книги / Механика трещин

трещины отрыва), при этом энергия пропорциональна площади поверх­ ности, на которой сосредоточены повреждения. Пополним функционал (1.1) энергией повреждений, положив

где рк,у к - соответствующие плотности энергии, которые по предполо­ жению могут зависеть от „пути” деформации и разрушения, но не за­ висят от охваченных данным типом повреждения объемов VKи площа­ дей поверхностей 5К.

Повреждения обычно необратимы, и поэтому, допустив вариации перемещений, приводящие к увеличению в каком-либо месте VK или

при любых ôu, если хотя бы одна из вариаций ô VK, àSKотлична от нуля (в противном случае первая вариация А в положении равновесия равна нулю). Равенство нулю левой части (1.4) отвечает предельному состоянию. (Энергетическому анализу развивающихся повреждений посвящена статья [29].)

Размерность рк - напряжение, и поэтому критерий прочности (1.4) по объемным повреждениям аналогичен классическим критериям прочности в напряжениях (конкретное соответствие определяется зависимостью рк от вида напряженного состояния и от „истории” деформации). Что же касается критерия прочности по поверхностным повреждениям, то ввиду отличия в размерности (размерность пара­ метра ук - Н/м), он не сводится к классическим критериям. Поэтому

икритерий развития трещины не сводится к нормированию напряжений.

А.Гриффитс положил начало теории трещин [137, 138], постулиро­ вав критерий их устойчивости (распространения) в виде

где У- поверхностная энергия (поверхностное натяжение). Коэффи­ циент 2 в формуле (1.5) введен из-за того, что трещина создает две поверхности - два своих берега.

В пластичных материалах распространение трещины сопровожда­ ется поглощением энергии при необратимых деформациях в движу­ щейся вместе с трещиной пластической зоне. Эта энергия может на несколько порядков превосходить поверхностную энергию. По предло­ жению Г. Ирвина [140] и Е. Орована [145], ее учитывают как „эффек­ тивную” поверхностную энергию. Это обычно рассматривается как существенный шаг в развитии теории, позволяющий распространить ее на пластичные материалы. Следует, однако, иметь в виду, что в Отли­ чие от собственно поверхностной энергии, определяемой из незави­ симых опытов, эффективная энергия находится из опытов по распро­ странению трещин, т. е. из тех же опытов, для прогнозирования которых

используется ее значение [71]. Так что плата за расширение сферы дей­ ствия теории велика. Трудности в определении эффективной поверх­ ностной энергии связаны с ее зависимостью от вида и „истории” напря­ женного состояния, а также от других факторов. Так, в условиях плоской деформации ее значение обычно много меньше, чем при плоском напряженном состоянии (когда размеры сквозной трещины и пластической зоны достаточно велики по сравнению с толщиной пластины, в которой развивается трещина). Задачей механики разру­ шения является определение эффективной поверхностной энергии как функции поверхностного наЖжения, пластических свойств материа­ ла, его структуры, активности внешней среды, температуры и других факторов - для возможных условий и вариантов развития разрушения.

К сказанному можно добавить, что и для идеально упругих мате­ риалов, где пластичность не проявляется, значение у в (1.5) следует увеличить по сравнению со значением поверхностного натяжения, так как даже при медленном распространении трещины часть энергии переходит в кинетическую энергию. Это обнаруживается при учете структуры материала (см. гл. 6). Говоря в дальнейшем о поверхностной энергии у, будем иметь в виду ее эффективное значение.

Критерий (1.4) при т = 0, п = 1 - критерий Гриффитса - можно рас­ сматривать как классическую вариационную формулировку условия равновесия, но для сплошной среды, наделенной (необратимой) по­ верхностной энергией. Такая модель сплошной среды внутренне непротиворечива и не нуждается ни в каком дополнительном крите­ рии. Однако она недостаточно общая. Так, оставаясь в ее рамках, нельзя описать возникновение трещин - разрушение тела без трещин и вообще развитие недостаточно больших трещин.

