книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

Выделяя из правой части преобразованного неравенства кине­ матической теоремы (1.69) интеграл по толщине и подставляя в него соотношение (2.5), получим

ft

Поскольку между напряжениями ст;у-* на фиктивной поверх­ ности текучести и приращениями суммарных (за цикл) пластиче­ ских деформаций Дб^у существует зависимость (1.57) (мы ограничи­ ваемся здесь соответствующими условиями), вполне аналогичная

закону (1.11), для определения усилий Map*, Л^р* полностью применима описанная процедура, принятая в теории предельного равновесия.

Сходство соотношений (2.2) и (2.6) является, однако, чисто формальным. Особенностью предельных значений постоянных

усилий Мар*, #ар* в задачах приспособляемости является то, что им соответствует (в общем случае) неодновременное пластиче­ ское течение по толщине, поскольку предельные значения по­

стоянных напряжений а«р* в различных точках нормали к средин­ ной поверхности находятся в зависимости от распределения (в об­ щем случае неизохронного) определяющих переменных напряже­ ний.

Построение конечного соотношения для постоянных составляю­

щих усилий Мар*, А^ар* обычно оказывается более трудоемким, чем в соответствующих задачах предельного равновесия, ввиду того, что фиктивная поверхность текучести изменяет свои раз­ меры и может даже изменять форму в зависимости от коорди­ наты точки по нормали. Как было показано в § 5, при увеличении амплитуды переменных напряжений (зависящей от координаты точки при изгибе) число граней фиктивной поверхности текучести может уменьшиться (например, шестиугольник сменяется че­ тырехугольником) .

§ 8. Фиктивные поверхности взаимодействия бруса при циклически изменяющихся нормальных напряжениях

В качестве иллюстрации предложенного метода рассмотрим определение области допустимых значений постоянных состав­ ляющих усилий

42

о 6 ? о

А е < 0

Рис. 2.2

на простейшем примере бруса при действии заданных с точностью до некоторого параметра переменных нормальных напряжений. Для простоты положим, что сечение бруса — прямоугольник высотой 2h (рис. 2.2) и шириной, равной единице; предел теку­ чести os — постоянный.

На рис. 2.2 (а—д) показаны различные возможные распреде­

ления «упругих» напряжений от переменных составляющих внешних воздействий в сечении бруса. В течение цикла напряже­ ния могут принимать любые значения в заштрихованной области соответствующей эпюры. Случай а отвечает действию одних только постоянных (или монотонно возрастающих) нагрузок.

Соответствующие области допустимых значений постоянных

нормальных напряжений а°, определенные с помощью уравне­ ний (1.44), показаны на рис. 2.2 (е—к). Если переменные состав­

остальных случаях область допустимых значений соответственно уменьшается. Стрелками на рис. 2.2, е—к показаны направления вектора приращения продольной пластической деформации, со­ ответствующие верхней и нижней границам допустимых значе­ ний постоянных напряжений. Поскольку направление пластиче­

ского течения определяется суммарными напряжениями + + а?, то положительному приращению деформации могут иногда

отвечать отрицательные постоянные напряжения Распределение приращений за цикл пластических деформа­

ций Де по высоте сечения (в соответствии с гипотезой плоских сечений) в случае прогрессирующего разрушения должно быть

43

причем деформация Ае в общем случае реализуется в разных точ­

по высоте сечения в зависимости от отношения величин Ах и Ае. Для определенности рассмотрим случай, когда переменные со­ ставляющие напряжений в сечении бруса заданы выражениями (см. рис. 2.2, б)

Границы области допустимых значений постоянных напряже­ ний определяются соответственно (см. рис. 2.2, ж)

a j = — os при Д е < 0 ;

(2. 12)

o£ = as (l — tm) при А е > 0.

Распределение нормальных напряжений по сечению бруса должно быть уравновешено нормальной силой и изгибающим моментом. Задача заключается в том, чтобы найти зависимость между этими характеристиками, отвечающую таким возможным распределениям не изменяющихся во времени напряжений (2.12), которые, суммируясь с переменными напряжениями (2.11), об­ разуют предельный цикл.

ния имеет один знак. Это означает, что изгибающий момент от­ сутствует (М = 0). Следовательно, достаточно рассмотреть ин­ тервал

(sign а = -j-^y — знак числа а ) .

