книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

справедливому при - jj- У, поскольку при q#c < - ^ - Y разрешающим

оказывается иной элемент (в табл. 3.5 он обозначен штриховым кружком). Мз

Для упрощения примем, что предел текучести не зависит от температуры (os = = const). Тогда функция (т), определяющая общий нагрев диска, не влияет на результаты расчета на приспособляемость и далее не учитывается.

Определим предельные значения угловой скорости со диска, полагая ин­

упругих напряжений, отнесенные для удобства к величине as, при распределении

72

Рис. 3.4

При условии текучести Треска (1.14) область допустимых значений по­

стоянных напряжении а°г , crip устанавливается неравенствами (1.43), принимаю­ щими с учетом выражений (3.37), (3.38) следующий вид:

- 1 + ? . ( « - Р ) < o “ < l - f . ( I - p ) ;

Кроме этих ограничении постоянные составляющие радиальных и окружных напряжений должны удовлетворять условиям равновесия

Р

Заменим теперь ограничения (3.39) и (3.42) дискретной системой. Для этого интеграл в уравнении (3.42) заменим конечной суммой; примем шаг численного

интегрирования Ар = pi — pi_ i постоянным, а функцию а{р (р) непрерывной кусочно-линейной:

2, ..., п, нумерация сечений принята от периферии к центру). Очевидно, что

такой подход предполагает замену разрывов напряжений Оф (р) (если такие раз­ рывы существуют) зонами их более или менее быстрого (в зависимости от ве­

личины Ар) изменения. Напряжения о? (р), естественно, непрерывны.

73

Потребуем выполнения ограничений (3.39) лишь на границах интервалов,

внутри которых функция Оф (р) считается линейной, т. е. при р = р*. При этом внутри интервалов соответствующие ограничения заведомо выполняются. Оче­ видно, что использование аппроксимирующей функции отвечает введению до­ полнительных ограничений, кроме основных ограничений статической теоремы. В соответствии с ее формулировкой это может привести к некоторому занижению параметров предельного цикла. С увеличением числа узловых точек погреш­ ность уменьшается.

Для уменьшения размеров матрицы системы ограничений подставим соот­ ношения (3.43) в неравенства (3.39). Это вдвое сокращает количество неизвестных

(исключаются o?i). Теперь система ограничении задачи состоит только из нера­

ограничения (3.44)—(3.46) образуют задачу линейного программирования. Рассмотрим решение задачи при Др = 0,5, когда рассматриваются лишь три

расчетных сечения: р± = 1; р2 = 0,5; р3 = 0 . Заметим, что при Pi = 1 нера­ венства (3.45) становятся тривиальными (в силу краевого условия), а неравен­ ства (3.44) и (3.46) совпадают. При р3 = 0 ограничения (3.45) и (3.46) совпадают и приводят к равенству

которое позволяет выразить ОфЗ через aj>i н (Тф2. В результате система ограниче­ ний принимает следующий вид:

1-<7*<<*ф1 — 2с°2+4р<1 — ?*.

Решение экстремальной задачи (3.47), (3.49) иллюстрируется табл. 3 .8 — 3.11. Первые два шага модифицированных исключений, приводящие к табл. 3.10,

74

служат для исключения свободных переменных o ° lf о®2. Следующий шаг, вы­ полненный по правилам отыскания опорного решения, дает сразу оптимальное

решение (табл. 3.11), справедливое при <7* < - у - :

р = 1— г 9*; 0ф1= о?рз= 1- <?.;

Величина о° 3 получена из равенства (3.48) по найденным значениям р, о^ь

Оф2‘ Нетрудно убедиться, что решение (3.50) определяет условия прогрессиру­

ющего разрушения. Заметим, что этот результат, которому на рис. 3.5 отвечает линия CD, не изменяется при уменьшении шага интегрирования Др. Он совпа­ дает с точным решением, которое может быть получено в данном случае с помощью более элементарных средств (см. гл. 5).

75

также имеет место прогрессирующее разрушение, но его механизм становится иным. Если в случае, определяемом решением (3.50), предельных значений достигали окружные напряжения (и согласно ассоциированному закону тече­ ния лишь скорости окружных деформаций были отличны от нуля), то при q# >

> -у- в центральной части диска реализуется режим течения, отвечающий тре­

тьему условию (3.39). Теперь отличными от нуля в соответствующей области ди­ ска являются скорости как окружной, так и радиальной деформации. Однако, как показывают вычисления, эта область мала, и отклонение от решения (3.50) получается незначительным. На диаграмме приспособляемости (см. рис. 5.3)

от прямой СЕ. Данное решение в отличие от результата (3.50) зависит от при­ нятого шага интегрирования.

76

При q.M^> 1 система ограничении задачи становится несовместной. Из анализа сле­ дует, что в этом случае нарушается условие типа (1.72), т. е. имеет место знакоперемен­ ное течение. Таким образом, при точном решении (к которому можно приблизиться при достаточно малых интервалах Др) диа­ грамма приспособляемости плоского диска (при линейном распределении температуры по радиусу) ограничена линией AD'C. Коор­ дината точки D' q.M= 0,5.

мой линейных алгебраических уравнений с использованием ко­ нечных разностей при кусочно-линейной аппроксимации функции

Дальнейшие преобразования аналогичны рассмотренным. Та­ кой подход был применен, в частности, Купмаиом и Лансом [27] при расчетах предельного равновесия пластинок с помощью сим­ плекс-метода. Как правило, погрешность от введения дискретной модели, получаемой с использованием численного дифференциро­ вания, оказывается большей, чем при использовании конечных сумм.

