книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

разрушения с вероятностью повторений определенных последо­ вательностей нагрузок [36]. В работе [70] авторы, основываясь на аналогичных результатах, полученных ими для условий пре­ дельного равновесия, дают оценки вероятности прогрессирующего разрушения конструкций (стержневого типа) с пределом текуче­ сти, являющимся случайной величиной.

§ 3. Кинематическая теорема о приспособляемости

Вторая (кинематическая) теорема была установлена Койтером [26] в 1956 г. Автор основывался на аналогии между теоремами предельного равновесия и-приспособляемости, последняя до этого не была достаточно хорошо осознана. Исходя из этой аналогии он полагал, что вторая теорема упростит анализ приспособляе­ мости подобно соответствующей ей теореме предельного анализа, которая в приложениях часто оказывается более удобной, чем статическая.

В основе кинематической теоремы лежит фундаментальное представление о допустимом цикле скоростей пластической дефор­

образуют кинематически возможное распределение деформаций, которое может быть выведено с помощью соотношений типа (1.4)

удовлетворяющих кинематическим краевым условиям. Поскольку приращения пластической деформации за цикл

(время Т) кинематически возможны, они не приводят к изменению упругих деформаций и напряжений. Это означает, что остаточные (самоуравновешенные) напряжения в момент времени т = Т

возвращаются к своим исходным значениям, которые существо­ вали при т = 0. Соответственно приращения упругих деформаций за цикл

о

Предположим, что при заданных циклически изменяющихся во времени внешних воздействиях существует некоторый стабиль-

22

ный цикл изменения напряжений в конструкции, при котором реа­ лизуется определенный допустимый цикл скоростей пластиче­ ской деформации {доказательство постепенной стабилизации на­ пряжений в соответствующих условиях было дано в работе [80 ]}. Тогда, в силу обратимости (за цикл) остаточных напряжений можно утверждать, что соответствующая им упругая энергия за время Т

Учитывая, что скорости остаточных деформаций, включающие

упругую е'ijr и пластическую 8*;. составляющие, образуют в объеме тела кинематически возможное распределение, а остаточные на­ пряжения могут быть представлены в виде разности действи­

напряжений), так и при циклическом (стационарном) неупругом

= Of/\ ejy = 0).

Кинематическую теорему о приспособляемости сформулируем

ввиде двух утверждений.

1.Приспособляемость невозможна, т. е. тело в конечном счете разрушится вследствие циклических пластических деформаций,

если при напряжениях определенных в предположении иде­ альной упругости по внешним воздействиям, которые изменяются в установленных пределах, можно предложить какой-либо до­

При этом принимается, что напряжения Оц на поверхности теку­ чести определяются скоростями пластической деформации согласно ассоциированному закону течения (1.11).

23

2. Конструкция приспособится, если для напряжении о,-у0, отвечающих внешним воздействиям, изменяющимся в заданных пределах, при любых допустимых циклах ненулевых скоростей

пластической деформации е^о (т) будет справедливо обратное неравенство

т

Следуя обычной процедуре [26], первую часть кинемати­ ческой теоремы докажем от противного, т. е. покажем, что предположение об ошибочности данного утверждения ведет к про­ тиворечию.

Допустим, что приспособляемость имеет место, хотя существует

некоторый допустимый цикл пластической деформации е'^-о (т), удовлетворяющий неравенству (1.34). Тогда согласно теореме Мелана должно существовать не зависящее от времени распределе­

ние остаточных напряжений р/у-, удовлетворяющее условию (1.19). Учитывая (1.27), преобразуем теперь левую часть неравенства (1.34) следующим образом:

Второй интеграл в правой части этого выражения равен нулю согласно уравнению виртуальных работ (1.18), в то время как первый интеграл положителен в соответствии с постулатом Друккера (1.9). Таким образом, предположение о возможности приспо­ собляемости противоречит неравенству (1.34).

