книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

ных напряжений a ty = a/7 (тензор симметричен относительно главной диагонали).

Сокращенная система тензорных обозначений характеризу­ ется прежде всего применением особой формы записи операции суммирования. Введенное А. Эйнштейном правило гласит, .что если буквенные индексы встречаются в каком-либо члене дважды, то этот член нужно рассматривать как сокращенную запись суммы, состоящей из слагаемых, которые получаются из указанного од­ ночлена после того, как буквенные индексы -последовательно принимают значения 1, 2, 3.

Например, известные статические условия на поверхности тела

Р* = вх1 + v m + т2Дл

(здесь приведено только одно из трех выражений) в краткой форме записываются в виде одного соотношения

Индекс i, изменение которого отвечает переходу к следующему уравнению, называется свободным.

В некоторых случаях удобно ввести особый единичный тензор dif (иногда называемый символом или функцией Кроиекера), который определяется следующим образом:

6/;- = 1 при i = /, 6/у = 0 при i --j--- j.

Его использование позволяет, например, записать компоненты

ствующим индексом (например, f j = dfldxi). В частности, три диф­ ференциальных уравнения равновесия, первое из которых в обыч­ ной форме записи имеет вид

Дифференцирование по повторяющемуся индексу j одновре­ менно означает и суммирование производных.

12

Компоненты тензора деформации вводятся с помощью соот­ ношений

ческой области тензор деформаций 8/у- можно разложить на упру­

гие е-;- и пластические г[} компоненты.

Первые из них связаны с напряжениями обобщенным законом

симметричный относительно каждого из индексов it j и /1, k и их попарных сочетаний, т. е. такой, что Aijhk = Ajihk = Aijkh — = Ahikij.

Пластические деформации в теле могут изменяться лишь в те периоды, когда компоненты напряженного состояния удовлетво­

где /г — пластическая постоянная.

Для представления условия пластичности обычно используются графические образы. Например, его можно интерпретировать как уравнение поверхности в девятимерном пространстве напряжений Gij. В этом пространстве тензор напряжений будет изображаться вектором, начало которого совпадает с началом координат, а ко­ нец находится в точке напряжений, координаты которой отвечают известным компонентам напряжений в рассматриваемом элемен­ тарном объеме.

Представление тензора в виде вектора, будучи наглядным, имеет ограниченное значение, поскольку тому же тензору, отнесен­ ному к другой системе координат, будет соответствовать другой вектор, но той же длины (длина вектора — его единственный ин­ вариант — отвечает второму инварианту тензора). Однако для про­ стейших операций над тензорами, используемых обычно в теории пластичности, можно установить соответствие с операциями пред­ ставляющих их векторов. В частности, это относится к операциям умножения тензора на скаляр, сложения тензоров, образованию свертки двух тензоров (которой отвечает скалярное произве­ дение векторов в девятимерном пространстве).

Термин «поверхность текучести» обобщает понятие предела те­ кучести (при простом растяжении) на произвольное напряженное состояние. Для идеального упругопластического материала, ха­ рактеризуемого диаграммой деформирования (рис. 1,1), поверх-

13

ность текучести в процессе деформи­ рования сохраняется неизменной. Конец вектора напряжений может находиться внутри поверхности текучести (в упругой области), и в этом случае скорости пластической деформации равны нулю, или на по­ верхности текучести — тогда ско­ рости пластической деформации моiyr отличаться от нуля. Выйти за пределы поверхности текучести при идеальной пластичности он не может.

Напряженное состояние, при котором точка напряжений нахо­ дится внутри поверхности текучести, принято называть безопас­

ным (а-^), а состояние, соответствующее любому возможному по­ ложению точки, включая поверхность текучести, — допусти­

мым (о\f).

В связи с этим уравнение поверхности текучести часто бывает удобно использовать не в форме (1.6), а в виде

Различие между безопасным и допустимым напряженными со­ стояниями учитывается при доказательстве теорем, но в практи­ ческом отношении оно несущественно, поскольку соответствует любому малому (но конечному) изменению предела текучести. Это обстоятельство будет использоваться в дальнейшем при фор­ мулировке основных задач теории приспособляемости.

Поверхность текучести выпукла. Напомним, что примени­ тельно к трехмерному евклидову пространству выпуклая поверх­ ность определяется тем, что каждое плоское сечение ее есть выпук­ лая кривая, т. е. такая кривая, которая может пересекаться пря­ мой линией только в двух точках. Представление о выпуклой по­ верхности в девятимерном пространстве аналогично.

