основании предыдущих формул имеем
1 + х |
1 + х |
/ |
----------- |
о = ------Re<p = -------- |
- |
оу/? ~ х 2 + |
|
4Ц |
4р |
\ |
|
, Q , |
" . ■ |
хV+/ iфу- + х |
(Ixl < Jj; |
||
+ — 1П |
---- г |
= |
+ * |
||
Л |
хv“/ i v -f i |
|
|||
|
Ixl |
[ |
Q |
ly |
1 |
|
Vx2 - |
/2 |
л |
|x| |
(/i < |x|). |
|
i/*2 ~ |
||||
Здесь область со состоит из двух отрезков, примыкающих к краям тре щины: /х < \х\ < /. Из формулы для нормального напряжения видно, что оно будет ограниченным в области о), если положить = £)/(ло).
Отсюда следует, что при Q> ло/ |
раскрывается вся |
трещина (/х =/), |
а при Q <по1 на части ее длины |
берега сомкнуты |
(1г < /). Если же |
@ = ло/, то хотя трещина раскрывается полностью, напряжения на ее продолжении ограничены. Это как раз тот случай, когда действие внешних нагрузок взаимно компенсируется в том смысле, что коэффи циент интенсивности напряжений обращается в нуль.
В случае если Q = ло/г ^ ло/, |
|
||||
Оуу — |
0 Vx2 - / 2/|x| |
(|х| > I j; |
|
||
и(х) = |
и +1 |
о |
/ t ln |
фу ~ X + фу + Х |
- ^ - X 2 |
|
4ц |
|
|
фу - X - фу + Х |
|
о( ± /х) = 0; |
и(0) = + °°; |
|
|||
|
к |
+ |
1 |
(0 < 1x1 < 1у). |
|
0'(х) = - |
|
|
|||
4(1
При этом напряжение оуу < 0 при |х| > ^ и ограничено, перемеще ние и > 0.
Определим связь между коэффициентами интенсивности напряжений
и потоком энергии в край растущей трещины [36, 121]. Основываясь на формулах (1.3.4), (2.15), (2.16) и учитывая, что
X
*0
находим
л1 к + 1
Т ^ ~ М * N =■“— |
(Kf+KîD+Kfo |
|
|
2 |
2|Л |
|
|
М = (Mi, Мц, Мш), |
N = OVi, JV„, ЛГШ ). |
(2.25) |
|
Если напряжения, приложенные к берегам трещины, постоянны и других внешних сил нет, то Кццц = р\/л7[см. формулы (2.18)] и
я/ |
и +1 |
|
(2.26) |
Т |
-------(о2 + т2) + т2 |
||
2р |
4 |
0 |
|
Рассмотрим с энергетической точки зрения указанные выше одно |
|||
родные решения <р= 2N(- z)1/2~n, N = const, л = 0 , 1 , . . . , у - |
z > 0 (z < 0, |
||
Imz = + 0). В качестве контура Г в соотношении (1.3.8) возьмем прямо угольник х = ± d, у = ± с, d/c -*• 0. При этом поток энергии через стороны х = ± d исчезает (при d/c -*■ 0) и с учетом симметрии остается интеграл
|
оо |
(у =с). |
|
|
Т = -2 $ о -ди / дх |
|
|
||
-оо |
|
|
|
|
Из представлений (1.7) для задачи I находим |
|
|||
и + 1 |
оо |
и + 1 |
оо |
|
Г |
- - nj2 j Im (z-i-in) |
dx. |
||
Г=------- |
1 lm[(<p'{z))2]dx ------------ N2 |
|||
4р |
J |
р |
|
|
-оо |
(2.27) |
Видно, что |
|
л(и + 1) |
(п = 0), Г = 0 (п > 0). |
Т = — -------- JV2 |
|
4р |
|
Из (2.27) следует, что при п = 0 поток энергии через любой отрезок ограничен, а для п > 0 нет (хотя суммарный поток при п > 0 и равен нулю). То же относится и к задачам II, III. Итак, требование непрерыв ности перемещений берега трещины, исключающее более сильные особенности (чем при п = 0), для упругих задач эквивалентно требова нию локальной ограниченности потока энергии. Как будет видно ниже, последнее условие более общее, так как оно применимо и в тех случаях,
когда (вследствие пластичности материала) требование непрерывности перемещения берега трещины не может быть выполнено.
