книги / Механика трещин

Рис. 4.14.

Рис. 4.15.

Рис. 4.16.

скорости трещины к скорости сдвиговой упругой волны не слишком мало по сравнению с единицей. При этом геометрически линейная постановка оправдана полностью. Как и в случае антиплоской задачи, раскрывшаяся трещина принимает у края форму клина, угол при вершине которого 20 увеличивается при уменьшении скорости трещи­

(ц/Ас)tg Э (верхние кривые) и т а х (- еху) p/fc (нижние кривые). Динами­ ка трещин в упругопластическом теле исследовалась во многих работах [99,134, 135,136,144].

§ 4.10. Рост трещины при циклических нагрузках

Как известно, трещины более чувствительны к повторяющимся нагрузкам. Если при данной фиксированной нагрузке трещина не растет, а при циклической нагрузке того же уровня распространяется, то это может происходить лишь под влиянием необратимости дефор­ маций. Циклический рост трещины можно описать в рамках модели упругопластического тела (с добавлением критерия разрушения), если должным образом учесть пластические деформации, возникаю­ щие как при нагружении тела и росте трещины (см. § 4.5-4.7), так и при разгрузке.

При достаточном уровне внешней нагрузки у края трещины в уп­ ругопластическом теле возникает настолько высокая концентрация деформаций, что трещина начинает расти. Распространение трещины при фиксированных внешних напряжениях влечет за собой резкое снижение концентрации деформаций, которая приближается к уровню, определяемому решением стационарной задачи о квазистатическом росте трещины. Поэтому росту трещины должно сопутствовать увели­ чение внешних напряжений. При уменьшении последних (т. е. в период разгрузки) характер деформаций у края трещины изменяется так, что при последующем нагружении тела концентрация деформаций

начальная полудлина которой / = /0. Пластина растягивается в направ­ лении по нормали к трещине, берега которой свободны от внешних напряжений. Задача описания напряженно-деформированного состоя­ ния пластины решается в постановке Дагдейла. Сохранив известное решение этой задачи [см. (5.14)- (5.18), (5.25)], учтем, что в действи­ тельности на продолжении трещины перемещения непрерывны и имеются лишь значительные пластические деформации в узкой вытя­ нутой зоне / < х < L. В связи с этим дополним указанное решение предположением, что в области / < х < L, 0 ^ У < о (У - эйлерова координата, до деформации У = у) имеется „пластический слой” , состоящий из не связанных между собой волокон, ориентированных вдоль оси У. В этом слое оуу = от, оХу = 0. Здесь и ниже (в отличие от § 5) L - координата конца пластической зоны, длина которой равна L - /.

Вдальнейшем рассмотрим следующие друг за другом нагружение

иразгрузку пластического слоя. Будем полагать его жесткопласти­ ческим, деформирующимся лишь при оуу= ± о т .Там, где это суще­ ственно, учтем укорочение слоя за счет упругой разгрузки материала, происходящей по мере продвижения трещины.

Введем „деформационный” критерий, аналогичный по смыслу силовому критерию Новожилова [69, 70], а именно примем, что трещи­ на не будет развиваться (ее полудлина / не станет больше /д), если осредненный по длине а зазор у ее края 2h меньше некоторого крити­ ческого значения 2Д:

e /-e

где 2h{x, /) - расстояние между берегами трещины с учетом пласти­ ческого слоя, заштрихованного на рис. 4.17. На нем показано: а - со­ стояние с начальной трещиной (о= о0, / = /д); б - состояние с растущей трещиной ( о > о 0, />/д); в-состояние в конце разгрузки ( 0 = ^ 0 ^ /= lv и = ut + о^. Цифрами обозначено: I - упругая область; IIпла­ стический слой; III ( Оуу= 0), IV (оуу < От, и = их) - пластически дефор* мированный материал на берегу трещины; 1- берег трещины, 2 - зазор

а)

Рис. 4.17.

h(l, х), 3 - и(х, х)(1 - е), 4 - ео(х, х ) - зазор за счет упругой деформа­ ции волокна в момент разрыва.

