книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

Определим величины, входящие в соотношения (7.74), для случая, когда толщина оболочки постоянна [/г (/) = h = const] и оболочка подвергается повторным воздействиям температуры, изменяющейся (по линейному закону) только по ее толщине. Термоупругие напряжения вдали от краев определяются при этом следующим образом [55]:

Равенство (7.73) применительно к условиям чистого растяже­ ния и чистого изгиба с учетом выражений (7.77). и (7.78) при ost =

В соответствии со статической теоремой о приспособляемости, сформулированной в обобщенных усилиях (§ И), не зависящие от времени усилия должны принадлежать области, ограниченной фиктивной поверхностью текучести и, кроме того, удовлетворять

182

к величине N 0; р — р (х) — параметр осевого усилия в сечении с координатой /. В общем случае (если края оболочки не защем­ лены) равенства (7.81), (7.82) должны быть дополнены статиче­ скими краевыми условиями.

Записывая в дискретной форме ограничения на величины уси­ лий, вытекающие из условий (7.76), (7.81), (7.82), аналогично тому,

мизация неизвестного параметра внешних воздействий), по­ лучим задачу линейного программирования, которая может быть решена с помощью стандартных программ симплекс-метода на ЭВМ. В качестве примера рассмотрим расчет вращающейся с по­ стоянной угловой скоростью конической оболочки постоянной толщины (h = 2,5 мм, /0 = 292 мм, 1г = 380 мм, а = 20°). Предполагается, что края оболочки закреплены таким образом, что они не могут поворачиваться (т. е. краевые статические условия не накладывают ограничений на величину момента /Я/), а осевые усилия ограничиваются в соответствии с предельными значени­ ями сил трения в опорных устройствах (примем, в частности, что пп< 0,5). Температурные напряжения определяются выраже­ нием (7.78).

Подставляя выражения (7.81), (7.82) в неравенства, следую­ щие из описания фиктивной поверхности текучести (7.76), и учиты­ вая указанные выше краевые условия, получим дискретную форму задачи определения условий прогрессирующего разрушения:

mji Ч- 4- Алг ^ ( « ) * + Krb+il + к (л,-— 1)н?i Ч-

/{=-1

183

(7,84)—(7.87), показана на рис. 7.19. Предельные значения параметра центробежных сил р находятся при заданных значениях q#. Результаты вычислений представлены в виде диаграммы приспособ­ ляемости (на рис. 7.24 линия 1). Линия 2 на диаграмме отвечает таким значениям параметра превышение которых приводит к знакопеременному течению. Ее уравнение, как обычно, полу­ чено с помощью критерия (1.72).

Как видно из диаграммы, снижение несущей способности обо­ лочки вследствие теплосмен при данных условиях может превы­ шать 40% (при отсутствии теплосмен предельная нагрузка р0 = = 0,81).

На рис. 7.25 показано распределение усилий по длине обо­ лочки в состоянии предельного равновесия, т. е. при <7* = 0. Окружные усилия п%, т% были получены непосредственно из ре­ шения задачи линейного программирования, а меридиональные — изгибающий момент т / и нормальная сила п\ — вычислены затем с помощью уравнений (7.81), (7.82). Оказалось, что нормальная сила n°i мала: она изменяется монотонно от 0,022 на левом конце оболочки до 0,091 на правом (кривая не представлена ввиду ма­ лости значений). Соответствующие режимы течения, которые реали­ зуются в различных сечениях оболочки в состоянии пластического разрушения, приведены в табл. 7.1. Как следует из ассоциирован-

184

ного закона течения, им соответствует довольно сложный механизм разрушения: на краях оболочки (в защемлениях) возникают коль­ цевые пластические шарниры; в каждом промежуточном сечении все компоненты вектора пластической деформации (меридиональ­ ные и осевые удлинения и кривизны) отличны от нуля, и повороты нормалей происходят относительно точек, не лежащих на средин­ ной поверхности оболочки. Однако ассоциированный закон тече­ ния позволяет установить (по известным значениям усилий) лишь направления векторов приращений деформаций в разных точках оболочки но не указывает количественных соотношений между ними. Поэтому при использовании статических методов механизм разрушения в общем случае не может быть полностью определен.

