книги / Механика трещин

Отсюда, учитывая, что эйлеровы координаты Х 1= х 1 + и1, Х2 = и2 {рс2 - 0), находим форму раскрывшейся трещины:

Линейной теории упругости можно дать и другую интерпретацию, а именно, можно полагать, что переменные, входящие в закон Гука и в уравнения равновесия, эйлеровы; соответственно напряжения - компоненты тензора Коши.

При решении задач механики твердого деформируемого тела эйле­ ровы переменные обычно не применяются, так как положение границ тела в деформированном состоянии заранее неизвестно и поэтому неизвестно, где должны быть поставлены граничные условия. Однако в случае задачи о прямолинейной трещине в равномерно растягивае­ мой упругой плоскости это затруднение легко преодолевается. Доста­ точно рассмотреть задачу линейной теории упругости о растяжении упругой плоскости с эллиптическим отверстием (одна из осей эллипса ориентирована вдоль направления растяжения, о 22 р при х 2 °°). Из решения этой задачи [61] следует, что при деформации плоскости отверстие остается эллиптическим, изменяются лишь его размеры. Для наших целей оси эллипса a, b определяются из того условия, что до деформации одна из них равнялась нулю, а другая - длине трещины. Основываясь на результатах, приведенных в [61], находим

Так как решение задачи соответствует не трещине (для которой а = 21, Ь = 0), а эллипсу (a, b > 0), все истинные напряжения оказывают­ ся ограниченными (точка Х х = Х2 = 0 не особая). Ограниченными оказываются и напряжения о22, б 21 (о 21 -*0 при приближении к краю трещины). Отсюда, несмотря на неограниченность деформации, следу­ ет, что при квазистатическом росте трещины, рассматриваемой в рам­ ках эйлеровой интерпретации линейной теории упругости, в ее край энергия не стекает. Вся энергия, высвобождающаяся при росте трещи­ ны в случае идеально упругого материала, здесь поглощается в среде, которая, как уже отмечалось, не является идеально упругой (работа ее деформации не потенциальна). Таким образом, в данной модели упру­ гой среды собственно поверхностную энергию учесть нельзя: если она будет положительной, то трещина вообще не сможет распространяться. В дальнейшем будет видно, что такая же ситуация возникает в клас­ сических моделях упругопластического тела.

Если параметр q мал (для стали, например, условием прочности

он ограничен величиной порядка 10"2), то в рассматриваемой модели упругой среды поглощение энергии происходит в малой окрестности края трещины, где сказывается роль геометрической нелинейности.

Геометрической нелинейностью обусловлены и различия между решениями, полученными при лагранжевой и эйлеровой интерпрета­ циях линейной теории упругости, - различия между компонентами отп, à u jd x mопределенными при лагранжевой интерпретации, и ком­ понентами ошп, дит/дХп той же задачи в эйлеровой интерпретации. Во-первых, указанные компоненты имеют различный смысл и отли­ чаются друг от друга даже в том случае, когда они относятся к одному и тому же состоянию сильно деформированного (повернутого) тела. Во-вторых, различия в решениях обусловлены тем, упругие свойства соответствующих моделей среды при больших деформациях не одина­ ковы. Так, при бесконечном растяжении (JЕх= + °°, Е2= Е3= 0) лагран­ жевой интерпретации соответствуют компоненты

o 13L= ° и = (*■ + 2\х)ди1/дх1 = {Х + 2р) £ 1 = + » ,

аэйлеровой -

о11 = о 11 = (Л + 2у)ди1/дХ1= {к + 2д)£1/(1 + EJ = X + 2р.

При удалении от края трещины рассматриваемые решения сбли­ жаются и, следовательно, влияние геометрической нелинейности (влияние той области, где деформации и повороты велики) исчезает.

