книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

гаются непрерывными по совокупности_перемениых х , и, р, р и непрерывно дифференцируемыми по х, _р, р.

Каждой определенной вектор-функции и в комбинации с век­

тором р при заданных краевых условиях соответствует единствен­ ное решение системы уравнений (3.4) — фазовая траектория.

Задача состоит в том, чтобы выбрать такие функции и и значе­ ния параметров р (называемые оптимальными управлениями), которые доставляют минимум (или максимум) некоторому кри­ терию оптимальности поведения объекта, записываемому в виде

Получающееся при этом решение системы (3.4) — оптимальная траектория — должно удовлетворять заданным краевым условиям

В общем случае математическая теория оптимальных процес­ сов позволяет установить необходимые условия оптимальности. Если удовлетворяющее этим условиям решение оказывается един­ ственным, то необходимые условия становятся одновременно и достаточными.

Предположим, что оптимальная траектория найдена и может быть разбита на конечное число участков, каждый из которых либо целиком лежит на гладком куске границы области X , либо при­ надлежит (за исключением, быть может, своих концов) открытому ядру этой области. Необходимые условия оптимальности для участков траектории, принадлежащих открытому ядру области X, дает следующая теорема.

Пусть и (р) — допустимое управление, переводящее (при за­ данном значении р) фазовую точку из положения х° в положе­ ние х1, а х (р) — соответствующая фазовая траектория. Чтобы

и (р) и р давали решение поставленной задачи, необходимо су­ ществование такой ненулевой непрерывной вектор-функции

Ф (р) = (Фо (р), Ф1 (р), •••, Фп (Р))> которая удовлетворяет следую­ щим требованиям:

дН

а) — , t = 0, 1. . . . , /I, (3.8) dXi

где

б) для всех значений р0 « р < рх функция_ Н (ф (р), х (р), и, р, р) переменного и £ U достигает в точке и — и (р) макси-

62

мума (или соответственно минимума) при любых фиксированных функциях ф (р) н х (р):

принадлежит открытому ядру области X .

Для участков оптимальной траектории, лежащих на границе области X , необходимые условия оптимальности сформулированы в монографии [31 ]. Здесь они не приводятся ради краткости из­ ложения, поскольку в рассматриваемых примерах вся оптималь­ ная траектория в интервале (р0, рх) принадлежит открытому ядру области X.

В некоторых задачах краевое условие (3.7) не задается, оно определяется из решения _(задача с незакрепленным правым

концом траектории). Пусть х (рх) принадлежит при этом замкну­

Соответствующая формулировка задачи оптимального управ­ ления для случая, когда целевая функция (критерий оптималь­

краевые условия для сопряженной системы (3.8). Различаются случаи, когда:

а) конец фазовой траектории принадлежит открытому ядру

63

г д е ^ > 0 и [ х > 0 — неотрицательные числа, не обращающиеся в нуль одновременно. Без ограничения общности можно положить К = 1, если К > О, или р = 1, если р > 0. Таким образом, за ­ дача расчета оптимального управления, включающая 2п диффе­ ренциальных уравнений (3.4) и (3.8), имеет столько же граничных условий.

Приведенная формулировка задачи оптимального управления (оба рассмотренных варианта) включает единственную независи­ мую переменную р, что позволяет использовать ее лишь при ре­ шении одномерных задач теории предельного равновесия и прис­ пособляемости, когда условия (3.1) формулируются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Более общие фор­ мулировки даны в монографии [3].

Примеры определения условий прогрессирующего разруше­ ния пластинок и оболочек с использованием обоих вариантов формулировки принципа максимума будут даны в гл. 6 и 7. Наиболее простые примеры были рассмотрены в работах [7, 58].

§ 13. Применение методов математического программирования к определению условий прогрессирующего формоизменения

Решение задачи предельного анализа с помощью принципа максимума Понтрягина базируется на непосредственном исполь­ зовании дифференциальных уравнений равновесия и непрерыв­ ных по координатам ограничений на напряжения. Разнообразие условий равновесия и форм фиктивных поверхностей текучести в прикладных задачах создает определенные трудности при по­ пытке разработать универсальное математическое обеспечение (программы для ЭВМ) на основе этого метода. Упростить решение задачи в ряде случаев можно, заменяя дифференциальные урав­ нения (3.1) системой алгебраических уравнений и относя ограни­ чения (3.2) лишь к конечному числу точек тела. Получаемая при этом дискретная система ограничений совместно с целевой функ­ цией (3.3) образует задачу математического программирования.