Режимы течения, реализуемые в предельном цикле при значе­ ниях параметра <7*, близких к единице, указаны в табл. 7.1. Окружные изгибающие моменты в этом случае всюду в оболочке равны нулю, а окружные нормальные силы постоянны по длине; п% = 0,5 (суммарные усилия п% + /гфТ достигают при этом по­ верхности взаимодействия). Меридиональные нормальные силы невелики (их относительная величина не превосходит 0,045). В со­ ответствии с ассоциированным законом течения отсюда следует, что во всей оболочке приращения окружных удлинений Деф от­ личны от нуля. Анализ результатов расчета показывает, что на краях и в среднем сечении оболочки образуются кольцевые пла­ стические шарниры. При этом нормали поворачиваются относи­ тельно точек, близко расположенных к срединной поверхности оболочки. Таким образом, механизм разрушения оказывается более определенным, чем в условиях предельного равновесия.

Качественное изменение механизма разрушения при увеличе­ нии интенсивности теплосмен связано, по-видимому, с тем, что из ограничений на величины п°, /гф, т% /тгф, которые вытекают из условия (7.76), некоторые, имеющие вид

при принятом (линейном) температурном поле не зависят от пара­ метра теплосмен [см. (7.80)1. С увеличением параметра q# они перестают быть определяющими.

Рассмотрим две особенности применения симплекс-метода в за­ дачах приспособляемости, которые представляются авторам до­ статочно существенными для практической реализации вычисле­ ний (но не самоочевидными). Первая из этих особенностей связана с тем, что матрица системы ограничений задачи содержит, как правило, большое число нулевых коэффициентов. Например, система (7.84)—(7.87) дает около 50% нулевых коэффициентов. Это относится и к приведенным в § 30 и 26 расчетам цилиндриче­ ской оболочки и круглой пластинки. С другой стороны, в столбце свободных членов имеется ряд одинаковых величин, что приводит

186

в процессе счета к появлению нулевых свободных членов. При ис­ пользовании ЭВМ вследствие погрешности округления могут появ­ ляться «машинные нули» — величины малые, но все же отличные от нуля. Отношение двух таких малых величин может оказаться соизмеримым с соотношением ненулевых (основных) свободных членов и коэффициентов, и «машинный нуль» вследствие этого мо­ жет оказаться разрешающим элементом. Естественно, что преобра­ зования симплекс-таблицы с такими разрешающими элементами не влияют на конечные результаты, но могут значительно увели­ чить время счета. Анализ, проведенный при выполнении расчета конической оболочки и приведенного в § 30 расчета цилиндриче­ ской оболочки, показал, что увеличение машинного времени вслед­ ствие операций с пренебрежимо малыми разрешающими элемен­ тами может доходить до 30—40%. Лишь заранее предусмотренное разумное ограничение точности вычислений устраняет эти потери времени.

Вторая особенность применения симплекс-метода, связанная с длительностью счета, заключается в том, что трудоемкость ре­ шения существенно зависит от близости получаемого на первом этапе опорного решения к оптимальному. Между тем выбор опор­ ного решения с использованием обычного алгоритма симплексметода является в этом отношении случайным. Естественным было бы попытаться задать опорное решение по возможности близ­ ким к оптимальному исходя не из формальных математических правил, а из интуитивных соображений, опыта решения сходных задач и т. п. В рамках статического метода такой подход затруднен. Однако при использовании кинематического метода априорное задание опорного решения в виде некоторого кинематически воз­ можного поля перемещения часто оказывается простым и доступ­ ным. Это преимущество кинематического метода расширяет имею­ щиеся возможности для решения сложных задач, встречающихся

вприложениях.

§34. Оболочка тепловыделяющего элемента ядерного реактора

Встатьях [72, 94] изучается поведение тонкой цилиндриче­ ской оболочки, нагруженной внутренним давлением и подвержен­ ной циклическому воздействию температурного поля. Задача по­ ставлена применительно к расчету оболочки топливного (тепловы­ деляющего) элемента (ТВЭЛ) ядерного реактора на быстрых ней­ тронах, для которого имитируются условия повторных выходов на режим и выключений. Внутреннее давление (от газообразных про­ дуктов распада) принимается постоянным, распределение темпе­

ратуры по длине — неизменным^ по толщине стенки — линейным (при подводе тепла изнутри оболочки). Принимается, что на крат­ ковременных режимах пуска и остановки реактора перепад темпе-

187

в конце полуцикла нагрева имеет вид, показанный на рис. 7.26, я, а в конце полуцикла охлаждения — на рис. 7.26, б. Из условия равновесия, имеющего для рассматриваемой одномерной задачи вид

нетрудно найти отрезок, определяющий «перекрытие» пластиче­ ских областей:

согласно которому построена линия 1 диаграммы приспособляе­ мости (рис. 7.27).

