книги / Механика трещин

Скорость волн Рэлея близка к с к о рости во л н сдвига (сд < с2). В частно­ сти, при V = 1/4 сд = с2 у2 - 2/>Д « 0,9194с2.

Исследование рассматриваемой задачи - задачи Лэмба - приведе­ но в [93]. Здесь мы ограничимся определением перемещений на гра­ нице полупространства х 2 = 0. На основании соотношений (1.23), (1.24) для х 2= 0 получаем соотношения аналогичные (1.20), но для плоской задачи

(1.26)

Для функции Sf'*' в обозначениях, принятых в формуле обраще­ ния (1.16),

(1.27)

Радикалы, входящие в равенства (1.27), и функция R0 определя­ ются так:

Отсюда и из соотношений (1.16), (1.17), (1.27) находим (х = x v c=x/t)

A

При выводе последнего равенства учтено, что функция Д2) = //(2n£j является аналитическим представлением ô-функции Дирака 6(х).

Аналогичным образом определяются и остальные функции:

Функции Sll9. . . ,S 22>как видно из первых двух равенств (1.26), определяют перемещения при сосредоточенном импульсном воздей­ ствии, например u1=Sll (т = ô(f)ô(x), T L F =1, о = 0). В общем случае решение выражается двойной сверткой:

u i = * $ и * * 1 + *$12 * * 0 >

U2 = 5 2 1 * * T + 5 2 2 * * ° -

Характерная особенность приведенных решений - изменение зна­ ка перемещений, когда с становится больше скорости волн Рэлея. В области Ixl < cRt соответствующая компонента перемещения грани­ цы полупространства направлена в ту же сторону, что и действующий на границу импульс. Действительно, если oLF= l, т = 0, то импульс действует вдоль отрицательного направления оси х 2 и перемещение u2= S 22 если же 0 = Û, TLF = 1, то аналогичное заключение можно сделать относительно импульса напряжений т и компоненты переме­ щения их = Slx <0. При тех же условиях, но в области 1x1 > сд*, указан­ ные компоненты положительны (кроме тех точек на оси с= x/f,. где они обращаются в ноль). Графики функций Я*(с) (кривая 1) и а(\>) SxJ[a(v) = = - v)] при с Ф CR (кривая 2) показаны на рис. 5.2, а графики а(v)5n , Û( V)5 22, а(0), S33на рис. 5.3 (S33перемещение в задаче III (1.18) для х 2=0). В расчетах принято v=0,3 ( с ^ ! ^0,5345, сд/с2 ^ % 0,9274).

Для определения напряжений на продолжении трещины и переме­ щений ее берегов достаточно знать функции Smn на оси х= х г Однако выражения для них (1.28), (1.29) слишком сложны, что затрудняет решение конкретных задач. В связи с этим предложено приближенное

описание функций S119 S22, сохраняющее основные черты точного, но существенно более простое [86, 96,148].

определить их из условия' лучшей апроксимации в том или ином

v = 0,3 показаны на рис. 5.4, где принято указанное выше требование асимптотического совпадения, которое определяет следующие значе­ ния постоянных:

показана на рис. 5.5 (кривые 1, 2 соответственно).

§5.2. Состояние у края трещины

ипоток энергии

Прежде чем переходить к решению конкретных задач о динамике трещины, найдем распределение напряжений и перемещений у ее края, а тем самым - соотношение между интенсивностью напряжений и по­ током энергии в край трещины в зависимости от ее скорости. Как пока­ зано в статье [121] и как это будет видно ниже, распределение напря­ жений и перемещений у края трещины зависит лишь от ее текущей скорости. Исключением являются те моменты времени, в которые к краю трещины приходят разрывные фронты волн напряжений от внешних сосредоточенных источников. Учитывая сказанное, состоя­ ние у края трещины можно определять, исследуя стационарную задачу

При этом для того чтобы распространить результаты на нестацио­ нарную задачу, достаточно значение постоянной скорости трещины и принять равным значению скорости l{t) = dl/dt в нестационарной задаче в данный момент времени, т.е. положить и = и {t) = l(t). Подчеркнем, однако, что здесь речь идет лишь о распределении напряжений и пере­ мещений, а не об их амплитудах. Для определения последних, напри­ мер коэффициента интенсивности напряжений, необходимо рассматри­ вать конкретную задачу, и если эта задача нестационарна, то решение будет зависеть не только от скорости роста трещины в данный момент времени, но и от всей предыстории ее движения.