Если учесть условие (1.33), вытекающее из существования ста­ бильного цикла, то второе утверждение теоремы представляется почти очевидным. В самом деле, если для всех допустимых циклов ненулевых скоростей пластической деформации, которые можно предложить, справедливо неравенство (1.35), то стабилизация

цикла напряжений возможна лишь при ъц --- 0, т. е. когда даль­ нейшие изменения пластической деформации будут отсутствовать. А это согласно определению и есть приспособляемость.

Койтер [26] исходил из аналогии с соответствующей теоремой предельного равновесия и поэтому сформулировал кинематиче­ скую теорему (два соответствующих утверждения) исключительно в кинематических терминах — в виде двух соотношений между

24

функционалами, определяющими работу внешних сил и диссипа­ цию пластической энергии за время цикла:

Используя принцип виртуальных работ (1.18) и выражение

(1.17), определяющее диссипативную функцию F (е7/о), последние соотношения нетрудно представить соответственно в виде (1.34), (1.35). При этом необходимо учитывать, что

—кинематически возможное распределение деформаций. Доказательство кинематической теоремы в виде соотношений

(1.34), (1.35) проще и к тому же обладает большей общностью, чем при использовании соотношений (1.36), (1.37), поскольку при этом

не оговаривается происхождение «упругих» напряжений Следовательно, при принятой здесь формулировке отпадает необ­ ходимость в специальном обобщении теоремы на тепловые воздей­ ствия [7, 89].

В новую формулировку кинематической теоремы (1.34), (1.35) входят «упругие» напряжения от прикладываемых к телу внешних воздействий. Это отражает отличие теории приспособляемости от теории предельного равновесия, связанное с переменностью на­ гружения. В теории приспособляемости предварительный упру­ гий анализ напряжений (как будет показано, лишь от изменяю­ щихся во времени воздействий), необходим при решении конкрет­ ных задач независимо от используемой теоремы.

По смыслу первого (основного) утверждения кинематическую теорему часто называют теоремой о иеприспособляемости. Таким образом, параметры предельного цикла определяются как наимень­ шие значения параметров нагружения, при которых условия при­ способляемости нарушаются.

25

§ 4. Введение фиктивной поверхности текучести и преобразование статической теоремы. Формулировка задачи о приспособляемости, сводящая ее к нетривиальной проблеме предельного равновесия

Реализация фундаментальных теорем теории приспособляе­ мости в их рассмотренных формулировках оказывается существенно более сложной, чем решение родственных задач предельного рав­ новесия. Основное затруднение связано с тем, что решение специ­ фической экстремальной проблемы (определение наибольших зна­ чений параметров нагружения, при которых приспособляемость конструкции возможна, или наименьших, при которых она не­ возможна) совмещено с необходимостью детального анализа на­ пряженного (или соответственно деформированного) состояния в последовательные моменты времени цикла изменения внешних воздействий. Это обстоятельство ограничивало в течение опреде­ ленного времени использование теории приспособляемости в ин­ женерных задачах, в особенности кинематической теоремы, кото­ рая в первоначальной формулировке [26] практически не имела приложений.

Позднее была выяснена возможность рационального преобра­ зования формулировок кинематической [7], а также статической

ственно расширил возможности использования теории приспосо­ бляемости в инженерных расчетах. С другой стороны, он способ­ ствовал углублению общих представлений о необходимых усло­ виях и внутренних механизмах эффектов, реализующихся при нарушении условий приспособляемости. Преобразование общих формулировок теорем базируется на понятии предельного цикла нагружения как границы приспособляемости и ^прекращаю ­

где рij — не зависящие от времени самоуравновешенные напря­ жения (согласно теореме Мелана обеспечивающие приспособля­

емость); o°if — постоянные напряжения, уравновешенные неизменяющимися во времени составляющими нагрузок; o(/fT— изменя-

26

ющиеся во времени напряжения, определяемые (в предположении идеальной упругости материала) по заданным переменным внеш­ ним воздействиям.