Если наибольшие сжимающие напряжения в некоторой конеч­ ной области достигнут по абсолютной величине предела текучести, односторонняя деформация обо­ лочки будет сочетаться со зна­ копеременным течением локаль­ ного характера. Новое предель­

189

Этому уравнению отвечает линия 2 диаграммы приспособляемости. Линии i, 2 и 3 (последняя отвечает предельному равновесию обо­ лочки) ограничивают область прогрессирующего накопления ок­ ружных деформаций (при отсутствии знакопеременного течения).

Определим приращения остаточной деформации оболочки за цикл при параметрах нагружения, соответствующих этой области. Поскольку оболочка нагружена равномерно по всей длине и, сле­ довательно, не испытывает изгиба, условие совместности деформа­ ций состоит в том, что суммарная деформация (состоящая из тепло­ вой, упругой и пластической составляющих) в каждый момент вре­ мени не зависит от координаты по толщине стенки. Исходя из этого для остаточной деформации за два последовательных полуцикла получены распределения (рис. 7.26, а, г). Определение остаточ­ ной деформации за полуцикл нагрева поясняет рис. 7.28. Здесь последовательно показаны распределения: тепловой деформации, увеличивающейся от периферии к центру оболочки (рис. 7.28, а), причем равномерный нагрев не учитывается, поскольку он здесь значения не имеет; упругой деформации (рис. 7.28, б) соответству­ ющей согласно рис. 7.26 изменению напряжений за полуцикл, и пластической составляющей общей деформации (рис. 7.28, в ). Последняя определяется таким образом, чтобы ее сумма с тепловой и упругой составляющими отвечала равномерному распределению общей деформации по толщине оболочки (штриховая линия на рис. 7.28. а).

Из построения следует, что приращение остаточной деформации за цикл равно разности свободных тепловых деформаций в точках, у которых координаты z отличаются между собой длиной отрезка 2а. Отсюда с учетом выражений (7.89), (7.91) будем иметь

Соответственно изменение диаметра оболочки (D — 2R) с ро­ стом числа теплосмен N

Получим теперь характеристики знакопеременного пластического течения в окружном направлении. Соответствующая предельная

линия диаграммы приспособляемости (см. рис. 7.27, линия 4) от­ вечает условию (1.72)

190

2

а)

Согласно принятому линейному закону распределения темпе­ ратуры (и соответственно напряжений) по толщине оболочки знако­ переменное течение одновременно начинается в слоях, прилегаю­ щих к обеим ее поверхностям. На рис. 7.29, а показаны соответ­ ствующие поля суммарных напряжений в начале и в конце каж­ дого полуцикла (линии /, 2). Отсюда нетрудно определить и усло­ вия, при которых одновременно начинается «перекрытие» пласти­ ческих зон, и знакопеременное течение будет сопровождаться одно­ сторонним ростом деформации. Действуя аналогично предыдущему, получим уравнение линии 5 диаграммы приспособляемости (см. рис. 7.27), разделяющей области «чистой» знакопеременной дефор­ мации (между линиями 4 и 5) и сочетания знакопеременного тече­ ния с накоплением односторонней деформации (между линиями 2 и 5):

рис. 7.28, можно найти величину максимального размаха пласти­ ческой деформации за полуцикл, который реализуется на поверх­ ностях оболочки:

Д е = а ^ 2<rs). (7.98)

Рассмотренный метод расчета условий прогрессирующего раз­ рушения и величин накопленных деформаций оболочки был раз­ вит в работе [72] применительно к учету температурной зависи­ мости предела текучести (при этом, однако, предел текучести счи­ тался на каждом этапе неизменным), а также упрочнения мате­ риала (которое принималось линейным). Сопоставление результа­ тов расчета с экспериментальными данными, приведенное в ра­ боте [7 ], показало их удовлетворительное соответствие.

191