Из первого уравнения находим с = - 2 \fâal{l + Р). Второе уравнение удовлетворяется автоматически (вследствие принятого значения s). Определяя тем же путем напряжение о1Х и компоненты перемещения, получаем следующие зависимости.

Задача I:

(2. 11)

(х < О, х2 = ± О);

задача III:

°22 “ к\\\1/ 2лх = ЛГШ/ /х~ (х > 0, х2 = 0);

(2.12)

(х < О, х2 = ± 0).

Здесь, как и выше, в пределе при и 0 получаются соотношения для статики (2.2.15), (2.2.16).

Покажем, что формула (1.3.4), выведенная для квазистатики, справедлива и для динамики [104]. Пусть вектор напряжения, дей­ ствующий на продолжение нижнего берега трещины, 0+ ( х - of), пере­ мещение верхнего берега и. (х - иf), перемещение нижнего отличается

задачи дополнительное перемещение (на интервале - i ^ x - o f ^ O ) иа — аи7 (т 0). Сингулярность в точке х = of, порождающая поток энергии, приобретает множитель 1 - а, а в точке х - of = - т появляет­ ся та же сингулярность, но с множителем а. Потоки энергии через указанные точки пропорциональны квадратам соответствующих множителей, а поток энергии (на единицу приращения длины), созда­ ваемый нагрузкой, приложенной на интервале - т < х - uf ^ 0 к бере­ гам трещины, равен

2а (1 - а) lim [и_ ( - т) *о+ (т)]

Заметим теперь, что напряжения ±о+, приложенные к бере­ гам трещины на малом отрезке у ее края, не влияют на общий поток энергии (при т -*• 0 их влияние на фиксированном расстоянии от края трещины исчезает), они лишь перераспределяют его из

точки х - 0 на отрезок - т < х ^ 0. Поэтому справедливо уравнение

Г = (1 - а)2Г+ а2Г+ 2а(1 - a) lim[u_(- т) * о+(т)]',

из которого и следует формула (1.3.4).

Влияние скорости проявляется лишь в том, что отношения Afj/Wj, Mn/Nu, Miu/Niii, как видно из формул (2.10) - (2.12), зависят от скорости.

Итак, формулы (1.3.4), (2.10) - (2.12) приводят к следующему соотношению для потока энергии в край трещины, распространяющей­ ся в условиях плоской и антиплоской деформаций упругого тела

При переходе к плоскому напряженному состоянию, как уже отме­ чалось в §5.1, следует изменить значение коэффициента Пуассона - заменить параметр с2 на с\ (1.6). Учитывая неравенства Д*(и) < 0 (0 < о < сд), Я*(и) > 0 (сд < о ^ с2), видим, что перемещение верхнего берега трещины в задачах I, II того же знака, что и напряжение на ее продолжении

U2°22 > 0, Ul°12 >0, (2.14)

если скорость трещины меньше скорости волн Рэлея. При этом поток энергии в край трещины Г > 0 независимо от знаков указанных компо­ нент (2.13). В противном случае (сд < и < с2) неравенства (2.14) меняют­ ся на обратные, т. е. если в задаче I трещина раскрывается, то на ее продолжении напряжения о22 должны быть сжимающими. Растягиваю­ щим напряжениям соответствует „перехлест” берегов трещины (допу­ стимый лишь при такой постановке задачи, когда на перемещения берегов не накладывается ограничений, что, конечно, неприемлемо). При этом независимо от знака компонент о22, о 12 {х > 0, х 2= 0) поток

положительна, то трещина не может распространяться со скоростью, превышающей скорость волн Рэлея (сд < и < с2).

Из формулы (2.13) вытекает еще одно важное заключение: в пло­ ской задаче при фиксированном коэффициенте интенсивности напря­ жений поток энергии в край трещины неограниченно растет с увели­ чением ее скорости (0 < о < сд). Так, если в статике