Рассмотрим плоскую трещину диаметром d в безграничном (доста­ точно большом) линейно-упругом напряженном теле. Пусть, для простоты, напряжение на бесконечности, т. е. там, где влияние трещи­ ны несущественно, характеризуется одной компонентой - тело растя­ нуто по нормали к трещине напряжением о. Тогда, исходя из линейно­ сти и соображений размерности, получаем, что при расширении трещи­ ны на единицу приращения ее площади выделяется энергия, пропор­ циональная o2d/E, где Е - модуль упругости (не выписанный здесь коэффициент пропорциональности не зависит от указанных величин). Таким образом, если размер трещины d недостаточно велик, выделяю­ щаяся энергия окажется меньше требуемой и, следовательно, трещина расти не будет.

Приходим к парадоксальному выводу: с уменьшением размера трещины прочность тела неограниченно возрастает. Конечно, устой­ чивость здесь только локальная. В самом деле, энергия, выделяющая­ ся при раскрытии трещины диаметром d, пропорциональна o2d3/E, а поверхностная пропорциональна yd2, так что в отношении достаточ­ но протяженной трещины имеет место неустойчивость „в большом” . Однако указанная энергия выделяется лишь при полном раскрытии трещины, а поверхностная - поглощается в самом начале раскрытия. Поэтому возникновение большой трещины, хотя и энергетически

оправдано, требует преодоления энергетического барьера. Оценка величины этого барьера, а именно им обусловлена прочность твердых тел и, следовательно, само их существование, вытекает из равенства o2d3/E =yd2- Отсюда минимальные значения диаметра трещины d и энергетического барьера В оказываются (с точностью до числовых коэффициентов) следующими:

по порядку величины £ = Ю^Н-м. Заметим, что поверхностное натя­ жение у ъ 1 Н/м, так что для хрупких материалов этот барьер ничтож­ но мал. Тем не менее должны существовать источники энергии, бла­ годаря которым он преодолевается. Макроскопический опыт указы­ вает на то, что источник содержится в предыдущей, менее локализиро­ ванной форме процесса разрушения.

Вспомним основные стадии деформации стального образца при его растяжении в испытательной машине: вначале это упругая деформа­ ция, затем равномерно распределенное по длине образца пластиче­ ское течение, затем - образование шейки и, наконец, разрыв в резуль­ тате быстрого распространения поперечной трещины. Переход от одной стадии к другой сопровождается все большей локализацией деформа­ ций. Так, упругая деформация равномерно распределена по объему (измеренные относительные удлинения и сдвиги не меняются при уменьшении базы измерения - элементов тела - вплоть до размеров, близких к межатомным расстояниям), пластическое течение равномер­ но охватывает образец в целом, однако при более пристальном рас­ смотрении оказывается, что оно в основном сосредоточено на удален­ ных друг от друга плоскостях скольжения. Образование шейки проис­ ходит в локальной области - на малом участке по длине образца, а трещина представляет собой предельную локализацию: бесконечная деформация - разрыв сплошности - сосредоточена на одной вновь образованной поверхности, разделяющей образец на две части. Смена стадий происходит в результате того, что дальнейшее развитие данной стадии становится неустойчивым и оно подавляется последующей.

Подобная эволюция характерна и для других ситуаций: при дефор­ мации материалов в составе конструкций, при намеренном разрушении, в природных явлениях. Процесс деформации может быть и более многообразным. Так, пластическое течение обычно сопровождается разрыхлением материала, т. е. возникновением микротрещин, а рост систем трещин и даже одной - „магистральной” в течение некоторого времени (в некотором диапазоне изменения внешних нагрузок) может быть устойчивым и происходить квазистатически, т. е. достаточно медленно.

Из сказанного следует, что разрушение, разделяющее тело на отдельные части, не является изолированным актом. Оно подготавли­ вается всей „историей” предшествующей деформации.

Учитывая все это, в принятой выше модели (1.3), (1.4) следует сохранить влияние „объемных” повреждений, т. е. принять т > 0. В простейшем варианте это означает, что наряду с критерием устой­ чивости существующей трещины, необходимо привлекать и класси­ ческие критерии разрушения сплошного материала, выраженные в напряжениях (или деформациях). Последние критерии, однако, нельзя абсолютизировать, их нельзя применять для точек тела, лежа­ щих на краю трещины, так как там напряжения бесконечны. В резуль­ тате, сохранив лишь критерий по напряжениям, мы придем к другому противоречию: при любой трещине тело лишено прочности. Таким образом, необходимы оба критерия (они объединяются критерием Новожилова - см. ниже).