Введем распределенные силы сцепления - напряжения взаимодей ствия между берегами трещины вблизи ее края [4, 73]. При этом меха низм потребления энергии при продвижении трещины оказывается на макроуровне и становится наглядным.
Рассмотрим плоскую задачу о трещине, расположенной на отрез ке 1x1 < /. Пусть безграничное упругое тело растянуто в направлении оси у напряжениями о, а берега трещины на отрезках / - а < Ixl < Î загружены напряжениями (силами сцепления) оуу = р. Для простоты примем р = const. Перемещение верхнего берега трещины (перемеще ние нижнего отличается лишь знаком) можно определить, основываясь на формулах (1.7), (2.14). Оно оказывается следующим:
и(х) = - |
к + 1 |
|
р |
и + 1 |
/ - а |
V Р - х2 - |
arccos |
yfp - х2 + |
|||
Д |
4 |
|
д |
2л |
|
X |
Xyjlalа2 + (/ - |
а)>//2 - |
х2 |
|
|
+ — In |
xyjlalа2 - (/ - |
а)д/Р - |
х2 |
|
|
2 |
|
||||
I - а |
у]2а\- |
а2 + у/Р ~ х2 |
|
|
|
|
In V 2а/ - |
a2yJP - х2 |
|
(2.28) |
|
Поток энергии через точки х = ± / (при росте трещины) будет исклю чен, если взять такие силы сцепления, при которых коэффициент интенсивности напряжений обращается в нуль. Эквивалентное усло
вие: о = о(/12 - |
х 2) |
при 1x1 |
/. Из формулы (2.28) следует |
|||
|
и + 1 |
И+ 1 |
l - в |
| /7Г— |
, |
|
и(х) = |
|
Р |
||||
4 |
— |
-------arccos |
-------- |
у» - |
x z + |
|
ц |
д |
2л |
/ |
' |
|
|
+ 0[(Р - х2)3/ 2].
Таким образом,
ло ло
(а - 0). |
(2.29) |
2arccos [(/ - а)//] |
2 |
2а |
Вновь обращаясь к формуле (2.28), находим перемещение верхне го берега трещины (половину ее раскрытия) в точках х = ± (/ - а):
р |
к + 1 |
о |
и + 1 |
и0 = и( ± ( / - в ) ) — |
-------а |
д |
(2.30) |
д |
2л |
4 |
Если сообщить трещине бесконечно малое удлинение - заменить / на / + б/, сохранив параметр а, то будет потеряна энергия 4уб/, равная работе сил сцепления на участках, где они исчезли при росте трещины.
Из (2.29), (2.30) видно, что |
|
|
л (к + 1) |
|
|
2у = 2 и 0р ~ " |
/о2 (а -*■ 0). |
(2.31) |
Формулы (2.26) и (2.31) показывают, что плотность высвобождаю щейся энергии при наличии сил сцепления оказывается асимптотиче ски (а 0) не зависящей от параметра а и стремится к тому значению, которое отвечает отсутствию сил сцепления.
Мы пришли к следующему результату. Суммарная сила, действую щая на берега трещины на ее концевых участках, при а 0 стремится к нулю:
однако ее работа при росте трещины на единицу длины стремится к постоянной, отличной от нуля. Переходя к пределу, мы теряем эту силу из виду - механизм потребления энергии переходит на микро уровень. Действие же этой силы - ее работа - не исчезает.
Рассмотрим произвольную трещину и возьмем точку на ее границе, в которой существуют плоскость, касающаяся трещины, и касательная к ее границе. Проведем ось z вдоль касательной, а ось х в плоскости, касающейся трещины. В этих осях асимптотики напряжений и переме щений будут теми же, что и в плоской задаче для прямолинейной тре щины (2.15), (2.19) - (2.21). Конечно, формула (2.17) для произвольной трещины не годится, коэффициенты интенсивности определяются решением соответствующей краевой задачи. По их значениям обычно судят об устойчивости тела с трещиной. Силовой критерий Ирвина [141] состоит в том, что либо для каждого вида деформации коэффи циент интенсивности напряжений сравнивается с соответствующим критическим значением (]С1с, Кцс, Кщс), либо нормируется некоторая функция от указанных трех коэффициентов [117]. В последнем случае критерием устойчивости трещины служит неравенство f(K\, Кц9Кщ) < < /* = const. В частности, в качестве такой функции можно взять функцию в правой части соотношения (2.25). Тогда силовой критерий становится полностью эквивалентным энергетическому критерию. Очевидно, что эквивалентность критериев сохраняется и при любом фиксированном виде деформации (фиксированном соотношении между коэффициентами К\, Кц, Кщ). В противном случае выводы, сле дующие из энергетического и силового критериев, могут различаться.