В обозначениях и(/, х), h(l, х) первый из аргументов указывает на полудлину трещины. Там, где это не может вызвать недоразумения, аргументы и и h будут опускаться. Ввиду малости размера а min (/, L - /) (это подтверждается ниже) и предположения о жесткопластиче­ ском характере деформирования пластического слоя будем полагать h{l, х) = о(/, /) - Ьи(х, х), где b = 1 - г, г = от/£, Е - модуль упругости, и(х, х) - длина волокна в пластическом слое в точке х в момент его разрыва, Ьи{х, х) - длина того же волокна с учетом упругой разгрузки при разрыве (рис. 4.17, б), о(х, х) = 0 при х < /0. Итак, трещина растет, если

0/'-а

Вслучае неравенства h(l)< А трещина неподвижна. Неравенство h(l)> А невозможно.

Н а гр у ж ен и е (зад ач а I). Перемещение верхнего берега трещины длиной 2L при напряжениях оуу = о* , приложенных на отрез­ ке (с, d), 0 ^ с ^ d ^ L (у = 0), и при отсутствии напряжений на беско­ нечности б линейно-упругой пластине в соответствии с (2.2.14) опре­ деляется так:

Если принять о* = - о, с = 0, d = L, а затем о* = от , с= /, d = L и сло­ жить перемещения (10.3), отвечающие этим двум задачам, потребовав для суммы и(/, x) = àu/ôx = 0 (x = L, у=0), то получим решение Дагдейла

Обозначим все величины, отвечающие концу процесса нагруже­ ния, индексом 1: l = l19L =L±, и(ll9 х) = и г{119 х) и т. д.

Р а зг р у зк а (задача 2). Пусть внешнее напряжение, достигнув уровня о = Oj, монотонно убывает до значения о = Rol9 R < 1. Ввиду того, что состояние в упругой области описывается линейными одно­ родными уравнениями (теории упругости), решение задачи с учетом разгрузки можно представить суперпозицией решений двух задач, потребовав, чтобы суммарные значения напряжений и перемещений

оси х(/1 < х <Ь2), где уменьшение внешней нагрузки вызвало пласти­ ческую деформацию сжатия; перемещение и = в области L2 < x < L X, где - от < оуу < от; и = 0 при x ^ L v

Полагаем, далее, что трещина не „залечивается” - ее длина остает­ ся неизменной, а оуу = 0 при х < /г

Удовлетворить сформулированным условиям можно, сложив решения двух задач: рассмотренной задачи о нагрузке и дополнитель­ ной задачи с условиями

где индекс 2 отвечает окончанию разгрузки. Дополнительная задача при условиях (10.10) также является задачей Дагдейла, но для других значений внешней нагрузки и напряжений в пластической зоне. Ее ре­ шение имеет вид, аналогичный по структуре (10.8),

Из равенств (10.11) для а 2, L2 видно, что с уменьшением о граница области вторичной пластичности L2 растет, удовлетворяя, неравенству L2 < Ll9 до тех пор, пока берега трещины не коснутся друг друга в ее центре (х=0). Момент касания определяется условием J(IV 0) = = и îQi, 0) + u2(/i, 0) = 0, что равносильно равенству

рис. 4.18 (кривые 1,2).

После соприкосновения берегов трещины в ее центре дальнейшее сжатие пластического слоя затруднено. Примем, что этап разгрузки R < R0 не влияет на рост трещины. Отсюда и из характера зависимости для R0 (10.13) следует, что отрицательный полуцикл, не играя замет­ ной роли при малых отношениях oJoTi становится существенным, когда это отношение приближается к единице.

При разгрузке зазор на интервале осреднения (длиной a) h2(l19 х) =

момента касания порванных волокон в точке х = 11. При дальнейшем снижении внешних напряжений в области - а < х < / 1~ at зазор будет по-прежнему равномерно убывать, а на интервале \х - ах < х < < /х пластически деформированные волокна сомкнутся и произойдет их укорочение за счет пластической деформации сжатия. Это и является причиной роста трещины при сле­

при разгрузке смыкаются, будем называть зоной контакта (ап- ее дли­ на в л-м цикле).

В тор и ч н а я н а г р у з к а . В этот период напряжение о увеличи­ вается от значения Ro1 до ох. Для неподвижной трещины решение задачи (задачи 3) можно найти тем же путем - прибавлением к преды­ дущему решения дополнительной задачи, которое определяется теми

Если мысленно увеличить напряжения до максимального значе­ ния ох при неподвижной трещине, то, учитывая, что и2 = - и 3 и hi(lx) = Д, из равенств (10.15), (с учетом (10.14)), получим

Неравенство u3 > hx объясняется укорочением волокон на интер­ вале 1Хах < х < 1Х(рис. 4.19).

