книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

где г — расстояние точки от срединной поверхности пластинки. I. Построим область допустимых значений постоянных уси­ лий для случая, когда механизм разрушения характеризуется

.Здесь ф (г) и ф (г)— определяемые из расчета конкретной пла­ стинки функции радиуса г, примем для определенности, что они имеют одинаковые знаки:

Заметим, что для примера взят случай, когда переменные воздействия в каждый момент времени приводятся к изгибающим моментам, в то время как механизм разрушения (определяемый по предположению постоянными составляющими нагрузок) ха­ рактеризуется не изгибом, а растяжением. Соотношение (2.6) для рассматриваемого случая принимает вид

h

Найдем входящие в подынтегральное выражение предельные значения постоянных составляющих напряжений. При условии текучести Треска (1.16) в соответствии с определением (1.44) фиктивная поверхность текучести ограничена прямыми.

т. е. фиктивная поверхность в последнем случае ограничена уже только четырьмя, а не шестью гранями (рис. 2.8).

52

Характерное значение |z|, соответствующее изменению формы области допустимых зна.

чении ог< о(ф, оказывается равным

возможном отношении приращений Аег и Деф найти соответствую­

щие значения а?*, а ф*, используя соотношения (1.57), (2.28), (2.33)—(2.37), и вычислить интеграл в левой части равенства (2.32).

Если Аег > 0, Деф > 0 или Аег < 0, Деф <: 0, вектору при­ ращений деформации отвечают угловые точки B t или Еи фиктив­ ной поверхности текучести (см. рис. 2.8), либо примыкающие к ним стороны соответствующего многоугольника, определяемые уравнениями (2.33), (2.34) или (2.36), (2.37).

Подстановка этих уравнений в равенство (2.32) дает

Если sign Aer = —-sign Д<?ф, то при \z\ < а вектору прира­ щения деформаций отвечают линия (2.35) либо угловая точка, находящаяся на пересечении этой прямой и прямых (2.33) или

(2.34). При \z\ > а напряжения о%, о>* отвечают угловой точке, находящейся на пересечении прямых (2.36), (2.37).^ Подставляя соответствующие значения напряжений и приращений деформации в равенство (2.32), после интегрирования получим:

при Дгф > 0, —Деф < Аег < О

N U Д<?ф + N h Дег = 2 < а [ 1 - 4 - * * ’1, (г) ] АеФ+

53

(2.41) и (2.42) лишь знаками множителей в правых частях. Области допустимых значений постоянных усилий, построен­

ные на основании выражений (2.39)—(2.42), представлены на рис. 2.9 (ограничены сплошными линиями). При построении было принято, что

Тогда при £ * > —g— напряжения (2.29) согласно условию (1.72)

приводят к знакопеременному пластическому течению. Используем теперь приближенный метод построения фиктив­

ных поверхностей взаимодействия. Равенство (2.19) примени­ тельно к рассматриваемой задаче принимает вид

а границы области допустимых значений постоянных усилий со­ гласно (2.18) определяются следующим образом:

54

Здесь учтено, что подынтегральное выражение достигает макси­ мума при t (т) = если z > 0, и при t (т) = — если z < 0.

Согласно приближенному методу в угловых точках поверх­ ности взаимодействия вектор приращений удлинений, коллинеар-

ный вектору скорости еп еф, должен быть разложен по направле­ ниям нормалей к соответствующим сторонам шестиугольника (2.46). Максимум в подынтегральном выражении (2.44) вычис­ ляется как сумма максимумов для каждой из двух его составляю­ щих.

Найденным таким путем значениям усилий №г*, при при­ нятых значениях функций (2.43) на рис. 2.9 отвечают штриховые линии (там, где точное и приближенное решения не совпадают).

II. Определим усилия исходя из предположения, что механизм разрушения чисто изгибный. Тогда в выражениях (2.28) следует

11(т) | = если sign [* (т)] = sign z. (2.53)

Предельные значения постоянных изгибающих моментов М?*, Л4Ф* определяются из условия, что в сумме с моментами (2.51)

55

они образуют напряженное состояние на поверхности взаимодей­ ствия:

Получим теперь точное решение задачи об определении области допустимых значений постоянных усилий для рассматриваемых условий. Границы области допустимых значений постоянных со­ ставляющих напряжений описываются в соответствии с опреде­ лением (1.44) при изменяющихся напряжениях (2.48), (2.49) следующими равенствами:

при 0 с t с tx

где t± — характерное значение параметра £*, определяемое ус­ ловием

быть определяющим (искомая область ограничена уже не шестью, а четырьмя гранями). Заметим, что в отличие от случая I здесь реализация за цикл режимов течения, отвечающих двум несмеж­ ным сторонам шестиугольника Треска, возможна только во всех точках поперечного сечения (либо ни в одной из них), поскольку распределение составляющих напряжений (2.48) в любой момент времени постоянно по толщине.