Последующее преобразование статической теоремы основыва­ ется на том, что для выполнения основного условия приспособля­ емости (1.19) во все моменты времени необходимо и достаточно, чтобы максимальное (за цикл) значение функции текучести согласно (1.8) оставалось неположительным в каждой точке тела:

Произведенная замена строгого неравенства согласно (1.19) нестрогим, как уже было отмечено, практически ничего не изме­ няет, но для последующей формулировки задачи представляет определенные удобства.

Равенство

в левой части которого (после определения максимума) отсутст­ вуют величины, являющиеся функциями текущего времени, может рассматриваться как параметрическое уравнение поверх­ ности

ограничивающей (в девятимерном пространстве) область допусти­

мых значений не зависящих от времени напряжений (а?у- < а?,-*) при заданных (изменяющихся в установленных пределах) напря­ жениях от переменных внешних воздействий. Для краткости по­ верхность, описываемую уравнением (1.45), будем называть фик­ тивной поверхностью текучести. Характерные (стационарные для

заданного цикла) значения переменных напряжений oiJXt лимити­ рующие область, заключенную внутри поверхности, описываемой уравнением (1.45), будем называть определяющими. Используя терминологию, принятую в строительной механике стержневых систем, их можно было бы также назвать объемлющими перемен­ ными напряжениями. Если переменные напряжения определены лишь с точностью до некоторых множителей (параметров напря­ жений), то уравнение (1.45) будет включать соответственно эти множители.

Таким образом, приходим к следующей формулировке стати­ ческой теоремы. Приспособляемость наступит, если существует какое-либо распределение не зависящих от времени напряжений

а?,-, уравновешенных постоянными нагрузками X?, р? и принадле­ жащих области, ограниченной фиктивнрй поверхностью текучести (1.45), т. е. области таких значений-'постоянных напряжений,

сумма которых с «упругими» напряжениями о\е/х в любой момент времени образует допустимое напряженное состояние. Фиктивные

27

поверхности текучести должны быть определены предварительно для каждой точки тела.

В общем случае, если внешние воздействия (постоянные и переменные) задаются с точностью до множителей т °, яв­ ляющихся векторами при многопараметрической нагрузке, т. е.

на основе статической теоремы о приспособляемости сводится к сле­ дующей задаче.

Здесь под (5ijxi понимаются «упругие» напряжения от «единичных» переменных воздействий.

Данная задача по своему характеру является экстремальной, поскольку отыскивается наибольшее значение искомого параметра, отвечающее некоторому неизвестному (и в интересующем нас смысле наиболее благоприятному) распределению напряжений

а^-, уравновешенных постоянными нагрузками. Преобразованная формулировка статической теоремы сводит

действий /Пр, то задача приспособляемости соответствует задаче определения предельной нагрузки фиктивно неоднородного (и ани­ зотропного) тела с использованием вместо действительной поверх­ ности текучести фиктивных поверхностей (1.45). Когда искомым является параметр переменной нагрузки, задача приспособляемости становится аналогичной такой задаче* предельного равиове-' сия'неоднородного и анизотропного тела, в которой отыскивается, каким образом необходимо изменить пределы текучести, чтобы при заданной постоянной нагрузке равновесие тела стало пре­ дельным.

28

§ 5. Построение и свойства фиктивных поверхностей текучести

Пусть в точке тела реализуется плоское напряженное состоя­ ние, а направления главных напряжений ах и а# известны и не изменяются в течение цикла. Рассмотрим случай, когда напряже­ ния от переменных воздействий линейны относительно двух неза­

Тогда, в соответствии с определением (1.44), уравнение фиктив­ ной поверхности текучести имеет вид

текучести.

Подставляя (1.51) в (1.54) и учитывая условия (1.52), получим следующее уравнение фиктивной поверхности текучести:

Определение поверхности иллюстрируется рис. 1.2, в центре которого помещен объемлющий годограф КЬЬгКх переменных упругих напряжений (1.51). При обкатывании без вращения па­ раллелограммом К Ы 1К 1 поверхности текучести ABCDEFA на­ чало годографа описывает фиктивную поверхность текучести (1.55).

