книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

жалению, трактовке полученных результатов в этом смысле в рабо­ тах [17, 49] не уделяется внимания, что в общем является до­ вольно характерным при применении статических методов.

В статье [17] отмечается, что при использовании критерия текучести Мизеса предельное (по условию приспособляемости) давление получается таким же, как по критерию Треска (р0 = 4/е). Отношение этого давления к давлению ps, при котором впервые «упругие» напряжения достигают поверхности текучести (Мизеса),

Равно7Г = Т Г = 1>29-

С учетом нелинейной зависимости между величиной контакт­

ного давления и действующей нагрузкой получим, что но =

* s

Таким образом, в случае линейного контакта расчет на приспо­ собляемость позволяет повысить нагрузку примерно на 70% по сравнению с нагрузкой, найденной из «упругого» расчета (при оди­ наковых коэффициентах запаса).

§ 39. Контактные задачи теории приспособляемости.

Применение кинематического метода

Рассмотрим условия начала прогрессирующего разрушения и знакопеременного пластического течения в задаче, сформулирован­ ной в § 38 (см. рис. 9.1), используя приближенный кинематический метод*. Возможный механизм разрушения зададим в виде, пока­ занном на рис. 9.5, а . Предполагается, что за время цикла (про­ хода) поверхностный слой полупространства толщиной у 0, не де­ формируясь, смещается в направлении силы Т, движущей катя­ щийся цилиндр и воздействующей на слой благодаря наличию сил трения между цилиндром и полупространством.

Таким образом,

Дно —* величина разрыва функции перемещений.

Заданный механизм накопления деформации предусматривает пластический сдвиг в бесконечно тонком слое, расположенном на глубине у о, который постепенно распространяется в каждом цикле (проходе) в направлении продольной оси х при перемещении катя­ щегося цилиндра по поверхности полупространства. Схематически

* Решения контактных задач, которые приводятся ниже, были получены инж. А. Р. Беляковым.

222

седних упругих связях возникнут соответствующие усилия. Будем полагать, что они недостаточны для того, чтобы вызвать перемещение соседних элементов (дальнейшие рассуждения практически не изменятся, если принять, что одновременно будет происходить смещение одной или нескольких пар — в силу симме­ трии— соседних элементов). После того, как смещение элемента k прекратится из-за увеличившегося сопротивления связей, перене­ сем силу Т к следующему (k + 1)-му элементу. Отличие в ее воздей­ ствии будет состоять в том, что перемещение элемента начнется теперь при несколько меньшем значении силы вследствие допол­ нительного усилия от упругой связи слева. Анализ, в основном аналогичный приведенному в [7] (для случая, когда стержневая система подвергается воздействию подвижного источника тепла), показывает, что при последующем переносе силы Т процесс до­ вольно быстро стабилизируется (становится квазистационарным в подвижной системе координат), и каждый этап приводит к пере­ мещению соответствующего элемента на одну и ту же величину. Следовательно, за цикл (первый и последующие) вся система эле­ ментов и упругих связей, не изменяясь, перемещается в направ­ лении действия силы Т.

Вполне очевидно, что для. реализации рассмотренного меха­ низма необходима сила Г, несравненно меньшая той, которая по­ требовалась бы для получения равного «мгновенного» смещения всей системы (для системы с бесконечным числом элементом потребо­ валась бы в последнем случае сила, не ограниченная по величине).

Качение цилиндра при наличии сил трения между ним и полу­ пространством может привести, таким образом, к образованию перемещающегося «сдвигового фронта», который реализуется при некотором конечном (подлежащем определению) значении сдвигаю­ щего усилия.

223

В соответствии с предположением о плоской деформации (оправданным при достаточно большой длине катящегося цилин­

дра) пластическое течение происходит в плоскости ху, т. е. е2 = = yxz = у"уг = 0. В этих условиях критерии текучести Мизеса и Треска совпадают [24] и для суммарных (включая остаточные) напряжений записываются в виде, аналогичном (9.9):

годографы изменения «упругих» напряжений за цикл обкатывания цилиндром поверхности полупространства, построенные для точек которые расположены на различной глубине у . Сплошные линии соответствуют случаю, когда трение отсутствует (f = 0), штрихо­ вые — коэффициенту трения f = 0,2. Как видно, при f — 0 годо­

трения они имеют более сложную форму, смещены по оси %ху и по­ вернуты (это особенно хорошо заметно при у = 0,1 а). Главные оси напряжений в точках полупространства непрерывно поворачи­ ваются при прокатывании цилиндра, поскольку отношение коор­ динат, определяющее их направление,

все время изменяется.