Выполнив необходимые выкладки, нетрудно убедиться, что

в этом случае получаются значения предельных изгибающих моментов, полностью совпадающие с выражениями (2.54), найден­ ными ранее приближенным методом.

Рассмотренные примеры определения областей допустимых значений постоянных усилий при растяжении и изгибе показы­ вают, что отличие результатов, полученных точным и приближен­ ным методами, может стать заметным обычно лишь при достаточно больших интервалах изменения переменных «упругих» напряже­ ний (приближающихся к тем, которые определяются условием знакопеременного течения) и неравномерном распределении этих напряжений по толщине оболочки (пластинки). Отсюда вытекает

56

целесообразность применения приближенного существенно менее трудоемкого определения усилий при решении многих задач прис­ пособляемости пластинок и оболочек.

§ 11. Формулировка статической теоремы в усилиях

Как и в теории предельного равновесия, формулировка стати­ ческой теоремы о приспособляемости в усилиях требует специаль­ ного обоснования. Кинематические теоремы такого обоснования не требуют, поскольку соответствующие законы распределения деформаций по толщине оболочки вводятся в них непосредственно.

Так как рассмотренное определение обобщенных усилий Qap* =

= (Map*, #2р*), принадлежащих фиктивной поверхности теку­ чести, относилось исключительно к условиям прогрессирующего разрушения (т. е. к случаю, когда фиктивные поверхности теку­ чести для всех точек оболочки являются невырожденными), статическая теорема теории приспособляемости в усилиях фор­ мулируется следующим образом.

1. Оболочка (или пластинка) не будет находиться в состоянии прогрессирующего разрушения, если существует такое распре­

деление не зависящих от времени усилий (2а/з, уравновешенных постоянными составляющими внешних воздействий X°it р?, ко­

построенных в пространстве обобщенных усилий для точек средин­ ной поверхности оболочки.

2. С другой стороны, прогрессирующее разрушение оболочки (пластинки) при повторно-переменном нагружении будет иметь место, если не существует никакого статически возможного (удов­ летворяющего условиям равновесия внутри и на поверхности оболочки) и допустимого по отношению к фиктивным поверхно­

распределения обобщенных усилий (За­ данная теорема отличается от сформулированной в обобщен­

ных усилиях статической теоремы теории предельного равновесия лишь использованием фиктивных поверхностей взаимодействия, в общем случае изменяющихся по срединной поверхности обо­ лочки и зависящих от интервалов (и программы) изменения на­ гружающих оболочку переменных внешних воздействий. Суще­ ственно, что фиктивная поверхность взаимодействия отражает неодновременность достижения поверхности текучести напряже­ ниями в точках, принадлежащих одной нормали к срединной поверхности.

57

Г л а в а 3

Статические методы решения задач приспособляемости

Методы расчета, базирующиеся на теореме Мелана или ее модификациях, носят название статических.

Пусть конструкция подвергается многопараметрическим внеш­ ним воздействиям [см. (1.46)—(1.50)]. Допустим, что значения всех параметров внешних воздействий, кроме одного, заданы чис­ ленно. Неизвестный параметр обозначим через р. Тогда задача расчета предельного цикла на основе статической теоремы кратко формулируется следующим образом: среди тех значений пара­ метра р, при которых выполняются условия равновесия

при значениях постоянных напряжений а?у, не выходящих за пределы фиктивных поверхностей текучести

Здесь предполагается, что фиктивные поверхности текучести для всех точек тела являются невырожденными, следовательно, целью решения экстремальной задачи (3.1)—(3.3) является опре­ деление предельного значения параметра р, при котором отсут­ ствует прогрессирующее разрушение. Искомый параметр р со­ держится в условиях (3.1), если он относится к постоянной части нагрузки, или в определении фиктивной поверхности текучести

<р (G°if*) = 0, если относится к переменной части приложенных воздействий.

Дифференциальные уравнения равновесия (3.1) допускают бесчисленное множество решений (поскольку число уравнений меньше числа неизвестных функций — компонент напряженного состояния). Следовательно, может быть найдено множество рас­ пределений напряжений, удовлетворяющих ограничениям (3.1), (3.2). Каждому допустимому •распределению будет отвечать свое значение р. С этой точки зрения уравнения (3.1) можно рассматри­ вать как описание «управляемого процесса», а неравенства (3.2) — как ограничения, накладываемые на его характеристики. Про-

59

блема отыскания максимального значения параметра р оказы­ вается, таким образом, задачей математической теории оптималь­ ных процессов — теории, получившей значительное развитие в последние десятилетия главным образом в связи с задачами уп­ равления и планирования.