В жестких материалах, для которых закон Гука справедлив лишь при малых деформациях, физическая нелинейность проявляется в большей окрестности края трещины, чем геометрическая. Поэтому, если материал способен деформироваться за пределами линейной упругости, в первую очередь следует учитывать физическую нелиней­ ность и лишь затем - геометрическую.

§ 3.3. О деформациях в окрестности особой точки

Приведенные выше решения задач о трещине, полученные на ос­ нове линейной теории упругости, указывают на неограниченные деформации в окрестности края трещины. Этот вывод, как было пока­ зано в предыдущем параграфе, справедлив и в тех случаях, когда линейная теория трактуется как некоторая геометрически точная, причем независимо от того, в лагранжевых или в эйлеровых перемен­ ных записываются (одни и те же по форме) линейные соотношения.

Возникает вопрос: присуща ли указанная неограниченность толь­ ко линейной теории и приведенным геометрически точным ее интер­ претациям или она сохраняется в более общем случае? Ниже дается ответ на этот вопрос - указываются достаточные критерии неограни­ ченности деформации.

Рассмотрим однородную сплошную среду с особой линией. Возьмем

на ней некоторую точку, в которой существует касательная, и построим плоскость, перпендикулярную касательной и проходящую через ука­ занную точку. Введем в этой плоскости лагранжевы координаты: прямоугольные x v х 2и полярные г,0. Начало тех и других - в особой точке; х 2= 0 при 0 = 0. Координату х 3направим по касательной к осо­ бой линии. Будем искать условия, при которых возможны ограничен­ ные напряжения и деформации [94].

Предположим, что их предельные значения (г —►0), зависящие от полярного угла 0, существуют и ограничены. При этом существуют ограниченные пределы для производных

(3.1)

(т,п= 1, 2,3).

Поскольку деформации ограничены, перемещения непрерывны, так что их предельные значения (г -►0) не зависят от 0.

Учитывая предельные значения (3.1), соотношения

а также предел

где штрих означает производную, находим

Отсюда

Обратимся теперь к уравнениям равновесия (1.8) и перепишем их в цилиндрических координатах (внешние объемные силы отсутствуют):

Умножим обе части на г и проинтегрируем по г от нуля до р. Исполь­ зуя теорему о среднем, получаем

Р { [ 0 im (P > е ) - 0 1 т ( г ! , 0 ) 1 COS 0 +

+[ ° 2 т ( р > 0 ) " 5 2т ( г 2 >0 )1 Sin е +

+° 2т(гз>0) cos 0 ~ 0\т (г4, 0) sin 0 +

Сократим на р и устремим р к нулю. Учитывая существование ограни­ ченных пределов и полагая, что вследствие гладкости особой линии (в некоторой окрестности рассматриваемой точки)

г1™иг д б зт(г. 0 ) / ^ з = 0»

находим уравнения равновесия относительно предельных значений компонент тензора Пиолы-Кирхгофа

o'2m(0)cos 0 “ ô'lm(0)sin 0 = 0;

(3.3)

(Omn(0) = lim доmn(r> 0 ) / ô 0 ) .

г~*0

Объединяя равенства (3.2), (3.3), получаем

umi^ in + игп2 ^2п ~

Отсюда, в частности, следует, что

2

(г = + 0) точка в пространстве компонент градиента перемещения опи­ сывает некоторую кривую. Мы полагаем, что интервал изменения полярного угла 0 можно разбить на участки, для каждого из которых соответствующий отрезок указанной кривой не имеет точек „самопе­ ресечения” . Ввиду того что на любом таком отрезке свойства материала

проявляются лишь на заданном пути деформирования, не имеющем точек самопересечения, напряжения и энергия деформации на нем однозначно зависит от градиента перемещения. Поэтому для любого значения 0 вместо равенств (3.4) или (3.5), можно записать

(ô(dum/a xn) = u'mnô0, г = + 0),

а работу деформации полагать потенциальной.

