книги / Механика трещин

Обращая преобразования (6.6), с учетом граничных условий (6.1), (6.2) получаем

не может содержать слагаемое - обобщенную функцию с носителем, сосредоточенным при х = /, так как в противном случае перемещение и2 оказалось бы разрывным [это видно из первой формулы (6.6)]. Таким образом, можно считать, что функция ф(х, 0) определяется первой из формул (6.7) для х < /. Подставляя выражение для ф в формулы (6.6), находим искомые перемещения и напряжения (п ^ 0):

2(1 - v)r" Г Г

Выпишем вытекающие отсюда формулы для перемещений и напря­ жений вблизи края трещины:

Видно, что соотношение между асимптотиками перемещений и напря­ жений то же, что и в соответствующей плоской задаче (задаче о пло­ ской деформации). Так, если представить асимптотические формулы (6.9) в виде

то из них следует: MJN = 2(1 - v)/p. Точно такое же отношение опреде­ ляется формулами (1.10), (2.16), (2.18), где и = 3 - 4v.

Пусть теперь п < 0. Поскольку знак л не влияет на уравнение,

которому удовлетворяют искомые функции, он не влияет и на форму­ лы (6.8), (6.9). Поэтому в правых частях последних формул в показа­ телях степени, т. е. там, где п не означает принадлежность (не является индексом), следует заменить п на I п\, после чего указанные формулы будут верны и для п < 0.

Просуммируем полученные выше выражения. Учитывая, что коэф­ фициенты ряда Фурье для внешней нагрузки определяются формулой

оп—~°°

В заключение заметим, что в основе примененного здесь метода лежит представление решения пространственной задачи суперпозицией

- 6 2 -

решений некоторых плоских задач (см. по этому поводу работу [1]). Некоторые результаты для круглой и эллиптической трещин приве­ дены в [73, 79].

§2.7. Осесимметричные задачи

Рассмотрим три осесимметричные задачи: на берега круглой тре­ щины действуют нормальные напряжения ozz = - о(г) (задача I), каса­ тельные напряжения ozz = - т(г) (задача II), касательные напряжения р0г = - т0(г) (задачаIII).

Задача I о нормальных напряжениях решена выше и соответствует п = 0. Приведем здесь формулы, отвечающие равномерному давлению на берега трещины. При о = const из выражений (6.8) находим (о0 = о)

(г > /, г -►/ + 0).

Видим, что перемещение берегов трещины и асимптотика напряжений на ее продолжении в данной осесимметричной задаче отличаются от соответствующих функций в плоской задаче лишь множителем 2/л.

Осесимметричная задача II о касательных напряжениях orz решает­ ся на основе представлений (1.22), (1.23). Ввиду того что граничные условия (1.23) здесь те же, что и в задаче о нормальных напряжениях (1.14), (6.2), а именно

можно воспользоваться результатами, полученными в § 1.6. Функция а, однако, в отличие от / 0 удовлетворяет уравнению (1.25) и, следова­ тельно, соответствует функции Д. Учитывая это и заменяя в формулах (6.8) для п = 1 uzl на ur, ozzl на orz и о на т = т(г), получаем

Однако угол поворота 0) = UQ/г стремится здесь к бесконечности:

Задача III отличается от предыдущих осесимметричных задач отно­ шением коэффициентов М/N [см. формулы (2.15)] точно так же, как антиплоская задача от плоской. Действительно, здесь выражение для перемещения не содержит множителя 1 - v (в отличие от задач I, II). Тем же отличается и выражение для перемещения w в антиплоской задаче [ср. выражения (1.12) с (1.10), (1.11), где для плоской деформа­ ции (х + 1)/4 = 1 - v].

§2.8. Поток энергии при изменении направления распространения трещины

До сих пор при анализе плоских задач рассматривались прямоли­

ведлива и для криволинейной трещины, если только в некоторой окрестности своего края она достаточно гладкая. Посмотрим теперь, как будет меняться поток энергии при резком повороте направления ее распространения. Ограничимся задачей об антиплоской деформации безграничного тела.