Обширная литература посвящена расчетам коэффициентов интен сивности напряжений [2, 74, 79, 83, 90, 117].
Эксперименты показывают, что трещина обычно растет в направлении,
перпендикулярном максимальным растягивающим напряжениям. В хрупких материалах трещина может развиваться и при сжатии тела - в направлении максимальных сжимающих напряжений. Разрушение при сжатии рассматривалось во многих работах [16, 23, 46, 62-64, 130].
Существует и другой тип разрушения при сжатии, например торо шение ледяного покрова, когда распространение поверхностных повреждений происходит в направлении, перпендикулярном действию сжимающих напряжений [19, 20]. На „макроуровне” , где детали про цесса не описываются, это выглядит как распространение трещины при „перехлесте” ее берегов. Разрушения такого типа обладают основными чертами, присущими традиционным трещинам отрыва: энергия разру шения концентрируется на поверхности (в масштабах макроуровня) и имеется концентрация у края, приводящая к распространению разрушения.
§2.3. Трещина как результат действия обобщенных внешних сил на сплошное тело
Рассмотрим плоскую задачу для безграничного сплошного тела (без трещин), нагруженного внешними объемными силами qx + iqy = = b(x)è{y)eia. Задача решается на основе соотношений (1.6). Положим
y=A\nz, ф =В 1п 2, z = x + /y , 4,B=const. |
(3.1) |
Из условия непрерывности перемещений при z Ф0 следует: В = - xÂ. Определяя силу, действующую на круг \z\= г ^ г0 со стороны остальной части тела, и сравнивая ее с указанной внешней силой (рассматриваем равновесие цилиндра единичной длины), находим А = - [2л(и + 1)]“ 1егос. Отсюда
и + /о = - [4лр(х + 1)]“ 1(2х In r-e2I0)eZ(Z- |
(3.2) |
Тем же путем для антиплоской задачи [q3 = ô(x)ô(y)] на основе пред ставления (1.9) получаем
|
1 |
|
1 |
(3.3) |
Ф |
-------------- In z, |
IV = |
---------------In r. |
|
|
2л |
|
2лц |
|
Вернемся к плоской задаче и возьмем внешние силы в виде (рис. 2.1, а)
qx = 0, |
qy = — |
[ô(y - a)ô(x) - ô(y + o)ô(x)] |
(а = л/2). |
Переходя к пределу (a 0), находим |
|
||
qx = 0, |
qy = - |
Ô(*)ô'(y). |
(3.4) |
6) |
У |
г) |
У |
|
1г |
1 |
( ) « |
-а |
|
а |
|
|
X |
||
|
|
|
|
|
|
х |
* Э-я |
2.1 .