Сравнивая последнее равенство с выражением для второй вариа­ ции полной энергии (1.16), видим, что если материал устойчив (62Р > 0, вариация хотя бы одной из компонент градиента перемещения отлич­ на от нуля), то равенство (3.6) не выполняется и, следовательно, дефор­ мация в окрестности особой точки неограниченна (точнее, не суще­ ствует ограниченных пределов для компонент градиента перемещения или тензора Пиолы-Кирхгофа при г -* 0, 0 = const).

Данное условие неограниченности деформации можно несколько видоизменить. Вернемся к соотношениям (3.2), (3.3). Возьмем какое-ли­ бо значение угла 0, при котором деформация изменяется, т. е. не все производные и тп равны нулю. Повернем координатные оси так, чтобы данное значение соответствовало равенству 0 = 0. Тогда в этой точке (в новых координатах)

Отсюда

з

(3.7)

где учтено, что вследствие непрерывности перемещения и'шз = 0. Так как не все производные и'т2равны нулю, из равенства (3.7) получаем

Здесь в общем случае т, п = 1, 2, 3. Для плоской деформации т, п= 1, 2. Таким образом, если при произвольном расположении осей коор­ динат якобиан (3.8) отличен от нуля (этому отвечает локальное взаим­ но однозначное соответствие между векторами с проекциями о2п и ит2), то конечные пределы для рассматриваемых компонент не

существуют.

Если работа деформации потенциальна, то, учитывая формулу (1.10), необходимое условие ограниченности деформации (3.8) можно записать в виде

&Un

В линейной теории упругости при ее лагранжевой трактовке левая часть равенства (3.9) равна р2(Х + 2р)> 0 и, следовательно, деформа­ ция в окрестности особой точки, как это и было установлено ранее, неограниченна. То же происходит с материалом, потенциальная энер­ гия деформации которого определяется выражением (1.11). Действи­ тельно, в последнем случае

С = ц2[ц +(к + м)(4?2 + А |2 + ^ 2)]> о,

где Атп - алгебраические дополнения элементов атп = ômn +дит/дхп матрицы Пашп11.

Перейдем к эйлеровым переменным. Если вместо тензора напряже­ ний Пиолы-Кирхгофа ввести тензор Коши, а лагранжевы координаты заменить эйлеровыми, то все рассуждения, которые привели к равен­ ствам (3.6), (3.8) сохраняют силу. Следовательно, сохраняются и ука­ занные равенства. Они, однако, не тождественны первоначальным, так как входящие в них величины имеют другой смысл. Покажем это на примере одноосного напряженного состояния несжимаемого мате­ риала (материала, объем которого при деформации не меняется). Пусть единственная отличная от нуля компонента тензора Коши

где £ - модуль упругости; ЕК- относительное удлинение. Условие несжимаемости имеет здесь вид

II (Ек+ 1) = 1.

К=1

Отсюда компонента тензора Пиолы-Кирхгофа

Левая часть равенства (3.8), где индекс 2 можно заменить на 1, в эйлеровых и лагранжевых переменных будет представлена здесь одним членом:

Видно, что для рассматриваемого материала условие (3.8) не вы­ полняется, если входящие в него переменные эйлеровы, и выполняет­ ся при ди/дх = 1 в случае лагранжевых переменных, когда материал, по данному выше определению, устойчив лишь при достаточно малом удлинении (Ех = ди/дх < 1).

Если работа деформации, приходящаяся на единицу объема, потен­ циальна, то равенство (3.8) (в эйлеровых переменных) можно перепи­ сать, используя зависимость (1.21). Получаем

Но при ограниченной деформации относительное изменение объема удовлетворяет неравенствам - 1 < Д < 00. Поэтому равенство (3.10)' тождественно условию (3.9), записанному в эйлеровых переменных.

Итак, даже если условия (3.8), (3.9) в лагранжевых переменных выполняются (материал неустойчив), а те же по форме условия в эйле­ ровых переменных не выполняются, деформации и (или) напряжения в окрестности особой точки неограниченны.