Положение о выпуклости поверхности текучести имеет исклю­ чительно важное значение в теории пластичности. Оно обосновыва­ лось различными способами. Наиболее современный подход бази­ руется на фундаментальном постулате устойчивости Друккера, иногда называемом квазитермодинамическим постулатом. Приме­ нительно к элементу упругопластической среды постулат форму­ лируется следующим образом [26,78]. Пусть к элементу, находя­ щемуся в некотором исходном напряженном состоянии, внешним воздействием, отличным от воздействия, породившего исходные напряжения, медленно прикладываются и затем с него медленно снимаются дополнительные напряжения (имеется в виду квазистатический изотермический процесс нагружения). Постулат ут-

14

верждает, что в течение приложения дополнительных напряжений и в цикле приложения — снятия этих напряжений работа, совер­ шаемая внешним воздействием, неотрицательна. Иными словами, полезная энергия не может быть выделена из элемента и из си­ стемы исходных напряжений.

где Оц — напряженное состояние на поверхности текучести, ко­

торому соответствуют скорости пластической деформации Выпуклость поверхности текучести следует из нестрогого не­

равенства (1.10).

Различают регулярные (гладкие) и сингулярные (имеющие ребра или угловые точки) поверхности текучести. Применительно к регулярным поверхностям (или регулярным участкам поверх­ ности) приведенный постулат приводит также к следующему утвер­ ждению. Если представить скорости пластической деформации в девятимерном пространстве напряжений, откладывая их по со­ ответствующим осям, то тензор скоростей пластической деформа­ ции (изображаемый вектором в девятимер ном'пространстве) имеет направление внешней нормали к поверхности текучести в той точке, где он ее пересекает. В угловых (сингулярных) точках поверхности текучести, образованных пересечением гладких (ре­ гулярных) поверхностей, направление вектора скорости пласти­ ческой деформации лежит между соответствующими нормалями, проведенными к каждой из пересекающихся поверхностей.

Данное утверждение называют ассоциированным законом течения, оно связывает режим течения в точке тела (соотноше­ ние между компонентами скоростей пластической деформации) с положением точки напряжений на поверхности текучести и урав­ нением самой поверхности (1.7). Ассоциированный с условием те­ кучести закон течения определяет (с точностью до некоторых мно­ жителей Ха, одинаковых для всех компонентов) скорости пласти­ ческой деформации:

(напряжения находятся внутри поверхности текучести, либо на этой поверхности, но в последнем случае имеет место разгрузка);

Ха > 0, если fa = о И fa = 0; fa — функции текучести (а = 1, 2 ,...) , с помощью которых описывается сингулярная поверхность.

15

При регулярной поверхности текучести а = 1 и ассоциированный закон течения принимает форму

(U 2 )

Важно заметить, что никаких заключений относительно пол­ ных пластических деформаций нельзя отсюда сделать, если не­ известна вся история деформирования элемента.

Наиболее распространенными и проверенными эксперимен­ тально являются следующие условия текучести:

Критерием текучести во втором условии (Треска — Сен-Ве- нана) является максимальное касательное напряжение. Другой формой записи условия (1.14), если принять, что сгх, o>2i аз — главные^напряжения при фиксированных главных осях x lt х 2, х3 (т. е. обозначения главных напряжений не связаны с их алгебраи­ ческой величиной), будет

maxdaj— a2|, |as— a3|, |a3— a1|) = 2fe (k = as/2). (1.16)

Из последнего более отчетливо виден сингулярный характер условия пластичности (1.14) в отличие от регулярного (1.13).

Экспериментальные исследования показывают, что для мно­ гих материалов условие пластичности Мизеса несколько лучше согласуется с опытными данными, чем условие пластичности Треска. Правда, соотношение изменяется в пользу второго условия у ма­ териалов с ярко выраженным пределом текучести, т. е. более близ­ ких к модели идеальиопластического тела. Вообще же различие между обоими критериями невелико (не превышает 16%, а?при соответствующем выборе значения предела текучести =±8%). Поэтому использование того или иного критерия текучести обычно определяется удобствами решения задач определенного класса. В приложении к теории идеальной пластичности преимущество обычно отдается условию Треска [29], поскольку оперировать ку­ сочно-линейными функциями часто бывает проще, чем нелиней­ ными.

16

При пластическом деформировании происходит рассеяние энергии. Скорость диссипации энергии в единице объема (или мощ­ ность рассеяния) определяется выражением

щее в-у согласно ассоциированному закону течения. Поскольку напряжения в точках идеальиопластической среды

не могут превзойти предела текучести, внешние нагрузки, которые тело может воспринять в условиях равновесия, ограничиваются некоторыми предельными значениями. Приложение предельных нагрузок приводит к так называемому пластическому («мгновен­ ному» или, вернее, кратковременному) разрушению тела, под ко­ торым понимается возможность неограниченного роста деформа­ ции при постоянной нагрузке.

Следует'иметь в виду, что фактически здесь идет речь о началь­ ной стадии" разрушения, поскольку изменения в геометрии, свя­ занные с ростом пластической деформации, не учитываются в урав­ нениях равновесия. Такая концепция пластического разрушения характерна для предельного анализа, она подразумевается и в теории приспособляемости.