На рис. 4.19 изображена окрестность края трещины (слева 1Х- /0 < а, ах < а; справа 1Х- /0 > а, ах > а: на рис. 4.19, а - после первой нагрузки

при некотором уровне внешних напряжений о < о х трещина начинает расти в соответствии с критерием (10.1). При ах = 0 рост трещины невозможен (Л3( К Д при о < o j.

Решение дополнительной задачи (вторичное нагружение) в усло­ виях роста трещины (задача 4) можно получить аналогично, учитывая, что суммарные напряжения оуу = 0 при lx < x < I и история деформи­ рования материала различна на интервалах К х ^ Ь 2 и L2 < x < Последнее означает, что необходимо решать две разные задачи в зави­ симости от положения правой границы пластического слоя L+ : зада­ чу 4, о при L + ^ L 2 и задачу 4, б при L 2 < L + < L v

Анализ показывает, что в связи с малостью отрезка действующие на нем (в задаче 4) напряжения оууА= от можно

S) 1

en ШТП

Ш U

1*1 o.

ЩЦ UJ

m m

не учитывать, упростив тем самым дальнейшие выкладки. При этом задача о дальнейшем нагружении оказывается эквивалентной зада­ че 1, но с измененными длиной трещины (/ = /2), зазором и интервалом изменения внешнего напряжения. Приращение длины трещины в за­ даче 4, б оказывается много меньше полученного в задаче 4, а (при условии (/2 » /1)//1 1, выполняющемся для всех известных конст­ рукционных материалов). Поэтому им можно пренебречь и в качестве решения задачи 4 принять: приращение длины трещины определяется соотношениями (10.6), (10.11), смещение и длина пластической области по окончании нагружения - соотношениями (10.4) при / = /2, о = о г

Таким образом, приращение длины трещины рассчитывается лишь для периода, когда L+ < L2, а к началу следующей разгрузки имеем то же состояние, что и после первого нагружения, но с увеличенными размерами трещины и пластической области, а также - с измененной связью между осредненным зазором и перемещением у края трещины.

Итак, после первой разгрузки длина трещины будет увеличивать­ ся, если ах > 0. Рост при следующих циклах зависит от величины av

Возможны два случая: а1>а и а .< а . Если ах > а, то с принятой точностью осредненный зазор h3(l19JJ = о 3(/1, Q = - и2{119 JJ. Посколь­ ку на отрезке 1Х- о < х ^ /1 при разгрузке возникает зона контакта,

Критическое значение длины тре­ щины (/ = /*, л = л*, X = 00) определяется из (10.18): /* = - ( 4Яе In cos ос2)"1 =

=

(/п </i + flа1,л=1,2,. . .).

Ввиду малости отношения а//0 указанное различие в скорости роста трещины можно игнорировать, т. е. полагать, что и в этом случае справедливы формулы (10.18) - (10.20).

Пусть и2(lv /х) > - AIJOx+a) (0 < а 1 < а). Тогда /п при л - 00 будет

лежать зоне контакта и, следовательно, h3(ln) = ~ иг(^ W = “ и2(*1> /i)/n//i < А, что противоречит критерию (10.1). Поэтому трещину можно считать нераспространяющейся. Разрешающая способность рассматри­ ваемой теории, по-видимому, недостаточна, чтобы обоснованно судить о поведении трещины в интервале /1А/(/1 + а) < \i)20 v /Jl ^ А. Ввиду малости этого интервала с принятой точностью можно принять в каче­ стве критерия равенство [см. (10.11)]

и считать, что если левая часть больше единицы, то трещина распро­ страняется в соответствии с соотношениями (10.18) - (10.20), если меньше, - то трещина не распространяется.

Сравнение с э к с п е р и м е н т а м и и анализ р е з у л ь т а т о в . Имеется обширная литература с данными экспериментов по многоцик­ ловой усталости. Однако обычная Форма представления результатов в виде зависимости л* или V от К{К = ot ул/) для предлагаемой теории недостаточна, если только не приведены отдельно значения о х и /. Затруднено было также использование работ, в которых не указано значение предела текучести материала.

В связи с этим для определения постоянных А, о и сравнения результатов с экспериментом использовались в основном работы 60-х гг. (ссылки см. в [109]), когда представления Г (К) еще не стали общепринятыми и более полно, чем в последующие годы, указывались