Возникновение объемных повреждений (в значительной степени обусловленное микронапряжениями), во-первых, может существенно уменьшить энергетический барьер (1.6) за счет понижения модуля упругости в поврежденной области, а во-вторых, если оно происходит динамически (из-за неустойчивости исходного „неповрежденного” состояния), может сопровождаться выделением энергии, достаточной для преодоления указанного барьера.

Возможность объемных повреждений не зависит от размеров обла­ сти, так как и высвобождающаяся, и поглощаемая энергия пропорцио­ нальны в этом случае объему. Однако для того, чтобы объемные повреждения локализировались - привели к появлению трещины, необходимо, чтобы они занимали достаточно большую область в соот­ ветствии с (1.6).

Следует, однако, подчеркнуть, что модель сплошной среды не при­ способлена для описания подобных процессов. Локализация деформа­ ций (повреждений) связана с необходимостью создания поверхностной энергии, а способностью отбирать энергию из трехмерной области и сосредоточивать ее на поверхности обладает лишь уже существую­ щая трещина, да и то при условии, что тело упругое. Эти трудности снимаются переходом к более реалистической модели дискретной среды.

Возникновение трещины в результате потери устойчивости равно­ мерной деформации решетки прослежено В. В. Новожиловым [69, 70]. В указанных работах даны ориентировочные оценки для возможной длины вновь образовавшейся трещины и предложен общий силовой критерий, пригодный как для тел с трещинами, угловыми вырезами, так и для обычной ситуации, когда напряжения и их градиенты огра­ ничены. Критерий состоит в нормировании напряжений, осредненных по некоторой области.

Исследованию взаимодействия трещин и областей объемных повреждений посвящены работы В. В. Болотина [6, 7]. Эффекты локали­ зации изучались Дж. Р. Райсом [80], А. Ф. Ревуженко и Е. И. Шемяки­ ным [82], Л. В. Никитиным и Е. И. Рыжаком (см. [54]).

В настоящее время вместо энергетического обычно употребляются так называемые силовые критерии устойчивости трещин (силовой критерий введен Г. Ирвином [141]), связанные с энергетическим.

от которого балка отслаивается. Если h - толщина балки, b - ее ширина и h/i «с 1, справедливо асимптотическое равенство

где дифференцируется по / энергия деформации дополнительная к энергии изгиба балки (вид ее зависимости от указанных величин сле­ дует из линейности упругих свойств и соображений размерности). Момент инерции I = bh3/12, поэтому второй член в правой части (2.1) порядка h/l по сравнению с первым и им можно пренебречь. Энерге­ тический критерий bU = 2ybbl приводит к зависимости

I V 3 h

Но лучина может сломаться в результате изгиба. Критическое зна­ чение силы, определяемое из условия прочности для упругой балки

° шяу = bPl/ibh2) = ов, равно

Здесь ов - предел прочности (временное сопротивление).

Формулы (2.2), (2.3) указывают на следующее. При достаточно малой толщине лучины, когда Р2 < Pi9 отщепить ее нельзя: прежде чем начнет распространяться трещина, лучина сломается (предполагается, что некоторая начальная трещина существует). Если же толщина достаточно велика, так что Рг <Р2, то будет распространяться трещи­ на. Как видно из формул (2.2) и (2.3), граничным значением толщины, разделяющим области, отличающиеся типом разрушения, является (рис. 1.3)

Таким образом, учет возможности распространения трещины при­ вел в данном случае к обнаружению сильного масштабного эффекта: При геометрически подобном увеличении рассматриваемой системы вначале (при h < h j масштабного эффекта нет: критическая сила растет пропорционально квадрату линейного размера (критические напряжения сохраняются). Затем происходит смена характера разру­ шения - разрушение от нормальных напряжений при изгибе уступает место отслоению. В дальнейшем критическое значение силы P = Pt пропорционально /73/2 и, следовательно, критические напряжения убывают с увеличением размера.

В случае упругопластического материала изменятся лишь

численные коэффициенты в формулах (2.3), (2.4) и, конечно, значитель­ но увеличится эффективная поверхностная энергия у .

Эта задача недавно была решена точно - как задача линейной теории упругости, что позволило получить исчерпывающую информа­ цию о напряженном состоянии вблизи края трещины [27].