Для алгебраизации задачи может быть также применена «вол­ новая дискретизация» (разложение в тригонометрический ряд компонентов напряжений в интервале pt- < р < pt+1). Такой прием при расчете предельного равновесия оболочек использовался в работе [33]. Он позволяет уменьшить число интервалов (и со­ ответственно систему ограничений), причем преимущества метода увеличиваются, если при ограниченном числе членов ряда приня­ тая аппроксимация оказывается близкой к действительному рас­ пределению напряжений (или деформаций). В частности, это от­ носится к зонам краевых эффектов оболочек.

В последнее время все более популярным становится метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к задачам предельного анализа его широко используют итальянские исследователи (Майер, Донато, Витиелло, Капурсо, Корради и др.). В их работах МКЭ в сочетании с аппаратом математического программирования

77

применяется для формулировки и обоснования основных теорем при расширенном толковании, последних (учет упрочнения, гео­ метрической нелинейности и т. д.), а также для приближенной оценки перемещений и деформаций, накапливаемых в процессе приспособляемости [74, 76, 89, 99].

Реализация общей вычислительной схемы МКЭ применительно к конкретным задачам приспособляемости впервые рассматрива­ лась, по-видимому, в работе [71]. Поскольку использовался не­ линейный критерий текучести (1.13), задача (пластинка с отвер­ стием при действии двухпараметрической нагрузки в ее плоскости) была сформулирована как проблема выпуклого квадратичного программирования.

§ 15. Приближенные статические методы

Как и в задачах предельного равновесия, в теории приспособ­ ляемости широкое применение получили приближенные методы, позволяющие на основе двух основных теорем получать двусторон­ ние оценки для параметров нагружения в условиях предельного цикла. Известны различные модификации приближенного стати­ ческого метода, дающие оценки «снизу» для параметров предельного цикла [7 и др. ]. Они базируются на определенных предположе­ ниях о распределении самоуравновешенных напряжений, которые задаются с точностью до некоторых множителей. Последние опре­ деляются затем из условия максимума параметров нагрузок, при которых удовлетворяются все условия теоремы Мелана. Другими словами, с помощью элементарных средств конструируется допу­ стимое (опорное, но не оптимальное) решение задачи (3.1)—(3.3), что дает нижнюю оценку параметров предельного цикла. Раз­ личие между получаемой нижней оценкой и точным (или пол­ ным, поскольку оно одновременно удовлетворяет статическим и кинематическим условиям) решением зависит от того, насколько удачно выбран закон распределения самоуравновешенных на­ пряжений.

Не зависящие от времени остаточные напряжения, которые (согласно статической теореме) должны возникнуть в процессе приспособляемости (в результате пластического деформирования на первых этапах нагружения), могут быть представлены в виде

висимые «единичные» распределения самоуравновешенных напря­ жений; у — число «степеней свободы» для самоуравновешенных напряжений, которое для стержневых систем равно степени стати­ ческой неопределимости (для сплошных тел у = со). Для удоб-

78

ства единичные состояния могут быть выбраны таким обра­ зом, чтобы они удовлетворяли условиям ортогональности и нормированности [7, 45].

Для получения приближенных решений (оценок «снизу») число членов ряда (3.52) можно ограничить вплоть до у = 1. Такое предположение использовалось, в частности, в некоторых работах, характерных для начальной стадии развития теории приспособляемости конструкций, испытывающих теплосмены. При этом распределение самоуравновешенных напряжений полага­ лось подобным распределению тепловых напряжений (по условию пропорциональности одному параметру). Соответствующий ана­ лиз для толстостенной трубы, подверженной внутреннему дав­ лению при циклически изменяющемся температурном поле, выполненный с учетом температурной зависимости предела теку­ чести, дан в монографии [7]. При этом было использовано гео­ метрическое представление в виде диаграммы возможных состоя­ ний [45].

Другой вариант приближенного статического метода можно предложить, основываясь на преобразованной формулировке статической теоремы (гл. 1). Для задания напряжений о0.., урав­

новешенных постоянными составляющими внешней нагрузки, используются кинематические представления (предположение о возможном механизме прогрессирующего разрушения) и ас­ социированный закон течения в форме (1.57). Данный вариант статического метода довольно близок к методу догрузки [7], который относится к классу кинематических методов (см. гл. 4). Различие состоит в том, что в первом реализуются все статические ограничения задачи (критерии текучести включают все компо­ ненты напряженного состояния), а во втором — лишь часть их.

В качестве иллюстрации определим нижнюю оценку для пара­ метров нагружения вращающегося диска в предельном (по ус­ ловию прогрессирующего разрушения) цикле. Условия задачи примем такими же, как в § 14, где для решения использовался симплекс-метод.

По аналогии с предельным равновесием диска кинематически

ций за цикл.

Согласно закону течения (1.57) при переменных напряжениях (3.37), (3.38) приращениям деформаций (3.53) отвечают напряже­ ния на фиктивной поверхности текучести (здесь, как н в соответ­

79

Предположим, что распределение не зависящих от времени окружных напряжений в рассматриваемом диске в предельном цикле пропорционально (3.54):

где С — определяемая в ходе решения постоянная.

Подставляя (3.55) в уравнение равновесия (3.40) и учитывая

Теперь необходимо отыскать максимальное значение постоян­ ной С, при котором выполняются неравенства. Из (3.60) и (3.61)

80