Рассмотрим технику применения аппарата линейного програм­ мирования в задачах приспособляемости. Общая формулировка задачи линейного программирования приведена ниже [21 ].

Требуется найти максимум (или минимум*) линейной функ­ ции переменных */ (/ = 1 , 2 , . . . , п)

* Задача минимизации сводится к задаче максимизации с помощью очевид­ ного равенства min z = —max (—z).

64

связанных между собой зависимостями в виде неравенств

Уравнения (3.20) могут быть решены относительно каких-либо (k—tri) переменных, что позволяет исключить последние из рас­ смотрения. Поэтому без ограничения общности можно считать, что система условий задачи состоит только из неравенств типа (3.19). Отметим, что исключение уравнений из системы ограниче­ ний задачи может осуществляться либо при постановке задачи, либо (если это оказывается удобнее) как самостоятельный перво­ начальный этап решения задачи линейного программирования

[21] .

Переменные, на знаки которых не наложены никакие ограни­ чения, называются свободными, а если такие ограничения нало­ жены (xj > 0 ) , — несвободными.

Условия (3.19) и линейная форма (3.18) представлены в виде табл. 3.1.

Задачу линейного программирования можно интерпретиро­ вать геометрически. В многомерном евклидовом пространстве с координатами Xj ограничения (3.19) определяют некоторый выпуклый многогранник Q. Значение целевой функции (3.18) в некоторой точке можно рассматривать как уклонение этой точки

Таким образом, геометрический смысл задачи программиро­ вания заключается в отыскании такой точки в многограннике Q,

которая в наибольшей (или в наименьшей) степени уклонена от гиперплоскости (3.21). Ясно, что эта точка совпадает с одной из его вершин.

Наибольшее распространение для решения задач линейного программирования в настоящее время получил симплекс-метод. Он состоит из алгоритма отыскания какого-либо опорного реше­ ния системы линейных ограничений (3.19), отвечающего некоторой вершине многогранника Q (или из установления факта несов­ местности системы), и алгоритма последовательного перехода от данного опорного решения к новому опорному решению, для ко­ торого целевая функция (3.18) имеет не меньшее (или не большее в зависимости от постановки задачи) значение, вплоть до полу­ чения оптимального решения.

Следуя [21 ], приведем (без обоснования и подробного обсуж­ дения) некоторые основные правила решения задачи с помощью симплекс-метода, базирующиеся на использовании модифицирован­ ных жордановых исключений (эти правила достаточны для ре­ шения рассматриваемых ниже несложных примеров).

Модифицированные жордановы исключения с разрешающим элементом ars переводят табл. 3.1 [в новую табл. 3.2. Один шаг модифицированного жорданова исключения делается следующим образом:

разрешающий элемент заменяется единицей; остальные (кроме разрешающего) элементы разрешающей строки

66

«обыкновенные» элементы (i =/= г, j =f= s) и свободные члены новой таблицы вычисляются по формулам

все элементы новой таблицы делятся на ars.

Прежде чем искать опорное решение, производится исключе­ ние свободных переменных из верхней строки табл. 3.1. Пусть, например, переменные Xj (/ = 1, ..., п) являются свободными. Тогда с помощью последовательных шагов модифицированных жордановых исключений все свободные переменные xf из верхней строки табл. 3.1 переносятся в ее левый столбец, а на их место переносятся соответствующие yt. Выражения для замененных х1 понадобятся лишь после завершения решения, чтобы выразить результат в старых координатах. Поэтому в табл. 3.2 соответ­ ствующие строки не приводятся.

Отыскание опорного решения производится следующим об­ разом. Если все свободные члены в табл. 3.2 неотрицательны, то

то выполняется ряд шагов модифицированных жордановых исклю­ чений до тех пор, пока все свободные члены не станут неотрица­ тельными.

Разрешающий элемент при выполнении очередного шага моди­ фицированного жорданова исключения выбирается по приведен­

вается в качестве разрешающего.

3. Разрешающая строка выбирается так: вычисляются все неотрицательные отношения b jb is > 0 свободных членов к со­ ответствующим отличным от нуля коэффициентам разрешающего столбца и среди них выбирается наименьшее (которому отвечает i = i0). Строка i 0 берется в качестве разрешающей, так что bioS — разрешающий элемент.

элемент bioS берется в качестве разрешающего лишь при b(oS > 0. После конечного числа шагов модифицированных жордано­ вых исключений либо устанавливается несовместность системы (3.19), либо получается таблица (по форме не отличающаяся от табл. 3.2), не содержащая отрицательных свободных членов,

и находится опорное решение системы после приравнивания нулю всех yh оказавшихся в верхней строке таблицы.