Трещина по с к л е й к е . Пусть балка толщиной 2h, склеенная из двух одинаковых балок (толщинойft), находится в условиях чисто­ го изгиба. Какова должна быть эффективная поверхностная энергия склейки, чтобы последняя не нарушилась, т. е. чтобы балка деформи­ ровалась как целая?

Надо заметить, что ввиду отсутствия касательных напряжений в поперечном сечении (чистый изгиб) может показаться, что никакой прочности от склейки вообще не надо требовать. В действительности мы обычно не рассматриваем торцы балки, где приложена внешняя на­ грузка. Если же ее распределение отличается от такового для внутрен­ них нормальных напряжений (в неповрежденной балке), то при рас­ слоении, вообще говоря, изменится распределение напряжений в по­ перечном сечении и это приведет к высвобождению энергии. Если исхо­ дить из требования гарантированной прочности (при любых торцевых распределениях нормальных нагрузок), т. е. ставить требование „с запасом” , то следует считать, что торцевой момент приложен лишь к одной из склеенных балок. Тогда (для балок прямоугольного попе­ речного сечения) начальная и0 и после отслоения Ux плотности потен­ циальной энергии деформации следующие:

I/o =3M2/(4Eh3b), Uj, =6M2/(Eh3b).

Критическое значение изгибающего момента определяется соотноше­ нием их - и0 = 2yb- Отсюда

Но из условия прочности при изгибе (по-прежнему предполагаем нали­ чие некоторой начальной трещины)

о масштабном эффекте, что и в предыдущем примере. Равнопрочность (Mt = М2) достигается, если

V = 7* = 7o|h/(96£).

Отсюда видно, что выполнение требования к эффективной поверхностной

энергии склейки V ^ V* приводит к необходимости учета масштабного эффекта: указанная энергия должна

развития кольцевой трещины имеет вид

где G -м одуль сдвига, г-радиус вала. Отсюда M=Mt =2л ^Gyr5.* Условие прочности на срез (для^упругого вала)

и, следовательно, вал срежется при М =М2

Таким образом, получается, по существу, тот же масштабный эффект, что и в первом примере: при г < г* вал срезается, при г > г* распространяется кольцевая трещина. Из равенства =М2 находим г* = l6Gyo~£.

Ра з р уше ние льда. В результате действия вертикальной силы в ледяном покрове могут развиваться радиальные трещины. Из урав­ нения изгиба упругой пластины, лежащей на поверхности воды, сле­ дует, что в качестве естественной единицы длины можно взять X = [Eh3/(12(1 - v2)pg)]1/4, где h - толщина льда; v - коэффициент Пуассона; р - плотность воды; g - ускорение свободного падения, а перемещение можно представить в виде и = Pul(pgX2), где о зависит лишь от длины радиальных трещин, отнесенной к X (обозначим ее через L).

Учитывая, что скороеть увеличения потенциальной энергии дефор­ мации в условиях квазистатического развития трещин равна скорости роста энергии разрушения (за счет роста площади трещин)

где п - число радиальных трещин, находим

P = {nydo/dL)l' 2[(12(1 - v ^ Q g & h 13]1' 9.

Отсюда видно, что в сходных условиях продолжающегося разрушения

- 1 8 -

сила пропорциональна толщине льда в степени 13/8 (производная du /dL от h не зависит).

При достаточно большом усилии реализуется альтернативный механизм разрушения - в соответствии с классическим критерием - от изгиба. В последнем случае масштабный эффект отсутствует и сила пропорциональна ft2. Таким образом, смена механизмов разрушения при увеличении толщины льда затягивается и это необходимо прини­ мать во внимание при моделировании.

Выявление и описание масштабных эффектов - одно из важных приложений механики разрушения. Масштабные эффекты возникают, конечно, не только в тех ситуациях, в которых оправдано балочное

отсутствует в классических моделях упругого и упругопластического тел, например у/Е- С этим размером связан масштабный эффект, учет которого необходим при постановке модельных экспериментов и при пересчете их результатов на натурные условия. Масштабный эффект может проявиться по-разному в зависимости от конфигурации и на­ пряженного состояния тела или элемента конструкции, из которого трещина черпает энергию для своего роста. В некоторых случаях, в частности в рассмотренных выше, масштабный эффект проявляется достаточно отчетливо и легко теоретически оценивается. Перечень подобных -примеров можно продолжить. Так, радиус фронта кониче­

полости в степени 4/3 [12], а в плоской задаче - квадрату радиуса.