224

Фиктивные поверхности текучести (см. гл. 1), соответствующие критерию текучести (9.12) и переменным напряжениям (9.3), для различных значений глубины у показаны на рис. 9.7. При этом значения среднего давления в (9.2) были приняты равными пре­ дельным, найденным из расчета на приспособляемость по статиче­

напряжений фиктивная поверхность текучести вырождается в в точку. Это означает, что в задаче, рассмотренной Джонсоном [17], приспособляемость полупространства действительно лимитируется условием знакопеременного течения. Во втором случае (при / = = 0,2 и ро = 3,21 k) вырождения фиктивной поверхности не про­ исходит, следовательно, имеет место накопление односторонней деформации.

Согласно кинематической теореме теории приспособляемости (1.69), (1.70) при заданном механизме разрушения (9.11), характе­ ризующемся квазистационарным (относительно подвижной си­ стемы координат) пластическим сдвигом в подповерхностном слое на глубине г/0, условие начала прогрессирующего разрушения имеет вид

где т — касательные напряжения на фиктивной поверхности текучести, соответствующие приращению сдвига Ауху (рис. 9.7).

225

секают ось хХу = 0.

Заметим, что при отсутствии трения вследствие симметрии годо­ графа «упругих» напряжений (см. рис. 9.6) ось хху = 0, как видно из рис. 9.7, касается фиктивной поверхности текучести только в мо­ мент своего вырождения. Это указывает на то, что в этом случае накопление деформаций возможно лишь на фоне знакопеременного пластического течения и только при наличии дополнительных ус­ ловий, определяющих преимущественное направление деформаций. Иными словами, процесс знакопеременного течения, распростра­ няющийся по слою, расположенному на глубине у 0 = 0,5а, при отсутствии сил трения обладает определенной неустойчивостью в отношении накопления односторонней деформации.

Если принять, что пластическое течение в плоскости ху (при соответствующем значении у 0) происходит в каждой точке лишь при одном положении катящегося цилиндра, условие прогресси­ рующего разрушения (9.14), преобразуется к равенству (9.10), которое выше было получено на основании статической теоремы. На рис. 9.8 показана зависимость величины предельного давле­ ния, определяемого уравнением (9.14) с учетом данного допущения,

Условие вырождения фиктивной поверхности текучести, соот­ ветствующее началу знакопеременного течения, приводит к равен­

226

чем вдоль горизонтальной]. На рис. 9.8 линии, соответствующие условию знакопеременного течения, как при отсутствии трения, так и при / — 0,2 практически совпадают с.линией 1; следова­ тельно, при наличии трения приспособляемость лимитируется про­ грессирующим разрушением.

Полученные результаты хорошо иллюстрируют преимущества кинематических методов решения задач приспособляемости. Обна­ руженный механизм разрушения — смещение поверхностного слоя — наблюдался в экспериментах [77]. Отслаивание, которое может быть результатом такого сдвига, наблюдается в подшипни­ ках («шелушение» роликов), в зубчатых колесах, в валках прокат­ ных станов, причем даже при относительно небольших числах цик­ лов. Отмечалось также существенное влияние теплосмен на стой­ кость валков по отношению к отслаиванию [38]. Это влияние также может быть проанализировано при надлежащем развитии получен­ ного решения.

Существенно, что механизм прогрессирующего разрушения, реализуемый в условиях плоской деформации, не приводит к ка­ ким-либо изменениям формы обкатываемой поверхности. Это озна­ чает отсутствие эффектов геометрического характера в рассмотрен­ ной задаче: накопление деформаций не влияет на величину контакт­ ных напряжений при следующих проходах.

§ 40. Накопление деформаций при качении жесткого диска по границе полуплоскости

Рассмотрим аналогичную контактную задачу приспособляемо­ сти для случая плоского напряженного состояния, т. е. для по­ луплоскости. Предположим, что качение диска на границе полу­ плоскости происходит без трения (рис. 9.9, Т = 0). Вертикальная нагрузка на диск характеризуется интенсивностью Р (на единицу длины вдоль оси z). Распределение напряжений по-прежнему опре­ деляется формулами (9.3), исключая компоненту а2, в данном слу­ чае равную нулю (е2 ф 0).