Распределение скоростей (или приращений) деформации, удо­ влетворяющее условиям совместности (1.4)^и"кинематическим кра­ евым условиям, называют кинематически возможным. Когда име­ ется в виду распределение пластических скоростей (приращений) в условиях разрушения Л"используется термин кинематически возможный механизм разрушения, или механизм разрушения.

При обосновании фундаментальных теорем теорий предельного равновесия и приспособляемости широко используется уравнение виртуальных работ

(1.18)

которое в сущности является обобщающим условием~равновесия.

Здесь и далее, если не оговаривается, предполагается, что объем­ ные интегралы распространены по всему объему тела, а поверх­ ностные по всей его поверхности. к#'

Уравнение (1.18) остается справедливым, если поле перемеще­ ний и отвечающее ему'^распределение деформаций заменить соот­

ветственно скоростями ut и скоростями деформаций е,-у. Из (1.18) следует, что работа самоуравновешенной системы напряжений на кинематически возможном распределении деформаций (или ско­ ростей деформаций) равна нулю.

17

§ 2. Статическая теорема о приспособляемости. Обобщение на случай тепловых воздействий. Дальнейшее развитие статической теоремы

Статические методы анализа условий приспособляемости при повторных нагружениях опираются на соответствующую первую или статическую теорему, установленную Меланом для трехмер­ ной среды в 1938 г. 1261. Эта теорема включает следующие утвер­ ждения.

1. Конструкция приспособится к повторным нагружениям, т. е. ее поведение после некоторого числа первых циклов станет чисто упругим, если можно найти такое не зависящее от времени

распределение остаточных напряжений р,-у, что их сумма с «упру­

при всевозможных комбинациях нагрузок, лежащих в установлен­ ных пределах.

Сущность этого утверждения состоит в том, что если приспосо­ бляемость при повторных нагружениях заданными силами (или другими воздействиями) вообще возможна, то она обязательно будет иметь место. 3fo явится результатом пластического дефор­ мирования при первых циклах и возникновения некоторого в даль­ нейшем не изменяющегося (но зависящего от действительной про­ граммы нагружения) распределения собственных (остаточных) напряжений.

2. С другой стороны, приспособляемость невозможна, если ие существует никакого не зависящего от времени распределения остаточных напряжений, отличающихся тем, что при всех возмож­ ных комбинациях нагрузок сумма остаточных и «упругих» напря­ жений является в каждой точке тела допустимым напряженным со­ стоянием (т. е. напряженным состоянием внутри или на поверх­ ности текучести).

Справедливость второго утверждения теоремы является вполне очевидной. Что касается" первого утверждения, то оно требует формального доказательства. Приводимое ниже обоснование яв­ ляется основным и весьма типичным для теории приспособля­ емости.

Рассмотрим существенно положительную энергию упругой

18

стигающие поверхности текучести в моменты времени, когда ско­ рости пластической деформации в соответствующих точках тела

отличны от нуля; pt/- — не зависящие от времени остаточные на­ пряжения, обеспечивающие выполнение условия приспособля­ емости (1.19) при данном цикле нагружения; А1^ — = = Ацкк — Ahkij — тензор упругих коэффициентов.

Производная энергии А по времени

где &ijr (т) = AijhkPij — скорость упругой деформации, соответ­ ствующая изменению остаточных напряжений в результате пла­ стического деформирования. Учитывая, что распределение сум­ марных скоростей остаточной деформации, включающих упругую

b'ijr и пластическую е'',- составляющие

является кинематически возможным (т. е. удовлетворяет условиям сплошности), на основании принципа виртуальных работ (1.18) запишем

На основании условия (1.9) подынтегральное выражение в (1.25) существенно положительно, если aif — напряжение на поверхности текучести. Отсюда следует, что производная (1.25) отрицательна в те моменты времени, когда в действительной программе нагружения в каких-либо точках тела возникают от­ личные от нуля скорости пластической деформации (в другие моменты времени она равна нулю). Поскольку энергия упругой деформации не может быть отрицательной, пластическое течение при повторных нагружениях не должно происходить беспредельно, т. е. общая деформация конструкции должна быть ограниченной. Прекращение течения и будет означать приспособляемость.

Сформулированная выше статическая теорема о приспособля­ емости конструкции при повторных нагружениях может быть применена для определения параметров предельного цикла, от­ вечающего границе между приспособляемостью и непрекращающейся циклической пластической деформацией. Искомыми пара­ метрами в зависимости от цели расчета могут быть множители, определяющие границы изменения какой-либо составляющей на­ грузок (если остальные составляющие заданы), либо величины,

19

характеризующие механические свойства материала (например, предел текучести).