Но можно привести и такие примеры, когда масштабный эффект, вносимый трещиной, количественно выразить намного сложнее. Так, на эффективную поверхностную энергию, а следовательно, на прочность влияют самоуравновешенные остаточные напряжения, энергия которых частично высвобождается при росте трещины. Ясно, что плотность высвобождающейся энергии (приходящейся на единицу приращения площади трещины) и тем самым ее влияние на прочность зависят от размеров тела (с увеличением размеров прочность должна понижаться, что и обнаруживается на самом деле), но каковы здесь количественные соотношения, не установлено. Далее, при определе­ нии трещиностойкости материала на лабораторных образцах (на тон­ ких пластинах с трещиной) не удается удовлетворить условиям подо­ бия, обеспечивающим возможность распространить выводы из таких испытаний на крупногабаритные натурные конструкции. Дело в том, что сохраняя отношение длины трещины к толщине пластины, мы не можем сохранить отношение критических напряжений к пределу текучести. Выход из этого положения лежит в развитии методов нели­ нейной механики разрушения, явно учитывающей пластические деформации у края трещины.

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, энергия, выделяю­ щаяся при расширении трещины, приходящаяся на единицу прираще­ ния ее площади, пропорциональна o2d/E. Отсюда и из энергетического

критерия следует, что критические напряжения о* =const -d~1/2.

Вопытах со сферическими и цилиндрическими стеклянными кол­ бами Гриффитс получил очень хорошее соответствие этой зависимости. Колбы были прорезаны и изолированы изнутри, после чего в них соз­ давалось внутреннее давление. Цилиндрические трубки, в которых трещины были параллельны оси, подвергались, кроме того, осевому сжатию. Тем самым создавались условия, близкие к равномерному (если не учитывать влияния трещины) плоскому напряженному со­ стоянию с различным соотношением между напряжениями, действую­ щими поперек и вдоль трещины.

Всоответствии с описанной выше теорией, действующие вдоль тре­ щины напряжения не должны оказывать влияния на ее развитие. Такое влияние отсутствовало и в опытах (осевые напряжения изме­ нялись от о/2 до - о, где о - кольцевые напряжения). Заметим здесь, что в пластичных материалах роль продольных напряжений может быть значительной.

Отклонения величины о*д/сГот средней при изменении длины тре­ щины от 0,4 до 2,3 см составляли в опытах Гриффитса менее 5%. Таким образом, с довольно высокой точностью критическое напряжение дей­ ствительно оказалось обратно пропорциональным yfT.

Основываясь на результатах этих опытов, можно было также опре­

делить поверхностную энергию. Она оказалась равной 1,8Дж/м2. Экстраполяция ее значений, полученных непосредственными измере­ ниями в некотором диапазоне сравнительно высоких температур (когда ее можно измерить), привела Гриффитса к несколько меньшим значениям: примерно 0,60 Дж/м2 (формула для о* была выведена Гриффитсом с ошибкой, в результате чего величина у, полученная при обработке опытов с трещинами по этой формуле, оказалась равной 0,45 Дж/м2, т. е. ближе к истинному значению, но меньше его).

Наличие характерного размера /0 позволяет считать, что в общем случае в прочности тела существует масштабный эффект (этому посвя­ щена, в частности, статья [78]), который определяется некоторой зави­ симостью, например, о* = Овf(L/î0), где L - размер тела. Из опыта известно, что / - убывающая функция. Для не слишком больших зна­ чений L//0 это объясняется тем, что с увеличением размеров тела уве­ личиваются и размеры дефектов, которые могут в нем существовать (и фактически существуют). Затем, когда размеры тела становятся достаточно большими, размеры дефектов могут стабилизироваться, может стабилизироваться и прочность, но во многих случаях этого не происходит - и масштабный эффект сохраняется.

§ 1.3. Способы определения потока энергии

Способ определения энергии, высвобождающейся при росте тре­ щин, указанный в § 1.1, основан на вычислении изменения потенциаль­ ной энергии деформации тела и работы действующих на него внешних сил при вариации размера трещины. Непосредственное его применение