Этому соответствует изменение знака и дифференцирование по у функций ф и ф (а = л/2) в (3.1), (3.2). Из (3.1) получаем
Ф= - [2л(и + 1)z]“ l, |
ф = - м[2л(и + I)*]"1. |
(3.5) |
|||||
Приведем некоторые используемые в дальнейшем соотношения |
|||||||
R ez*^ 1^ |
" |
1, я! 1m z'”’ 1 - |
± (- |
1)п+1лб^)(х) |
|
||
( у - ± 0 , |
п = 0 , 1 . . . ) ; |
|
|
|
|
||
|
|
( - 1)т п! |
, |
т)(х) |
(п > т), |
|
|
|
|
------------ |
б^п - |
|
|||
|
|
(п - т)! |
|
|
|
|
|
xmà(”)(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(п < ш). |
|
Отсюда, в частности, следует (у |
± 0): |
|
|
||||
Re zz~2 -+ х~\ |
Im zz~2 |
+ лб(х); |
|
|
|||
Re zz‘ 3 х ‘ 2, |
Im zz“3 |
± лб'(х). |
|
|
|||
Учитывая это, из формул (1.6), (3.5) находим |
|
||||||
4л|1(к + 1)и |
± (2и - |
1)лб(х); |
|
(3.6) |
|||
2л(к + 1 )оху -+ ± (к - |
2)лб'(х). |
|
|||||
|
|
||||||
Взяв теперь вместо обобщенной нагрузки (3.4) распределенную не которым образом на отрезке 1x1 < /, / > 0, получим трещину (в том смысле, что и(х + /0) = - о(х - /0) é 0 (1x1 < /), о = 0 (1x1 > /, у = 0). Однако, как видно из второй формулы (3.6), касательные напряжения на берегах трещины оказываются отличными от нуля, что противоре чит условиям задачи I. В связи с этим дополним полученное решение решением аналогичной задачи, соответствующей внешним объем ным силам:
Ях = ~ q0ô'(x)ô(y)> Чу = 0 ( а = 0), |
(3.7) |
и выберем коэффициент q0 так, чтобы касательные напряжения при у = 0 исчезли. Внешние силы, которым в пределе (а 0) соответствует сумма (3.4), (3.7), показаны на рис. 2.1, б. Находим
q0 = (2 - и)/(2 + |
ф = - и/[л (к + 1)(и + 2)z], ф = 2ф. |
Заметим, что данное выражение для функции ф удовлетворяет соотно шению, постулированному при выводе представлений (1.7).
Умножим теперь внешние нагрузки на 2р(х + 2)/и. В результате найдем, что внешним объемным силам
Чх = 2Ц(И ~ 2)ô'(x)ô(y)/x, |
qy = 2ц(и + 2)б(х)6'(у)/к |
||||||
соответствуют |
|
|
|
|
|
|
|
и + iu = - |
1 |
( - |
2 |
z |
\ |
к - 1 |
|
|
_ _ |
1 ■. ■ 1«А, _ |
х 1 ± /б(х); |
||||
|
л(и + 1) |
U |
z |
Z2 1 |
л(и + 1) |
||
^хх + ^уу |
8ц |
Re | |
|
|
8цх‘ 2 |
||
л(и + 1) |
|
|
л(х + 1) ’ |
||||
|
|
|
|
|
|
||
0уу |
+ |
- |
|
|
1 |
z |
0. |
л(х + 1) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Здесь все предельные соотношения (у |
± 0) отвечают обобщенным |
||||||
функциям. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f0(z) - некоторая функция из определенных формулами |
|||||||
(3.8). Она |
соответствует |
нормальному |
перемещению и(х + Ю) = б(х). |
||||
Пользуясь принципом суперпозиции, ту же функцию, но для произ вольного перемещения на отрезке 1x1 < 1(оху{х ± /0) = 0) можно выра зить в виде
f(z )= u 0( z - m m b |
(з.9) |
-/ |
1x1 < /, |
В частности, если f(z) = oyy(z), а напряжение оуу(х) задано при |
то соотношение (3.9) приводит к интегральному уравнению относитель но перемещения о(х):
/
— 4Ц |
[ ( x - S ) - M S ) d | = oyy(x), и = 0 (1x1 3= /), |
(ЗЛО) |
л(и +1) |
J |
|
-/ решение которого нам уже известно [см. формулы (2.14)].