44

Левая часть равенства (2.10) с учетом выражений (2.12) и соотношений (2.9), (2.15) принимает вид

Соответствующие вычисления должны быть выполнены также при Ах < 0. Они дают

м ° . ----M , ( l — £ - ) ( l — t-/,).

Выражения (2.16) и (2.17) в параметрической форме (относи­ тельно параметра с) определяют два семейства кривых (с пара­ метром t j . Нетрудно установить, что фиктивные поверхности (кривые) взаимодействия симметричны относительно горизонталь­

ной оси N°jNo (рис. 2.3).

Заметим, что область допустимых значений постоянных со­ ставляющих нагрузки с ростом параметра ^ уменьшается и одно­ временно смещается влево, т. е. в сторону отрицательных нор­ мальных сил (последнее связано с действием переменной растя­ гивающей силы). Она выро­

низмы разрушения незакреплен­ ного бруса, отвечающие различ­ ным соотношениям параметров

45

переменной н постоянных нагрузок. Они могут рассматриваться поэтому как диаграммы приспособляемости, построенные по

параметру Тонкими линиями на фигуре показаны линеаризованные ус­

ловия текучести, соответствующие брусу идеального профиля. Построение фиктивных поверхностей взаимодействия при слож­ ном напряженном состоянии бруса (например, растяжение с кру­ чением) связано с определенными затруднениями. Наиболее просто эта задача решается для бруса круглого поперечного сечения, поскольку в этом случае может быть применена гипотеза плоских сечений. При этом более удобным оказывается критерий теку­

чести Мизеса (1.13).

§ 9. Приближенный способ введения обобщенных переменных в задачах приспособляемости

Построение фиктивной поверхности текучести согласно рас­ смотренному выше методу включает два этапа: 1) определение фиктивной поверхности текучести в пространстве напряжений для каждой точки сечения (или нормали); 2) использование най­ денных поверхностей для определения предельных значений уси­ лий (фиктивной поверхности взаимодействия). Расчеты, необхо­ димые для построения фиктивной поверхности взаимодействия, часто оказываются довольно трудоемкими, в особенности примени­ тельно к объектам типа пластин и оболочек, подверженных воз­ действию многопараметрической нагрузки. Получаемые сложные поверхности могут быть практически использованы в конкретных задачах, как правило, лишь после их аппроксимации (обычно кусочно-линейной).*

Существует, однако, возможность более простого определения фиктивной поверхности взаимодействия в пространстве обобщен­ ных усилий, хотя и менее строгого, но в большинстве случаев вполне приемлемого в приложениях.

Примем, что приращение пластической деформации Де'^-о в каждой точке тела реализуется при каком-то единственном зна­ чении переменных напряжений. Это означает, что ситуации, при которых некоторые режимы течения могут стать нереализуемыми в предельном цикле, игнорируются. Как было отмечено в § 6, это может привести к некоторому завышению значений допустимых

постоянных напряжений а?,-* в части точек тела. Такой случай показан на рис. 2.4: при определенных значениях переменных напряжений заданному вектору приращения пластической де­ формации отвечают режимы течения //, VI, а не /, //. Но для того, чтобы это обнаружить, необходимо построить фиктивную поверхность текучести. Однако практически ошибка может стать существенной только в случае, если точки, в которых возникает указанная ситуация, занимают значительный объем тела.

46

** *

Допущение позволяет использовать более простую форму кинематической теоремы. Выделяя из правой части неравенства (1.63) интеграл по толщине, запишем

Здесь Мае, М*р — усилия на действительной поверхности взаимо­ действия, определяемые условиями (2.2), (2.3); Март, W£pt —

Выше предполагалось, что поверхность текучести / (<тар) = О стабильна. При необходимости учета температурной (или темпера­ турно-временной) зависимости предела текучести можно выделить соответствующие переменные составляющие напряжений <тар на поверхности текучести и объединить их с переменными упругими

напряжениями а$т- На рис. 2.5 поясняется определение обобщенных усилий,

к которым приводятся переменные воздействия при двух основ­ ных механизмах деформирования элемента (он может принадле­ жать брусу, оболочке или пластинке): изгибе (а) и растяжении (б). Здесь представлено несколько возможных распределений одно­ параметрических (изменяющихся от нуля до конечного значения) переменных напряжений. Жирной линией в каждом из варнан-

47

тов показано распределение напряжений, соответственно удовлет­ воряющих одному из условий:

h

а) М*хАх = I шах (о[е)г Дк) dz\

Л*

(2. 20)

h

б) N*xДе = f max (о{хе) Де) dz.