При континуальном описании процесса [применительно к рас­ сматриваемым задачам — при непосредственном использовании дифференциальных уравнений равновесия и краевых условий в форме (3.1) и непрерывных по объему тела ограничений (3.2)] решение может базироваться на принципе максимума Понтрягина [2, 3, 28, 48]. В задачах приспособляемости принцип макси­ мума был применен впервые, по-видимому, в работе [58].

Приближенная дискретная форма условий, которая может быть получена путем преобразования ограничений (3.1) и (3.2) в си­ стему алгебраических уравнений и неравенств, позволяет ис­ пользовать аппарат математического программирования (линей­ ного или выпуклого), более удобный и разработанный для реали­ зации с помощью ЭВМ по сравнению с континуальными методами

[21].

Применение методов математического программирования к ре­ шению задач приспособляемости в статической постановке посвя­ щен ряд работ. При расчете стержневых систем, а также осесим­ метричных пластинок и оболочек с использованием кусочно-линей­ ных поверхностей текучести определение параметров предель­ ного цикла сводится обычно к задаче линейного программирова­ ния [7, 13, 62, 63, 75, 76, 79 и др. ]. Нелинейные условия теку­ чести (их применение становится целесообразным, в частности, при расчете неосесимметричных пластинок и оболочек, когда поло­ жение главных площадок может изменяться в течение цикла) приводят к задачам выпуклого программирования, см., например,

[71].

Отметим, что в родственных задачах предельного равновесия методы линейног опрограммирования начали с успехом приме­ няться более десяти лет назад [27, 47 и др. ]. Преобразованные формулировки теорем Мелана и Койтера, рассмотренные в гл. 1, позволяют непосредственно использовать методы решения задач предельного равновесия при анализе условий приспособляемости. При этом уместно еще раз подчеркнуть, что применение методов неклассического вариационного анализа (принципа максимума, математического программирования) имеет смысл лишь при оп­ ределении условий прогрессирующего формоизменения, когда существует возможность реализации соответствующей ситуации. Условие знакопеременного течения может быть определено более элементарно (см. гл. 1).

Неклассические вариационные методы как в континуальной, так и в дискретной постановке позволяют получать точные (или приближающиеся к точным) решения задач приспособляемости -на основе какой-то одной из фундаментальных теорем (статиче-

60

ской или кинематической). Согласно теории линейного програм­ мирования задачи приспособляемости, формулируемые в соответ­ ствии со статической или кинематической теоремой (в линейной постановке), образуют двойственную (или сопряженную) пару задач. При этом соответствующие формулировки (и, следовательно, сами теоремы) могут быть выведены одна из другой путем чисто формальных математических преобразований [62, 63 и др. ].

Существенно менее трудоемкими являются приближенные методы, в том числе и статические, в которых каким-либо способом

задается некоторое «подходящее» распределение напряжений о?/, удовлетворяющее условиям (3.1) и (3.2), и затем подсчитывается соответствующее ему значение параметра р, в общем случае, ко­ нечно, не совпадающее с максимально возможным по условию задачи (р < шах р). Таким способом могут быть получены ниж­ ние оценки для искомого параметра предельного цикла.

§ 12. Принцип максимума Понтрягина и возможности

его использования в задачах предельного анализа

Рассмотрим вначале некоторые определения, связанные с по­ становкой и решением задач математической теории оптимальных процессов. Пусть состояние управляемого объекта описывается системой дифференциальных уравнений вида

(значения р0 и р2 заданы); x lt х 2, . . ., хп — фазовые координаты, характеризующие состояние управляемого объекта; вектор-функ­

ция х (р) = (хг (р), х 2 (р), ..., хп (р)), определенная^ на отрезке

(3.5), должна принадлежать замкнутой области X (х £ X), гра­ ница которой — гладкая или кусочно-гладкая гиперповерхность; иъ и2у ..., иг — параметры управления, причем вектор-функция

и (р) = (иг (р), и2 (р), ..., иг (р)), определенная на отрезке (3.5), согласно предположению допускает разрывы первого рода и должна

Все управления (вектор-функции и), удовлетворяющие ука­ занным выше условиям, называются допустимыми Функции Д-

определены для любых значений х £ X, и £ U, р и предпола-

61