книги / Механика трещин

Таким образом, поток энергии в край трещины, берега которой свободны от внешних напряжений, определяется формулой (4.1), если Г - произвольный контур, охватывающий край трещины. Его можно провести вдали от края, где деформации и повороты по предпо­ ложению малы настолько, что применение линейной теории упругости полностью оправдано. Тогда для расчета потока энергии можно исполь­ зовать решение задачи, полученное в рамках линейной теории упру­ гости. Этот вывод, с учетом критерия Гриффитса, оправдывает приме­ нение линейной теории упругости для определения критических нагрузок на упругое тело с трещинами.

Заметим, что для указанного способа определения потока энергии [формулой (4.1)] существование потенциальной энергии деформации не является необходимым. Действительно, первый член правой части формулы (4.1) соответствует конвективному потоку энергии - энер­ гии, переносимой вместе с частицами тела, пересекающими контур. Для расчета этого потока не имеет значения, представляет ли U0 потенциальную энергию или просто работу напряжений, действующих извне на поверхность данного элемента тела на фактически реализуе­ мом пути его деформации (отнесенную к объему элемента в исходном состоянии). Конечно, если часть энергии может переноситься другим путем, например вследствие теплопроводности, в выражении для потока энергии это следует учесть отдельно.

Что же касается тождества (4.2), то, хотя его левая часть отвечает стационарному смещению контура вместе с полем деформаций, оно не обязано выполняться, если работа деформации не потенциаль­ на. Для пояснения рассмотрим две материальные точки, одна из кото­ рых находится внутри контура Г до его смещения, другая - располо­ жена относительно смещенного контура точно так же, как и первая относительно несмещенного. Ввиду стационарности деформация во второй точке после смещения контура та же, что и в первой до его смещения. Однако если одна и та же деформация в этих двух точках достигнута различными путями, то работа деформации может иметь там различные значения. Следовательно, после смещения энергия тела внутри контура может измениться и суммарный поток энергии через контур оказаться отличным от нуля. Вместе с тем, если стационарное смещение происходит на достаточно большое расстояние (например, при росте трещины в полосе), так что стационарным оказывается не только поле деформаций, но и весь путь нагружения, то энергия деформации в рассматриваемых двух близких точках становится оди­ наковой и, следовательно, тождество (4.2) начинает выполняться.

Поскольку в общем случае деформации неидеально упругого тела

В случае линейной теории упругости при переходе от равенства (4.5) к неравенствам (4.6) в правой части появляется множитель 1/2, а вместо правого неравенства появляется знак равенства. То же отно­ сится и к формуле (4.10), которая при этом (т = 1/2) совпадает с приве­ денной ранее [см. формулы (1.3.4), (2.2.15), (2.2.16), (2.2.25)].

Заметим, что если напряжение, действующее на продолжение бере­ га трещины, ограничено и трещина заканчивается тупиком, то требо­ вание непрерывности перемещения берега не выполняется. При этом, однако, выполняется условие ограниченности потока энергии (см. § 2.2), которое, таким образом, оказывается более общим.

ГЛАВА 4

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО

Вэтой главе рассматриваются типичные квазистатические задачи

отрещинах в упругопластическом теле. Исследуются два варианта: нагружение тела с фиксированной (неподвижной) трещиной и рост трещины при фиксированном нагружении тела (стационарная задача).

Задачам, связанным с фиксированными трещинами, посвящена обшир­ ная литература (см. [77]). Первой работой, относящейся к растущей трещине, была статья [139], где рассматривалось движущееся упруго­ пластическое поле при антиплоской деформации тела (см. также [48]). Решение задачи, однако, не было завершено, так как не учитывалось наличие области разгрузки. Более полное решение соответствующей стационарной задачи для упругопластического материала без упрочне­ ния приведено в статье [128]. Та же задача для упрочняющегося, а также идеально упругопластического тела рассматривалась в работах [79, 95], аналогичные плоские задачи (для материала без упрочне­ ния) - в статье [97].

Основной вывод формулируется на основе сравнения результатов, отвечающих фиксированной и растущей трещинам. Показано, что для фиксированной трещины пластичность понижает (ограничивает) напря­ жения, но увеличивает концентрацию деформаций. В этом смысле состояние у края трещины соответствует нелинейно-упругому телу.

трация деформаций. В результате при росте трещины энергия непосред­ ственно в ее край не стекает, что исключает применение критерия Гриффитса. Здесь может использоваться деформационный критерий. На его основе с учетом различий в упомянутых решениях можно описать устойчивый рост трещины при монотонной и циклической нагрузках.

Первые четыре параграфа главы носят вспомогательный характер. В них представлены общие сведения об используемых моделях

упругопластического тела, приводятся зависимости для фиксирован­ ных и движущихся полей напряжений и деформаций в областях пла­ стического течения и разгрузки применительно к особой точке поля линий скольжения. В последующем эти зависимости используются при решении конкретных задач о трещинах.

§4.1. Некоторые сведения из теории пластичности

Рассмотрим теорию пластичности, основанную на условии Треска- Сен-Венана и ассоциированном законе пластического течения [28]. Условие Треска-Сен-Венана фиксирует значение максимальных (по модулю) касательных напряжений. Область, где это значение достигается, назовем областью пластичности. Упругой областью назо­ вем ту, в которой условие пластичности не выполняется в данный момент и не выполнялось ранее. Итак, в упругой области

к > О- предел текучести при сдвиге.

Если образец с боковой поверхностью, свободной от внешних напряжений, растягивается напряжениями о, то максимальное каса­ тельное напряжение в нем т = о/2. Отсюда следует, что к = от/2, где 0Т - предел текучести (при одноосном растяжении).