Пусть первоначально прямолинейная полубесконечная трещина начинает распространяться под углом 0 к прямой, на которой она лежит (рис. 2.4, а). Полагаем, что берега трещины загружены напряже­

переходит в левую часть границы полуплоскости £ (£ < £0), нижний - в правую часть границы (£ > £0). Соответствующие точки на плоско­

На плоскости г вне разреза, а следовательно, и на верхней полу­ плоскости £ определена аналитическая функция ф (1.9), через которую выражаются перемещение и напряжения, причем в соответствии с указанным выше

Далее, ф'(г) = (ДфА*£)/г'(£). Отсюда и из (8.3) следует, что граничное условие (8.4) на плоскости £ преобразуется к виду

1шДф/Д£ = 0( £ - £ . ) - б ( £ - £ +);

Для определения энергии, высвобождающейся при изменении направления распространения трещины, можно воспользоваться формулой (1.3.2). Перемещения в точках, где приложены внешние сосредоточенные силы, бесконечны, поэтому рассмотрим изменение перемещений (при изменении параметра а) на некотором расстоянии от указанных точек, а затем перейдем к пределу, устремив это расстоя­ ние к нулю. Учитывая выражения для w (8.5), '£ (8.3) и z0 (8.2), получаем

Г(9) = — -— ( ~— 9^Л |9/11. лцх0 \ 1 + G/л /

При тех же условиях асимптотика напряжения 093*у края прямо­ линейной трещины (а = 0), как следует из формул (2.21), (2.22), опре­ деляется так:

Если обобщить понятие коэффициента интенсивности напряжений, положив

т. е. определить его для направлений, составляющих угол 0 с линией трещины, точно так же, как и для 0 = 0, то можно записать

(8.6)

(0 =о).

Итак, при резком изменении направления распространения трещины поток энергии оказывается больше, чем можно было ожидать, осно­ вываясь лишь на данном обобщении коэффициента интенсивности напряжений и формуле (2.25).

Представим себе, что "материал в смысле прочности анизотропен. Нельзя ожидать, что поверхностная энергия у(0) связана в данном материале с критическим значением коэффициента интенсивности напряжений Кщ (0) именно той же зависимостью (8.6), что и высво­ бождающаяся энергия Т(0) с коэффициентом интенсивности напряже­ ний Кщ(в). Поэтому, чтобы определить направление распространения трещины, а также нагрузку, при которой она начнет распространяться,

необходимо сделать выбор между силовым и энергетическим крите­ риями, которые, как видно, не эквивалентны.

ГЛАВА 3

НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЕ ТЕЛО

Решения задач о трещинах в линейно-упругом теле указывают на неограниченные деформации и большие повороты, т. е. противоречат условиям применения линейной теории упругости. Необходимо выяснить, как следует отнестись к таким решениям. В определенной степени это можно сделать, основываясь на интерпретациях линейной теории, введенных ниже (см. § 3.2.).

Принимается, что закон Гука в форме (2.1.1) представляет собой не линеаризованное, а точное соотношение, причем используемые при его формулировке переменные - напряжения, перемещения и коорди­ наты - можно полагать либо лагранжевыми, либо эйлеровыми (см. § 3.1). Тем самым вводятся две различные механические системы, отличия между которыми проявляются в области, где существенна геометри­ ческая нелинейность. В том же параграфе показано, что решения задач из гл. 2 для трещин, берега которых свободны от внешних нагрузок, отвечают лагранжевой интерпретации и соответствуют определяемой ею модели упругого тела. Модель эта характеризуется взаимно одно­ значной связью между напряжениями - тензором Пиолы-Кирхгофа и градиентом перемещения. Последний определяет потенциальную энергию системы. Однако данная модель не отвечает никакому реаль­ ному уравнению состояния. Достаточно сказать, что напряжения (ограниченные) возникают здесь и при повороте тела в целом. Для модели, соответствующей эйлеровой интерпретации, кроме того, энергия деформации непотенциальна.

