книги / Механика трещин

произвольные функции, удовлетворяющие, однако, условию Л? > 0. [При выводе соотношений (3.26) учитывалось, что на линиях скольже­ ния oyiyl = оу2у2 = о+/2.]

Таким же путем, как и для антиплоской деформации, приходим к выводу, что при условии т\= к2 напряжения в пластической области непрерывны.

§ 4.4. Напряжения и деформации в области разгрузки

Рассмотрим стационарную квазистатическую задачу об упруго­ пластическом поле, движущемся вдоль оси x v Пусть кривая Г, опре­

Отсюда вццно, что перемещение и3в отличие от той же компоненты при антиплоской деформации упругого тела, вообще говоря, не удовлетво­ ряет уравнению Лапласа. Для того чтобы можно было воспользоваться выражениями для перемещения и напряжений через аналитическую функцию (2.1.9), представим перемещение в области разгрузки в виде суммы

напряжения в начале разгрузки, т. е. на линии Г.

Подставим данное выражение в формулы (1.8). Поскольку задача стационарна, для всех точек тела на прямой х 2 = const в области раз­

можно определить через производную в пластической области (х . = = х° + 0):

Используя, кроме того, уравнения совместности и равновесия, запишем

(*i = х\ + 0).

Поскольку производные детз/дх1 соответствуют области пласти­ ческого течения, их можно выразить формулой (3.8). Подставляя после этого выражения (4.7) в правую часть равенства (4.6), находим

Учитывая, что в пластической области т2 = к2= const, получаем иско­ мую зависимость

Поскольку на границе т2 = fc2, производная (4.8) не может быть отрицательной, иначе при удалении от границы в область разгрузки - при уменьшении х г - максимальные касательные напряжения

оказались бы больше их предельного значения. Вместе с тем Л ^ О, поэтому, как видно из формулы (4.8), разгрузка возможна либо когда Л(хх + 0, х 2) = 0, либо когда орр = 0.

Таким образом, если в пластической области Л > 0, то разгрузка начнется от линии скольжения; при этом граница Г будет прямой. Из формулы (4.8) следует также, что в любом случае разгрузка начи­ нается „постепенно” : на границе Г непрерывно не только максималь­ ное касательное напряжение, но и его производная по х 1(дт/дх1= 0).

Если область разгрузки занимает некоторый сектор в окрестности края трещины, причем особая точка находится на границе области, то деформации (а следовательно, и напряжения) в последней могут изменяться лишь в том случае, если градиент перемещений ди*/дхт имеет особенность не менее сильную, чем логарифмическая (см. § 3.3). Вместе с тем более сильная особенность приводит к неограниченному изменению деформаций (и соответственно напряжений), что противо­ речит условию пластичности.

Таким образом, особенность для градиента перемещения - лога­

Поскольку компоненты напряжений ограничены, из последней форму­ лы следует, что b = 0, а из второй находим

о= Нш 2 —— = Иш 2е?з(*2)е°

Другие постоянные определяются при решении задачи в целом.(В свя­ зи с рассмотренной задачей отметим статьи [10,38].)

Перейдем к задаче о плоской деформации. С той же целью, что и выше [см. формулу (4.1)], представим перемещение суммой

Так же как и выше, напряжения о* п удовлетворяют уравнениям равновесия (поскольку компонента ог1, отличающаяся от о*1? диффе­ ренцируется по х 19 а величины о^п, е£,п от х г не зависят), и, следова­ тельно, перемещения удовлетворяют обычным соотношениям линей­ ной теории упругости. Таким образом, в соответствии с представле­ нием (2.1.6) можно положить

2|i(n* + ш2) = (3 - 4v)(p - z(p' - ф ;

- о! + 2/ 0 12 = 2(z<p" + ф');

(4.14)

о* =4 Re ср' (о ± = о Х1 ± о 22).

Выразим производную дх2/дх1 в области разгрузки (хг = х\ - 0) через параметры поля в области пластического течения {хх= х\ + 0), где т2 = /с2. Учитывая, что dz/dxt = 1, dz/dр = е~,ос, а также равенство (4.5), справедливое для любой аналитической функции, получаем

Пусть в пластической области на границе с областью разгрузки Л2 = Л3 = Ô. Тогда производные à ixJdxx, dzxJdxv входящие в равен­ ства (4.18), можно выразить через напряжения (и функцию Ах) по фор­ мулам (3.17), (3.18). Подставляя после этого выражения (4.18) в правую часть (4.17), найдем

области на границе с областью разгрузки Ах > 0, то на границе орр = = oaa, так как левая часть соотношения (4.20) не может быть отрица­ тельной. Таким образом, при Лх >0 граница с областью разгрузки проходит по линии скольжения. Сохраняется также утверждение о непрерывности производной дт/дхх, которая, как и в случае антиплоской деформации, на границе Г равна нулю.