Пусть о19 о2, о3 - главные напряжения, т. е. нормальные напряже­ ния, действующие в трех взаимно перпендикулярных направлениях (главных направлениях тензора напряжений), где касательные напря­ жения отсутствуют. Тогда максимальное по модулю касательное напряжение совпадает с одним из следующих значений:

Равенство (1.2) может достигаться лишь для одного из выписанных максимальных значений касательных напряжений, если ни одно из них не равно нулю, или для двух, если какие-либо два из главных напряжений равны друг другу. Значения главных напряжений ош(ш = 1, 2,3) определяются как корни уравнения

Предполагается, что деформации упругопластического тела склады­ ваются из упругих и пластических ешп = е^п + е^п, причем упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука

а пластические - подчиняются ассоциированному закону пластиче­ ского течения

от координат и времени t). Индекс р принимает значения 1, 2, 3, однако суммирование в правой части равенства (1.6) распространяется лишь на те значения р, при которых тр = fc2, т. е. в правой части содержится не более двух членов.

Существенно, что уравнениям совместности (вытекающим из усло­ вия, что деформации возникают вследствие некоторых перемещений)

и еще четырем аналогичным уравнениям, получающимся из выписан­ ных циклической перестановкой индексов, удовлетворяют лишь сум­ марные деформации. Что же касается отдельно упругих и пластиче­ ских деформаций, то они могут и не удовлетворять указанным урав­ нениям. Таким образом, перемещения ит вообще говоря, нельзя представить суммой упругих и пластических перемещений, как это было сделано выше в отношении деформаций.

Коэффициенты Лр произвольны в той степени, в которой это допу­ скается уравнениями совместности полных деформаций и другими условиями конкретной задачи, в частности условиями сопряжения пластической и упругой областей.

Соотношение (1.6) эквивалентно утверждению, что пластические деформации возникают вследствие сдвига (скольжения) на тех поверх­ ностях, где касательные напряжения по модулю достигают предельного значения, причем скольжение происходит в направлении действия ка­ сательных напряжений, так что они совершают положительную работу.

Если область пластичности граничит с упругой областью, то возни­ кает вопрос об условиях на этой границе. В соответствии с третьим законом Ньютона вектор напряжения, действующий на границу, непре­ рывен. Пусть в рассматриваемом процессе граница пластической области движется - это происходит, например, при нагружении тела с фиксированной трещиной, когда пластические области расширяются, или при росте трещины, сопровождающемся движением пластической области. Тогда непрерывно перемещение на границе, а следовательно, непрерывны и деформации, определяющие удлинения и сдвиг в гра­ ничной поверхности. Что касается других компонент тензора напряже­ ний, от которых не зависит упомянутый вектор, и компонент тензора деформаций, не связанных с указанной деформацией граничной поверхности, то они, вообще говоря, не обязаны быть непрерывными. В дальнейшем, однако, будем полагать, что (если это не противоречит конкретным условиям задачи) все компоненты напряжений и дефор­ маций на границе между упругой и пластической областями непрерывны.

§ 4.2. Поля напряжений при пластическом течении

Рассмотрим вначале антиплоскую деформацию. Условие пластич­ ности (1.2) принимает вид

приходим к уравнению относительно функции <рв (2.2)

Левую часть последнего равенства можно рассматривать как производную dq/dl вдоль некоторой кривой, длина дуги которой обозначена через I и на которой в силу того же равенства ф = const. На этой кривой cos ф = dxjdl, sin Ф = dxjdlvi, следовательно,

с линиями максимальных касательных напряжений (они называются линиями скольжения). Действительно, касательные напряжения в пло­

Итак, линии скольжения прямые. В обычных точках, где напряже­ ния непрерывны, линии скольжения не пересекаются. Эти прямые, дополненные ортогональными им (в точках пересечения) кривыми, можно рассматривать как координатную сетку. Обозначим радиус кривизны указанных кривых через R, а угол наклона прямых (линий скольжения) через 0. Уравнение (2.4) в новых переменных будет иметь вид

где д/dR - производная вдоль линии скольжения (0 = const); {l/R)d/dQ - производная по дуге координатной кривой, на которой R = R(Q). Радиус кривизны определяется равенством l/R = dQ/ds, где s - длина дуги кривой, а положительные направления назначаются так, чтобы элементы dR, ds образовали правую систему.

а если на координатной кривой R = const = 0(1), то Я -г , 0 образуют полярные координаты и мы имеем так называемое центрированное поле линий скольжения (линии скольжения, пересекаясь в одной точке - в полюсе, образуют „веер” )-

Угловые точки эволюты - полюса центрированных полей. Равномерно­ му полю соответствует бесконечно удаленный полюс. Заметим, что эволюта (или отдельные полюса), где R= 0, может лежать вне той области, в которой напряженное состояние определяется соответ­ ствующими линиями скольжения, или на ее границе.

В случае центрированного поля предел для напряжений при приб­ лижении к полюсу зависит от направления (от того, по какой линии скольжения приближаться к полюсу) и, следовательно, полюс - особая точка поля напряжений.

Перейдем к плоской задаче. Здесь о 13 = о 23 = о 31 = о 32 = 0, и уравнение (1.4) принимает вид

(°зз- °m)[(°n- °m)(022- О щ ) - О 1 2 О 2 1 ] = 0 .

Отсюда и из равенств (1.3) следует, что главные напряжения от и экстремальные касательные напряжения ттопределяются так:

Пусть т\ = к2. В отличие от антиплоской задачи здесь через каждую