Используем критерий текучести Мизеса, который для рассма­

Поскольку деформации полуплоскости по толщине не ограни­ чены, здесь возможен механизм разрушения, отличный от реали­ зуемого при обкатывании цилиндром полупространства. Примем,

227

р

что распределений приращения перемещений за цикл определяется следующими условиями (см. рис. 9.9):

Имеется в виду, что верхний слой полуплоскости толщиной у 0 получает за цикл осадку, при этом имеет место разрыв в переме­ щениях при у = у о, что соответствует образованию здесь утолще­ ния [24]. Таким образом, пластические деформации сосредоточены на линии разрыва поля перемещений. Конечно, это не единственно возможный механизм разрушения, поэтому соответствующее ре­ шение следует рассматривать как оценку «сверху» для предельного (по условию прогрессирующего разрушения) значения нагрузки Р.

Основное соотношение кинематической теоремы приведет в дан­ ном случае к условию, по форме аналогичному (9.14):

кучести, соответствующие направлению вектора перемещений

Aliy = Aui при у = у0.

На рис. 9.10 показаны объемлющий годограф АВСА и фиктив­ ная поверхность текучести, построенная для точек контакта диска

на границе полуплоскости (yd = 0), где напряжения о$ достигают наибольшего значения, а касательные хху = 0. Решению уравне­ ния (9.18) соответствует таксе значение давления р, при котором фиктивная поверхность текучести касательна к прямой оу = 0. При этом выполняются одновременно условие (9.18) при Даб ф 0 и ассоциированный закон течения, допускающий деформацию Агу, при которой реализуется разрыв смещений Аи'ц.

228

Если принять, что пластическое течение в каждой точке полу­ плоскости происходит лишь при каком-либо одном положении диска, то из определения (1.44) при критерии текучести Мизеса получим следующие выражения для напряжений на фиктивной поверхности текучести (в точке А, соответствующей точке В дей­ ствительной поверхности текучести — см. рис. 9.10):

(9.19)

Именно в этот момент (х = 0) напряжения ау достигают макси­ мума (по абсолютной величине), это имеет место' в точках на гра­ нице полуплоскости (уо = 0), расположенных в вертикальной плоскости, содержащей ось диска. Учитывая, что здесь ву = = —р о, из уравнения (9.18) и выражения (9.19) найдем, что

(9.20)

Этому максимальному давлению отвечает начало прогрессирую­ щего сжатия верхнего слоя на границе полуплоскости (р0 = 0). При увеличении давления более р 0 толщина перемещаемого слоя увеличивается. Для сравнения заметим, что пластическая дефор­

разом, накопление односторонней деформации вследствие смя­ тия поверхностного слоя при обкатывании начнется раньше, чем знакопеременное течение.

1

Рис. 9 .10

229

Г л а в а 10

Стабилизированные циклы напряжений при неупругом деформировании

При ограниченном сроке службы отдельные элементы наиболее нагруженных конструкций могут работать за пределами приспособ­ ляемости, испытывая циклическую пластическую деформацию. В этих условиях для определения долговечности прежде всего должен быть установлен характер ожидаемой деформации (знако­ переменное пластическое течение, накопление односторонней де­ формации, их сочетание), поскольку он предопределяет тип раз­ рушения (малоцикловая или термическая усталость, квазистатическое разрушение, нарушение работоспособности вследствие чрезмерных перемещений). Далее необходимо найти параметры, определяющие долговечность — размахи и приращения дефор­ мации, накапливаемые перемещения. В принципе эти задачи ре­ шаются путем расчетного исследования кинетики циклического деформирования в соответствии с заданной историей нагружения, однако объемы необходимых вычислений при числе циклов, до­ статочном для экстраполяции результатов на всю долговечность, оказываются весьма значительными. Стремление по возможности адекватно отразить свойства материала на основе соответствую­ щих моделей среды {см. например, [51]} может ограничиваться большой трудоемкостью расчета реальных конструкций.

Из опыта расчетов простейших конструктивных элементов известно, что в процессе стационарного повторного нагружения цикл напряжений постепенно стабилизируется (если материал циклически стабильный). Процесс стабилизации, носящий в об­ щем случае асимптотический характер, обнаруживается при рас­ четах кинетики деформирования конструкций. Он был проил­ люстрирован в книге [7] на примерах одно- и двухпараметриче­ ской стержневых систем из идеального упругопластического ма­ териала. В наиболее простых случаях, используя метод догрузки («предельных эпюр»), удается находить асимптотические решения непосредственно, не рассматривая всю историю деформирования. Таким путем может быть, в частности, проведено «разграничение» области неприспособляемости в соответствии с характером ожидае­ мой циклической деформации (см. § 34). При большом числе цик­ лов работы конструкции повреждения и деформации, накоплен­ ные на первых этапах нагружения, в процессе стабилизации, ста-

231