Сохраним предположение, сделанное в § 3.3, а именно будем пола­ гать, что существует (конечный или бесконечный) предел

lim г ------- (0 = const), г-*о дг

где полярные координаты введены, как обычно, у края трещины (ее берега (0 = ± л) свободны от внешних напряжений). Тогда из урав­ нения равновесия для плоской задачи

следует, что в упругопластическом теле все компоненты напряжений ограничены. Действительно, компонента оГ0 и разность огг- OQQ

ограничены условием т\ -к 2. Отсюда следует, что указанный предел равен нулю, и поэтому, как видно из уравнения (4.21), производная ôO00/ô 0 ограничена. Но о 00 = О при 0 = л, ввиду чего компонента о0е также ограничена. Следовательно, ограничена и компонента огг.

Как и выше, рассматриваем разгрузку, происходящую в некотором секторе с вершиной в особой точке (совпадающей с краем трещины). При этом изменение напряжений в области разгрузки, ограниченное в соответствии со сказанным выше, возможно лишь в том случае, когда градиент перемещений имеет при г = 0 логарифмическую особен­ ность. Положим

где am, . . ., dm- вещественные постоянные (m = 1, 2), причем переме­ щения и напряжения в области разгрузки выражаются через функции ( риф формулами (4.12)- (4.14). Находим, что вследствие ограничен­ ности напряжений

При этом перемещения и напряжения определяются формулами (4.12), (4.13) и зависимостями

Заметим, что неограниченность компоненты o*t не противоречит условию i f < к2, поскольку она не влечет за собой неограниченности напряжения о21. Однако логарифмическая особенность в выражении

для о*! должна компенсироваться последним членом в правой части первой из формул (4.13). Из этого следует, что

Теперь можно перейти непосредственно к решению задач о трещи­ нах в упругопластическом теле.

§4.5. Нагружение упругопластического тела

сфиксированной трещиной

Пусть в первоначально ненапряженном упругопластическом теле имеется трещина, которая при нагружении тела раскрывается, но не растет. За исключением особых случаев, когда действие внешних сил у края трещины взаимно компенсируется, область пластичности возникает при сколь угодно малой внешней нагрузке, поскольку предположение об упругости материала приводит к неограниченным напряжениям, а это противоречит условию пластичности.

Предположим, что внешние силы пропорциональны одному пара­ метру и монотонно растут: F= tF0(x 13 х 2, х 3). Тогда при достаточно малом значении параметра f < f* пластическая область будет малой по сравнению с наименьшим размером, характеризующим трещину (например, по сравнению с ее длиной, диаметром, радиусом кривизны и т. п.), а также по сравнению с расстоянием до границы тела. При этом состояние в малой окрестности края трещины, где возникает пластич­ ность, будет таким же, как и при полубесконечной трещине, и можно считать, что при увеличении параметра t(t ^ t j пластическая область расширяется без изменения ориентации и формы. Построим плоскость, перпендикулярную краю трещины в данной точке. Предположим, что отрезок на данной плоскости, соединяющий край трещины с произ­ вольной точкой на границе пластической области, целиком лежит в этой области, а напряжения на нем постоянны. Тогда при нагружении тела напряжения в любой его точке, попавшей в пластическую область, не будут изменяться и нигде не будет происходить разгрузки.

В указанных условиях, как уже отмечалось в § 4.3, уравнения ассоциированного закона пластического течения можно проинтегриро­

Поскольку разгрузка на самом деле не происходит^ можно считать, что соотношение (5.1), выполняется безусловно, т. е. можно экстрапо­ лировать его на произвольное нагружение и на разгрузку. Такая экстраполяция проводится лишь для мысленного эксперимента -

вариации длины трещины. Она оправдана, поскольку выводы из это­ го эксперимента будут сделаны для неподвижной трещины, т. е. для условий, при которых равенство (5.1) справедливо.

В указанных условиях для любого значения параметра t, скажем f - f* , тело можно полагать упругим, так как его деформации одно­ значно определяются напряжениями. Заметим, что такое „упругое” тело неоднородно, поскольку „упругие постоянные” Ак зависят от координат. Более того, если трещина будет расти, т. е. ее край будет перемещаться вместе с пластической областью, то значения функций Ак в данной точке тела будут изменяться. Это, однако, не приводит к необратимым потерям энергии деформации. Действительно, прира­ щение работы пластической деформации

/к > 0, которая предполагается однородной функцией степени q ком­

второй член в правой части равенства (5.3) тождественно равен нулю и это равенство можно проинтегрировать. Учитывая, что вначале дан­ ная точка находится в упругой области, где Ак= 0, получаем

Таким, образом, энергию пластической деформации, так же как и упругой, можно в указанных условиях полагать потенциальной, поскольку она определяется лишь значениями функций Ак, не зави­ сит от пути нагружения и полностью исчезает при возвращении данной точки в упругую область. Это дает возможность распространить выво­ ды, касающиеся упругого тела, на упругопластйческое, подверженное