Данные модели, однако, с чисто механической точки зрения вну­ тренне не противоречивы и обладают одним немаловажным достоин­ ством: они позволяют найти соответствующие им точные решения за­ дач о трещине. При удалении от края трещины поля напряжений и де­ формаций, отвечающие этим двум моделям (и соответственно - ли­ нейной теории упругости), сближаются и, если деформации и повороты вдали от трещины малы, становятся неразличимыми. Это дает основа­ ния полагать, что влияние геометрической нелинейности в данных зада­ чах носит локальный характер и что там, где она не проявляется, резуль­ таты линейной теории правильны. Область, вне которой влияние геометрической нелинейности несущественно, для обычных жестких материалов оказывается достаточно малой, что оправдывает примене­ ние геометрически линейной теории не только для упругого, но и для

рассматривать как промежуточные асимптотики, имеющие смысл лишь на достаточно большом (хотя и малом по сравнению с размером тре­ щины) расстоянии от края.

Анализ конкретных задач о трещинах в реальном нелинейно-упру­ гом теле, напряженное состояние которого зависит лишь от его дефор­ мации (не зависит от поворотов), провести аналитическими средствами довольно трудно. (Решена плоская задача при условии сильного начального растяжения тела [119].) Однако выводы о концентрации деформаций (см. § 3.3), о связи между раскрытием трещины и напря­ жениями на ее продолжении, а также о потоке энергии (см. § 3.4) можно сделать, основываясь на геометрически точных соотношениях и не привлекая конкретных уравнений состояния. Достаточным является введение довольно естественных предположений общего характера, например об устойчивости материала. Оказывается, что неограниченность деформаций у края трещины не является след­ ствием линеаризации. Она сохраняется и при точной постановке задачи. Характер особенности может измениться, но поток энергии сохраняется - линейная теория определяет его правильно.

§3.1. Некоторые сведения из нелинейной теории упругости

Рассматриваем два состояния тела: исходное, при котором внеш­ ние нагрузки и внутренние напряжения отсутствуют, и деформирован­ ное. Положение произвольной точки тела в исходном состоянии харак­ теризуется радиус-вектором г, проекции его на прямоугольные оси обозначаем буквами х 19 х2, х3. Положение той же точки тела в дефор­ мированном состоянии определяется радиус-вектором R, проекции последнего на те же оси обозначаем буквами Х19 Х2, Х3. Вектор пере­ мещения и = Я - г, его проекции и* = Хк - хк, к = 1, 2, 3.

Функцию точки тела, например перемещение, можно выразить либо как функцию координат хк, либо как функцию координат Хк. Первое представление называется лагранжевым (хк - лагранжевы координаты), второе - эйлеровым (Хк - эйлеровы координаты).

Заметим, что вектор ^ = (dr/dxK)dxK (по повторяющимся индексам не суммировать!) совпадает с линейным элементом длины 1/к 1 =/к = = \dxK\, ориентированным вдоль оси хк в исходном состоянии, а век­ тор LK = (dR/dxK)dxK соответствует тому же материальному элементу (т. е. элементу, состоящему из тех же точек тела) после деформации.

Рассмотрим попарные скалярные произведения

где LK= ILKI; утп - угол между элементами (векторами Lm, Ln) после деформации. При т = п произведение равно квадрату длины элемента после деформации L^, а при тФ п определяет сдвиг (изменение

Произведения (/t X l2)- l3, (Lt x L2)- L3 по модулю равны объемам одного и того же элемента тела до и после деформации. Отсюда отно­ сительное изменение объема

Здесь и = \dxtdx2dx3\- объем в исходном состоянии; V - объем после деформации.

Если в правой части выражения (1.4) пренебречь нелинейными членами, т. е. произведениями компонент тензора-градиента переме­ щения дит/дхп, получим линеаризованные представления деформаций через перемещения (см. § 2.1). Деформация тела - удлинения (1.1) и сдвиги (1.2), а также повороты линейных элементов (1.3) полностью определяются компонентами градиента перемещения. Поэтому не обязательно вводить нелинейные соотношения (1.4). Однако линейно