Приведенные выше рассуждения основаны на предположении, что рассматриваемая точка особая. Обычно справедливость этого предположения вытекает непосредственно из условия задачи. Именно так обстоит дело в задаче о трещине, берега которой (хх < /, х2 = ± 0) свободны от напряжений. Действительно, если при развитии трещина дополнительно раскрывается, то, очевидно, вектор напряжений,

(переменные лагранжевы). Таким образом, напряжения, а следователь­ но, и градиент перемещения у края трещины разрывны, данная точка является особой. Вместе с тем, если трещина раскрывается так, что ее берега образуют гладкий контур, наличие особой точки при эйлеровом описании не очевидно. Так, при эйлеровой интерпретации линейной теории упругости (см. §3.2) предел для напряжений при приближении к краю раскрывшейся трещины конечен и не зависит от полярного угла 0 (в эйлеровых переменных - и/2 ^ 0 ^ л/2 при г= + 0). Но в соот­ ветствии со сказанным выше при лагранжевом описании той же самой задачи напряжения (компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа) разрывны. Из этого примера следует, что в отношении напряжений данная точка может быть особой при лагранжевом описании и в то же время обыч­ ной при эйлеровом. Справедливо и обратное утверждение. Примером является задача о закрытии эллиптической полости, рассматриваемая

Тогда с учетом указанного предположения можем записать

так как стремление к другому пределу приводит к противоречию оценкам (3.12). Кроме того, как и выше, полагаем, что вследствие глад­ кости особой линии

Из приведенных выше уравнений равновесия, записанных в ци­ линдрических координатах, получаем аналог формулы (3.3):

Пусть при 0=0* деформация изменяется, т. е. не все производные д2ит/дхпдв стремятся к нулю при г 0. Положим 0* = 0 и соответствен­ но повернем координатные оси. Тогда на основании соотношений (3.13) - (3.16) имеем

Кроме того, вследствие непрерывности перемещений д2ит/дх3дв -+ 0 (г 0). Отсюда

и, так как не все производные от компонент градиента перемещения стремятся к нулю,

что противоречит условию (3.11). Таким образом, оценки (3.12) не вы­ полняются, что и требовалось доказать.

Приведенное утверждение остается в силе и при использовании эйлеровых переменных [94].

§ 3.4. Поток энергии.

Связь между формой раскрытия трещины

инапряжениями на ее продолжении

В§ 1.3 было показано, что поток энергии в край трещины, расту­ щей в линейно-упругом материале (плоская задача линейной теории упругости), при отсутствии внешних напряжений на ее берегах опре­ деляется инвариантным интегралом (1.3.8). Переформулировка этого утверждения применительно к нелинейно-упругому телу очевидна [123, 126]:

(4.1)

Г

где с?Г, х^2- лагранжевы переменные; о - сила, действующая извне на единичный (до деформации) элемент dГ контура Г; U0- потенци­ альная энергия деформации, отнесенная к единице объема тела до де­ формации. В соответствии со смыслом указанных величин правая часть равенства (4.1) представляет собой поток энергии внутрь контура Г при единичном стационарном смещении контура Г вместе с полем напряжений и деформаций вдоль оси х х.

Если контур Г замкнут и в ограниченной им замкнутой области особые точки отсутствуют (во всех точках области выполняются одно­ родные уравнения равновесия), а свойства материала не зависят от координаты x v то при указанном смещении энергия внутри контура сохраняется и, следовательно, интеграл (4.1) равен нулю. Подчеркнем, что этот вывод остается справедливым при произвольной связи между напряжениями и деформациями в идеально упругом теле. В этом легко убедиться и непосредственной проверкой.

Интеграл (4.1) по замкнутому контуру преобразуем в интеграл по области Q, ограниченной этим контуром, учтем уравнения равновесия и выражение напряжений отпчерез удельную потенциальную энергию (1.10). Получим (суммирование по т, я)