При непосредственном использовании в доказательстве теоремы представления о кинематически возможном распределении сум­ марных остаточных деформаций и их скоростей (1.23) причины возникновения действительных напряжений не играют роли. Пос­ ледние в равной степени могут быть вызваны внешними (механи­ ческими) нагрузками или температурным полем, либо тем и дру­ гим одновременно (как, впрочем, и другими возможными видами воздействий). Таким образом, обобщение теоремы на случай тем­ пературных циклов становится вполне очевидным и не требует отдельного обоснования.

В доказательстве теоремы не было сделано никаких допущений по поводу регулярности предела (поверхности) текучести. Это оз­ начает, что в задачах приспособляемости могут использоваться и сингулярные (состоящие из нескольких гладких поверхностей, образующих ребра при пересечении) поверхности текучести, в частности, поверхность, отвечающая условию пластичности (1.14). Обоснование теоремы не требует также постоянства упругих и пластических характеристик в объеме тела, следовательно, тео­ рема остается справедливой для неоднородного материала.

В связи с определением условий приспособляемости при цикли­ ческих воздействиях на конструкцию тепловых потоков возникает вопрос об учете температурного изменения физико-механических характеристик материала. Это в особенности относится к пределу текучести, поскольку пренебрежение влиянием на него темпера­ туры привело бы к ошибкам, как правило, идущим не в запас прочности. В определенном диапазоне температур становится существенной также длительность воздействия нагрузок.

Нетрудно заметить, что приведенное доказательство статиче­ ской теоремы остается справедливым, если неравенство (1.9) со­ храняет силу в каждый момент времени при соответствующей тем­ пературе (и длительности действия нагрузки). Это отвечало бы предположению о чисто параметрическом (т. е. пропорциональном) изменении поверхности текучести при сохранении ею выпуклости и нормальности к ней векторов скорости неупругой деформации. Тогда учет влияния температурной зависимости предела текуче­ сти сводится к тому, что напряжения на поверхности текучести а/у-

и безопасные напряженные состояния o\f должны определяться по фактическим температурам в точках конструкции в соответ­ ствующие моменты времени.

Температура оказывает влияние и на упругие характеристики материала. Включение соответствующей зависимости в теорию приспособляемости требует изменения формулировки и доказатель­ ства статической теоремы в связи с тем, что неизменяющейся пла­ стической деформации уже не будут соответствовать постоянные остаточные напряжения. Этот вопрос был рассмотрен Кенн-

20

гом [83], который предложил и обосновал следующую новую фор­ мулировку.

Конструкция приспособится, если можно найти такое не за­ висящее от времени распределение пластической деформации е^-, при котором суммарная деформация (включающая пластическую,

тепловую 8 $ и упругую составляющие) удовлетворяет условиям совместности (1.4) в любой момент времени, т. е.

£/•/ -[- ~|~ AijhkGltUx = ~2“ (М|,/ -f- Ujt,), (1.26)

а входящие в соотношение напряжения а 1/т, уравновешенные со­ гласно (1.1), (1.3) внешними нагрузками, являются безопасными.

На основании выполненных примеров расчета в работе [83] делается вывод об относительно слабом влиянии на условия при­ способляемости переменности упругих характеристик материала в течение цикла в реальных (для конструкций из соответствую­ щих материалов) диапазонах температур.

Возможность распространения теории приспособляемости и, в частности, ее статической теоремы на условия повторных дина­ мических воздействий изучалась в работах [4, 57 ], при этом про­ цесс нагружения полагался изотермическим (выделение тепла при многократном циклическом деформировании не принималось во внимание). В работе Черадини [57] достаточное условие приспосо­ бляемости формулируется следующим образом. Конструкция, подверженная динамическим воздействиям, приспособится, если среди всех систем начальных условий задачи (которые включают в себя состояние самонапряжения, а также распределение началь­ ных смещений и скоростей) имеется по крайней мере одна система, которой отвечает упругое поведение тела в каждый момент дина­ мического процесса, порождаемого этой системой начальных условий.

Доказательство данного утверждения строится аналогично приведенному выше доказательству теоремы Мелана, но, есте­ ственно, является более общим и может рассматриваться как подтверждение большей универсальности свойства приспособля­ емости при повторных воздействиях на систему, чем это следует из теоремы Мелана. Однако, как справедливо отмечается в работе Гавариии [4], возможность приспособляемости при динамической периодически изменяющейся нагрузке фактически определяется только вынужденными колебаниями, амплитуда которых не зави­ сит от начальных условий движения. Свободные колебания исчез­ нут иа первой стадии вследствие пластической деформации или

(и)вязкого сопротивления. В связи с этим динамическая задача

оприспособляемости практически сводится к (эквивалентной)

статической.

В подавляющем большинстве известных публикаций задача о приспособляемости рассматривается в детерминированной по­ становке, хотя уже Хорн связывал вероятность прогрессирующего

21