книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

В соответствии с методикой, изложенной в гл. 4, примем, что.

1

где все составляющие, от­ вечающие возможным ре­ жимам течения (рис. 6.3), неотрицательны.

Преобразуя правую часть неравенства (6.27) с учетом выра­ жений (6.31) и усилий на фиктивной поверхности, обозначенных на рис. 6.3, и принимая также во внимание условие (6.30), получим

R

Дальнейшие преобразования системы ограничений задачи уменьшают число переменных путем использования (и исключения из последующего расчета) имеющихся уравнений. Для этого про­ интегрируем дифференциальные уравнения совместности (6.28)

с учетом краевых условий

р

рр

ио

Подставляя последнее выражение в равенство (6.20), получим

142

(6.37) в основное неравенство (6.32) и в уравнения (6.33) и (6.35) после некоторых преобразований, позволяющих уменьшить число переменных, позволяет сформулировать задачу линейного про­ граммирования в окончательном виде. Общая трудоемкость под­ готовки и решения этой задачи близка к той, которая свойственна соответствующему статическому методу. Кинематический метод может получить преимущество, если действительный механизм разрушения отыскивается из условия относительного минимума параметра нагрузки для некоторого класса механизмов, опреде­ ленных с точностью до нескольких параметров. Такой прием применительно к задачам предельного равновесия использовался А. Р. Ржаиициным [46, 47].

Рис. 6.4 иллюстрирует результаты, полученные при решении рассматриваемой задачи с помощью различных методов. Линия 1 отвечает статическому методу в приближенной постановке [рас­ пределение остаточных моментов по радиусу пластинки было принято подобным (6.17), т. е. постоянным]. Приближенный кине­ матический метод (решение аналогично рассмотренному в начале параграфа) и метод догрузки (гл. 4) дали полностью совпадающие

учитывающую, что в сплошной пластинке максимальные упругие

143

Наконец, линия 5 определяет условие знакопеременного течения, когда программа нагружения предусматривает теплосмены при постоянном давлении.

§ 27. Круглая пластина с жестким центром

Рассмотрим свободно опертую пластину, состоящую из двух участков разной толщины и нагруженную постоянной сосредо­ точенной силой Р при переменном температурном поле (рис. 6.5):

t (т, р) = t0(т) (0 < р < k)\

[44], распределение термоупругих напряжений (отнесенных для

толщина пластинки при переходе от одного участка к другому меняется непрерывно. Тепловые напряжения принимаются всюду

144

Для простоты ограничимся неравенствами (6.49). Замена «шестиугольного» условия «квадратным» может привести к завы­ шению искомого значения параметра нагрузки.

Используем замену переменных для того, чтобы области до­ пустимого изменения фазовой координаты и управления не за­ висели от текущего радиуса р:

Функцию х будем считать фазовой координатой, а функцию иу допускающую разрывы первого рода, — управлением. Урав­ нение равновесия (6.48) и система ограничений (6.49) с учетом условия (6.44), гарантирующего неотрицательность правых ча­ стей в неравенствах (6.49), принимают вид

от р. Учитывая, что г|)0 — величина неотрицательная, а решение сопряженной системы должно быть ненулевым, из дополнительного условия для задач с параметром в форме [31 ]

рi

146

получим, что sign \|эх = —1. Из выражения (6.54) следует, что и = 1. Подставляя этот результат в уравнение равновесия и учитывая краевое условие на периферии пластинки, получим

Рб(1 — <7* IФ(Р) I) х = р( 1 — р)— J 6(1 — <7*|i|>(p) 1)Ф- (6.58)

Р

Нетрудно проверить, что функция х (р) имеет лишь два локаль­

147

§ 28. Прямоугольная пластинка. Определение верхних оценок для параметров предельного цикла

Для прямоугольных пластин, и тем более пластин произ­ вольного очертания, точное определение условий прогрессирую­ щего разрушения существенно затруднено. Это относится к ста­ тическим строгим и приближенным методам в связи с необходи­ мостью анализа дифференциальных уравнений в частных про­ изводных при разнообразных и достаточно сложных краевых ус­ ловиях, а также к строгим кинематическим методам. Лишь реа­ лизация приближенного метода, базирующегося на кинематиче­ ской теореме, оказывается более доступной (как и в задачах предельного равновесия). В последнем используются какие-либо предположения (интуитивного характера или подкрепленные данными экспериментов) относительно наиболее вероятных схем (механизмов) разрушения. Широкое применение имеют схемы с сосредоточенными кривизнами [45,64], реализуемыми по обра­ зующимся в оболочке или пластинке линейчатым пластическим шарнирам.

Кинематический метод отличается наглядностью: при удач­ ном задании механизма разрушения (иногда с точностью до не­ которых параметров, определяемых путем минимизации решения) он позволяет получать результаты, близкие к точному решению. Отметим, в частности, рассмотренную в работе [7 ] задачу об условиях прогрессирующего разрушения пластинки произволь­ ного очертания, нагруженной постоянной сосредоточенной силой при периодически изменяющемся температурном поле.

Ограничимся анализом поведения прямоугольной пластинки (рис. 6.7), защемленной по контуру и нагруженной равномерным давлением при теплосменах. Пусть давление р постоянно. Рас­ смотрим воздействие температурных полей следующих двух типов*:

2) пх, д = м т )+ 4 -(1 + о *м т ),

(6.63)

В защемленной пластинке им соответствуют термоупругие напряжения [40 ]

причем направления осей х, у могут быть взяты произвольно.

* Приводимое ниже решение выполнено А. Р. Беляковым.

М8

Таким образом, в этом случае пластическое течение является изохронным в каждом отдельно взятом шарнире, но в разных шарнирах оно происходит неодновременно: на контуре пластинки при t (т) = t#, в шарнирах внутри пластинки — при t (т) = 0.

Подставляя в уравнение (6.65) значения напряжений (6.67), получим условие прогрессирующего разрушения в виде

Aw выразим через размеры пластинки a u b , угол ср и максимальное приращение прогиба Адо0, пользуясь для этого схемой, изобра­ женной на рис. 6.7. После несложных преобразований уравнение

— параметры предельных состояний конструкции (предельного равновесия и знакопеременного течения); поскольку в задаче

150

но и для точек, лежащих на одной нормали к срединной поверх­ ности в каждом из них. Расчет, аналогичный рассмотренному

§ 29. Приспособляемость перфорированных пластинок

Перфорированные пластинки и оболочки находят применение как элементы конструкций в ряде отраслей техники. В некоторых случаях они подвергаются повторным воздействиям механических нагрузок и температурных полей. Возмущение поля напряжений, вносимое регулярной сеткой отверстий, приводит к увеличению максимальных напряжений и соответственно амплитуд их изме­ нения при циклических нагружениях. Влияние перфорации на условия знакопеременного течения является вполне очевидным, оно целиком определяется уровнем концентрации напряжений. Менее ясен вопрос о возможности влияния множественной кон­ центрации напряжений на прогрессирующее разрушение. При анализе предельного раьновесия идеально пластических конструк­ ций наличие перфорации находит отражение лишь в изменении «живых» сечений конструкции. С другой стороны, известно, что наличие одиночных концентраторов обычно не приводит к скольконибудь существенному изменению условий прогрессирующего

разрушения.

Следуя работе [10], рассмотрим определение условий при­ способляемости прямоугольной пластины, ослабленной двояко­ периодической системой одинаковых круглых отверстий, которые образуют правильную квадратную сетку (рис. 6.10). Размеры пла­

151