Оптимальное решение задачи линейного программирования отыскивается следующим образом.

Если все коэффициенты 2-строки^неотрицательны, то задача

Если среди коэффициентов г-строки есть отрицательные (например, qs < 0), то делается один шаг модифицированного жорданова исключения. Правила выбора разрешающего элемента при­ ведены ниже.

1. В качестве разрешающего берется столбец, содержащий отрицательный элемент 2-строки (s-й столбец).

2. Отбираются все положительные коэффициенты этого столбца (если такие имеются) и на них делятся соответствующие свободные члены. Из полученных отношений выбирается наименьшее. Пусть оно достигается при i = i0. Тогда строка i 0 берется в качестве разрешающей (разрешающий элемент bioS).

Если после указанного шага модифицированных жордановых исключений в 2-строке все коэффициенты оказываются неотрица­ тельными, то задача решена [см. (3.24) J. Если же в 2-строке пре­ образованной таблицы имеются отрицательные свободные члены, то делается следующий шаг модифицированных жордановых ис­ ключений, и т. д. до получения решения (3.24). Если в столбце, содержащем отрицательный элемент 2-строки, нет положитель­ ных коэффициентов, то целевая функция г не ограничена сверху.

Отметим, что оптимальное решение задачи отвечает такому наименьшему (или наибольшему) значению целевой функции (в задачах предельного анализа—параметра нагрузки), при ко­ тором система ограничений становится несовместной. Это пол­ ностью соответствует второму утверждению статической теоремы теории приспособляемости (или аналогичному утверждению кине­ матической теоремы), согласно которому в данных условиях прис­ пособляемость конструкции (или соответственно неприспособляемость) невозможна.

Решение задачи позволяет установить, какие именно ограни­ чения при соответствующих условиях стали невыполнимы, т. е. применительно к задачам приспособляемости — какой именно тип циклической пластической деформации (знакопеременное те­

чение или прогрессирующее разрушение) реализуется в предель­ ном цикле.

68

§ 14. Простейшие примеры решения задач приспособляемости в статической формулировке с помощью симплекс-метода

Рассмотренные здесь простые примеры иллюстрируют основ­ ные особенности применения симплекс-метода. Для этого при­ водятся результаты промежуточных вычислений, позволяющие проследить ход расчета от начала и до конца. Более сложные примеры расчета пластинок и оболочек, в которых вычисления реализуются на ЭВМ, даны в гл. 6 и 7.

Пример 1. В качестве наиболее простого примера рассмотрим расчет двух­ параметрической стержневой системы, изображенной на рис. 3.1 {7]. Система подвергается циклическому воздействию силы Р = Р (т) и температуры (нагрев и охлаждение элемента 1). Нагрузка и температура могут изменяться произ­ вольно и независимо друг от друга в некоторых интервалах, которые образуют прямоугольную область на плоскости Р, t (рис. 3.2). Балки считаются абсолютно

не зависят от температуры. Тогда ограничения-неравенства типа (1.43) прини­

69

Подставляя в неравенство (3.28) выражения (3.25) и вычисляя максимумы с уче­ том (3.26), (3.27), получим

при заданной величине q*. Чтобы проиллюстрировать решение задачи линей­ ного программирования (3.29)—(3.21) симплекс-методом, необходимо принять какие-либо конкретные соотношения для предельных усилий Y£ и для коэффи:

циентов жесткости с£ — ( - П стержней. Предположим, что

ний, состоящую только из неравенств. Она представлена в виде табл. 3.3, со­

ставленной по правилам, изложенным выше. Неизвестные усилия Л/?, а также искомый параметр нагрузки р вынесены в верхнюю строку таблицы в качестве множителей, взятых с обратным знаком соответственно неравенствам (3.19). В качестве свободных членов согласно системе ограничений, преобразованной из (3.30), рассматриваются члены, содержащие усилие текучести К, а также за­ данный параметр теплового воздействия q (звездочки для простоты опущены в таблицах).

Расчет иллюстрируется табл. 3.4—3.7. Табл. 3.4 и 3.5 соответствуют двум шагам модифицированных жордановых исключений, в результате которых свобод­ ные переменные N\ и N% [величина р* неотрицательная по условию (3.26) ] переносятся из верхней строки в левый столбец. Разрешающие элементы в каж­ дой таблице обведены кружком. При каждом шаге модифицированного жорданова исключения элементы таблицы определяются соответственно правилам, изложенным в § 13, в частности, с использованием формул (3.22). Приведем,

условий найдено. Следующий шаг модифицированного жорданова исключения,

70

71