Л х

Разности, стоящие в правой части равенства (2.18), представ­ ляют собой приближенные выражения для усилий на фиктивной поверхности взаимодействия (ограничивающей область допусти­

мого изменения постоянных составляющих усилий Na№, Мар*)- Для каждого заданного соотношения компонент вектора прира­ щений обобщенных деформаций (Диар, Аеар) необходимо найти

значения напряжений о4рт, доставляющие максимум подынтег­ ральному выражению в (2.19), и отсюда вычислить усилия от переменных воздействий. Полагая, что соотношение скоростей

иар, еар для действительной поверхности текучести в пространстве усилий (2.4) является таким же, как соотношение компонент Дкар, Деар (напомним, что согласно предположению в каждой точке тела за цикл реализуется единственный режим течения), с помощью ассоциированного с уравнением (2.4) закона течения находят соответствующие значения Мар, Na$ и затем вычисляют разности в правой части (2.18).

Таким образом, приближенный метод определения границы области допустимых значений постоянных составляющих усилий, во-первых, фактически объединяет в соотношении (2.19) прибли­ женное определение фиктивной поверхности текучести в простран­ стве напряжений с вычислением предельных усилий, во-вторых, позволяет использовать не только метод, но и готовые конечные соотношения (2.4), известные из теории предельного равновесия. Эти его особенности позволяют существенно снизить трудоемкость определения предельных усилий по сравнению с точным методом.

Непосредственное применение соотношений (2.18)—(2.20) к расчету усилий проиллюстрируем на примере бруса. Пусть пере­ менные упругие напряжения изменяются за цикл по закону (рис. 2.2, г)

^ ° “ <w(o.6 + x ) ° «

(2 .21)

О < t (т) «

Равенство (2.19), с учетом соотношения (2.5), принимает вид

Nx Де + Мх Дк = Jhшах (т) (о,5 + (z Дх + Ае)J dz. (2.22)

48

Рис. 2.6

Поверхность взаимодействия для бруса в условиях предель­ ного равновесия описывается известными соотношениями, ко­

Функция, входящая в подынтегральное выражение (максимум которой определяется), положительна при следующих условиях:

При перечисленных условиях максимум функции отвечает значению t = При их невыполнении максимум подынтеграль­ ной функции, поскольку она отрицательна, достигается при t = 0.

49

Относительная простота по­ строения фиктивных поверх­ ностей текучести для бруса делает разницу в трудоемкости при использовании точного и приближенного методов малоза­ метной в отличие от соответ­ ствующих задач для пластинок и оболочек, которые будут рас­ смотрены в дальнейшем.

Использование линейных ап­ проксимаций для действитель­ ных поверхностей взаимодей­ ствия (2.4) [например, квад­ рата, очерченного тонкими

сплошными линиями на рис. 2.3] обычно приводит к разры­ вам в углах при определении соответствующих фиктивных поверхностей. Это связано с тем, что единственному значению усилий на поверхности текучести в угловой точке отвечают согласно (2.19), (2.20) различные усилия от переменных воздей­ ствий — в зависимости от отношения компонент Ах, Ае. Послед­ нее изменяется здесь соответственно диапазону, ограниченному положениями нормалей к прилегающим граням аппроксимирован­ ной поверхности текучести. Наличие разрывов — органический недостаток приближенного метода построения фиктивной по­ верхности текучести (правда, практически малосущественный); при использовании изложенного выше строгого метода он отсут­ ствует.

§ 10. Обобщенные усилия в круглых пластинках при растяжении и изгибе

Для иллюстрации методики рассмотрим построение области допустимых значений постоянных усилий для круглых осесим­ метричных пластинок в наиболее простых случаях — когда меха­ низм разрушения характеризуется только растяжением либо только изгибом. Одновременно сопоставим строгий и приближен­ ный методы решения поставленной задачи при использовании кри­ терия текучести Треска (1.14), в котором для простоты предел текучести <J S будет считаться постоянным (не зависящим от тем­ пературы). Приращения радиальных и окружных деформаций Аег и Деф в общем случае при прогрессирующем разрушении связаны с соответствующими приращениями кривизн Ах,., Дхф и удлинений Аеп Аеф известными условиями жесткой нор­ мали

Дег = z Дхг + Аег\

(2.28)

Аеф = z АХф + Дгф,

51