Решение уравнения (3.10) можно, однако, найти и без привлечения представлений (1.6). Проведем преобразование Фурье над обеими частями уравнения. Получим
4Ц |
(x~2)FuF= оF . |
|
л(и + 1) |
|
|
УУ’ |
|
|
f(q ) = S f(x)eiqxdx; (x~2)F = - |
Jtlql. |
|
Отсюда |
|
|
lqloF = - |
oFy(x + l)/(4p). |
(3.11) |
Обращая преобразования Фурье, можно найти связь между анали тическими представлениями функций о и оуу. Положим
со
/± = ± — 1 f( q ) H ( + q)e~‘q(x ± Wdq (ц > 0),
где Г, Г ~ аналитические функции соответственно в верхней и ниж ней полуплоскостях I = х + щ. Тогда
Г - Г ^ / |
(Л - + 0). |
|
|
Из равенства (3.11) следует |
|
|
|
и + 1 |
|
e -iq(x± it\) dq ; |
|
и± = |
|
||
8лр |
|
|
|
|
И+ 1 |
|
(3.12) |
|
|
|
|
0 0 * |
io±УУ |
|
|
|
4Ц |
|
|
|
A |
д |
^ |
Введем функцию Ф(У = u'( Ç) ^/t2- /^[Обозначаемая так функция, например ДУ = / + ( Л >0), ДУ = / ~( Л <0), называется аналитическим представлением для Дх).] Учитывая соотношения (3.10), (3.12), можем
записать (пределы - |
при Л -*■ + 0) |
|
|
|||
к+ 1 |
|
|
|
Ф +- Ф - - 0 |
(|х| >0; |
|
Ф± = |
0±ууф2- |
( х ± т ) 2; |
||||
4Ц |
|
|
|
|
|
|
Ф+ - Ф' |
и+ 1 |
(° |
УУ> |
О-у)у/12- Х 2 - |
|
|
4Ц |
|
|||||
|
|
|
|
|||
и+ 1 |
------------ |
(|х| <0. |
|
(3.13) |
||
- ------- |
0 ^/2- |
х 2 |
|
|||
4Ц |
уу |
|
|
|
|
|
Скачок |
функции |
Ф (предел |
разности Ф + - |
Ф"при Л-*■ + 0) |
||
в отличие от скачков функций о и Оуу известен на всей вещественной
оси, кроме точек |
/. Дальнейшие рассуждения те же, что и после |
введения функции ф(^) формулой (2.10). |
|
Основное отличие изложенного метода решения уравнения (ЗЛО) |
|
от предыдущего |
(см. § 2.2) состоит в том, что здесь использовалась |
связь между функциями и и Оуу только на вещественной оси. Аналити ческие представления вводились независимо от существования пред ставлений (1.6) или (1.7) для функций о и Оуу на всей плоскости. В этом смысле данный метод является более общим.
Перейдем к задаче И. Расположим силы, как показано на рис. 2.1,в, и устремим параметр а к нулю. Тем же способом, что и в задаче I,
получим (пределы - |
при у -►± 0) |
|
|
|
|||
<& = - |
2|iô(x)ô'(y); |
qy = - |
2|iô'(*)ô (у); |
|
|
||
<р= 2/ц/[л(и + l)z]; |
ф = 0; |
|
|
|
|
||
и + /о = |
|
|
|
I |
и - 1 |
*■-1 • |
|
|
|
±0(х) + — |
и + 1 |
||||
|
л(и + 1) \ |
|
2 Z2 |
|
л |
|
|
|
% |
I |
2 - |
Охх - |
± |
ô'(x); |
|
0” + 0" ' „ ( и * 1 ) |
|
||||||
|
|
|
и +1 |
|
|
||
|
Охх "*■2lOXy - |
|
8ц/ |
z |
8ц |
ô'(x) + — х 2 |
|
°УУ |
л(и + 1) |
------ >•+ ------- |
|||||
|
|
z3 |
и +1 |
|
л |
||
Для антиплоской деформации (рис. 2.1, г), учитывая формулы (1.9), |
|||||||
(3.3), находим |
|
|
|
|
|
|
|
q3 = - |
2|iô(x)ô'(y); |
ф = i\i/(nz); |
|
|
|
||
|
1 |
± |
<5(х),‘ |
oy +iox = |
|
|
|
w = ------ \rnz~1 |
|
|
|||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
= (\iln)z~2 ■* ц[х_2/л± /6'(х)] (у ->■ ± 0).
Указанные выше фундаментальные решения можно использовать для численного анализа задач о (криволинейных) трещинах и об их взаимодействии. Пусть L - некоторая совокупность криволинейных отрезков - трещин в безграничной плоскости. Основываясь на резуль татах, приведенных выше, будем считать упругую плоскость сплош ной, а влияние трещин имитировать действием внешних обобщенных объемных сил. Для однородной изотропной линейно-упругой среды выписанные решения справедливы при любых расположении и ориен