ческой пластической деформации, суммарный вектор постоянных

и переменных напряжений достигает поверхности текучести лишь

вотдельные моменты времени — при экстремальных значениях переменных составляющих напряжений. Некоторые из возможных

при этом ситуаций показаны иа рис. 1.2. Так, если постоянные напряжения в предельном цикле в данной точке тела таковы, что

29

годограф оказывается в положении 1, поверхность текучести до­ стигается лишь при одном (единственном) значении переменных напряжений (здесь при рг (т) = р*). В соответствии с ассоцииро­ ванным законом течения (1.12) вектор скорости пластической де­ формации направлен по нормали к отрезку:

Вектор приращения пластической деформации, определяемый выражением (1.27), будем относить к фиктивной поверхности те­ кучести. В данном случае он параллелен вектору скорости, не из­ меняющему своего направления в течение цикла, и, следовательно, нормален к участку этой поверхности, параллельному АВ, т. е.

Де* =f= 0; Д ву = 0.

Если в предельном цикле постоянные напряжения таковы, что они отвечают угловой точке D x (или Л х), то вектор суммарных напряжений достигает поверхности текучести в рассматриваемом элементарном объеме при двух различных значениях переменных напряжений. При этом реализуются различные режимы течения, определяемые направлениями вектора скорости пластической де­ формации. Нетрудно убедиться, что суммарный (за цикл) вектор приращения пластической деформации (1.27) будет расположен между нормалями к гладким участкам фиктивной поверхности CxDx и й гЕ ъ образующими при пересечении угловую точку D v

При достаточно малых значениях параметров р\ и р£ фиктив­ ная поверхность текучести оказывается (как и действительная поверхность) шестиугольником; при больших значениях число граней фиктивной поверхности уменьшается (параллелограмм A1B 1C1D 1 на рис. 1.3). Последнее имеет место в тех случаях, когда режимы течения, отвечающей какой-либо из граней действитель­ ной поверхности текучести, не могут быть реализованы в предельном цикле ни при каких значениях постоянных напряжений.

При достаточно больших значениях переменных напряжений фиктивная поверхность текучести вырождается в линию (прямая на рис. 1.3) или в точку. Это означает, что невозможно отыскать

30

какие-либо не зависящие от времени на­ пряжения, которые в сумме с заданны­ ми (экстремальными) переменными на­ пряжениями образовали бы в данной точке тела допустимое напряженное со­ стояние. Отметим, что в данном случае, как показано на рис. 1.4, объемлющий годограф переменных напряжений в пре­ дельном цикле одновременно касается двух противоположных граней поверх­ ности текучести, т. е. скорости пласти­ ческой деформации отличны от нуля дважды за цикл (при двух различных значениях переменных напряжений) и имеют при этом противоположные знаки.

Если поведение материала следует условию текучести Мизеса (1.13), графическое построение фиктивной поверхности текучести в принципе не отличается от рассмотренного.

Приведенный пример позволяет сделать некоторые общие выводы относительно свойств фиктивной поверхности текучести.

1. Если действительная поверхность текучести или объемлю­ щий годограф переменных упругих напряжений кусочно-линейны, фиктивная поверхность текучести образуется параллельным пе­ реносом отдельных участков действительной поверхности ближе к началу координат. Следовательно, фиктивная поверхность явля­ ется выпуклой, если выпукла действительная поверхность теку­ чести.

Этот вывод можно обобщить на случай произвольных форм по­ верхности текучести и объемлющего годографа, если рассматри­ вать нелинейную поверхность как предельный случай кусочно­ линейной.

2. Если действительная поверхность текучести или объемлю­ щий годограф переменных упругих напряжений кусочно-линейны, приращения пластической деформации за цикл (в предельном цикле)

Ae'ij связаны с напряжениями а?у* на фиктивной поверхности те­ кучести соотношением, аналогичным ассоциированному закону течения (1.11):

Вболее общем случае для нелинейных поверхностей текучести

иобъемлющего годографа ассоциированный закон течения при­ водит к следующей зависимости между приращениями деформации

впредельном цикле и напряжениями:

31