книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

получение фиктивной поверхности взаимодействия [на основе критерия текучести Треска (1.16)], ее аппроксимацию кусочно­ линейной поверхностью, дискретизацию задачи и вычисление параметров предельного цикла с помощью симплекс-метода4 Для удобства построения фиктивной поверхности текучести заменим пределы изменения функции tx (т), определяющей со­ гласно (7.2) температурные перепады по толщине оболочки. По­ скольку температурная зависимость предела текучести не учиты­ вается, средний уровень температуры несуществен, важно лишь сохранить неизменным размах температур. Таким образом, пусть

ричному циклу, с учетом выражения (7.3) могут быть представ­

не зависящих от времени, вырождается в точку, что отвечает на­ чалу знакопеременного течения.

Перейдем теперь к построению фиктивной поверхности взаи­ модействия. Согласно гипотезе Кирхгофа—Лява приращения

162

ответствующими приращениями удлинений и кривизн соотноше­

личин усилия на фиктивной поверхности взаимодействия нахо­

по толщине, показанным на рис. 7.6, и с соотношениями (1.57), аналогичными ассоциированному закону течения, в поперечном сечении оболочки реализуются в общем случае три режима те­

Подставляя выражения (7.17)—(7.19) в правую часть соот­ ношения (7.16) и приравнивая после интегрирования множители при обобщенных деформациях в его левой и правой частях, по­ лучим

(7.20)

я2. “ т Ч — ч ,— л»— W 3);

(7.21)

на рис. 7.5). На рис. 7.7 дано распределение деформаций ( с ука­ занием соответствующих режимов течения) для частного случая, когда

Преобразования, аналогичные рассмотренным выше, показы­ вают, что соотношения (7.21) и (7.24), (7.25) для этого случая оста­ ются без изменения, а взамен формулы (7.22) следует записать

Дальнейший анализ для различных соотношений величин Y|lt ц2 и а [не совпадающих с (7.27) ] принципиально не отличается от рассмотренного и не вызывает затруднений. Границы области до-

164

пустимых значений постоянных усилий, найденные для частных значений параметра теплосмен показаны сплошными линиями на рис. 7.8. Полученные зависимости между предельными усили­ ями оказались нелинейными (при кусочно-линейных фиктивных поверхностях текучести). При q* = 0 результат, определяемый параметрическими уравнениями (7.21), (7.22) и (7.24), совпадает с известным «конечным соотношением» для цилиндрических обо­ лочек [23, 81].

Для последующего применения процедуры линейного про­ граммирования необходима линеаризация полученных поверх­ ностей. В теории предельного равновесия применительно к ана­

«прямоугольной» аппроксимации, показанной на рис. 7.8 штри­ ховыми линиями. При этом предельные значения окружной нор­ мальной силы и осевого изгибающего момента взаимно незави­ симы:

Условия равновесия оболочки, изображенной на рис. 7.2, могут быть записаны в виде [55]

*i

Считая параметр температурного поля q# заданным, будем

Задачу (7.29)—(7.33) заменим дискретной моделью, полагая функцию п% (л ) непрерывной, линейной внутри равных интер­ валов и накладывая ограничения, вытекающие из условий (7.29), (7.30) лишь на границах этих интервалов. Изгибающие моменты

165

— pAx(k — 1) - f nix (0) < 1-----g- q* при k= 2, 3 ,. . ., s; (7.34)

| ml (0)| < 1 ---- <7,.

Нумерация сечений, принятая в выражениях (7.34), показана на рис. 7.2. Решение задачи (7.34) проводилось на вычислитель­ ной машине с использованием программы симплекс-метода при варьировавшихся значениях шага интегрирования Да:, для обо­ лочек различной длины. При этом значения параметра теплосмен q;l. задавались численно. В результате расчета было установлено, что при х > 3 параметр предельной (по условию приспособляемости) нагрузки р не зависит от длины оболочки. Полученные из расчета предельные значения р слабо зависят от шага интегрирования Алг, если Ах < I; р (при заданном q%) остается практически постоян­ ным, если Ах < 0,25.

Зависимость предельного значения параметра нагрузки от интенсивности теплосмен иллюстрирует рис. 7.4, на котором результаты расчета нанесены точками на прямой 3. Окружные

Таким образом, как видно из рис. 7.4, полученное ранее на основе приближенного кинематического метода решение (линия 3) совпадает с точным. Оба решения основываются фактически на одной и той же аппроксимации поверхности взаимодействия, являющейся верхней оценкой для предельных усилий (см. рис. 7.8).

В связи с этим представляет интерес решение задачи для такой кусочно-линейной фик­

ности примем шестиугольник (рис. 7.9):

I т°х | < 1 ---- |- <7»;

|я$>1+ - 5- |я #1 = 1 —

(7.35)

Как видно из сопоставле­ ния рис. 7.8 и 7.9, соответ­ ствие той или иной аппрок-

166

симации точному решению (7.21), (7.22) изменяется с ростом параметра тепловых воздействий <7*.

Дискретная модель, приводящая задачу приспособляемости оболочки при условиях (7.35) к задаче линейного программиро­ вания, строится аналогично предыдущей. Результаты расчета параметров предельного цикла иллюстрирует линия 4 рис. 7.4 (результаты были получены при Ах = 1). Сопоставление линий 4 и 3 показывает, что различие результатов, отвечающих «прямо­ угольной» (7.29), (7.30) и «шестиугольной» (7.35) аппроксимациям поверхностей взаимодействия, убывает с ростом параметра <7*.

На рис. 7.10 для условия (7.35) показана зависимость пре­ дельных значений параметра нагрузки р от шага численного ин­ тегрирования Ах при <7* = 0. Штриховой линией нанесено зна­

при различных значениях шага интегрирования Д*. Усилия, полученные при Ах = 1 и Ах == 0,5, различаются между собой довольно значительно на участке оболочки 0 < х < 1, но оказы­ ваются близкими в интервале 1 < х < 3 (в результате, как сле­ дует из рис. 7.10, различие между соответствующими значениями предельной нагрузки относительно невелико). В сечениях обо­ лочки,'. достаточно удаленных от плоскости действия силы Р (х > 3), распределение усилий /г$>, полученных в результате рас­ чета, является неустойчивым и при изменении шага интегриро­ вания не сходится к какому-либо определенному решению. Можно показать, что соответствующие участки оболочки остаются при пластическом разрушении упругими и действующие усилия не влияют на величину предельной нагрузки. Распределение напря-

167

жений на этих участках в состоянии разрушения, следовательно, не является единственным [7].

Для сравнения на рис. 7.11 жирной линией показано распре­ деление окружных усилий в состоянии предельного равновесия, найденное при использовании «квадратной» аппроксимации по­ верхности взаимодействия (nip* = — 1 при 0 < х < 2).

§ 31. Предельный анализ цилиндрических оболочек на основе принципа максимума Понтрягина

Рассмотрим цилиндрическую оболочку с приложенными к од­ ному из ее краев поперечной силой и моментом, не изменяющимися во времени (рис. 7.12). Исследуем зависимость предельных зна­ чений нагрузок Qx и М г (по условию прогрессирующего пласти­ ческого разрушения) от параметров переменных воздействий, прикладываемых к ней, и соотношения размеров оболочки (длина,

метров переменных воздействий, условно обозначенных здесь через <7#. Конкретный пример построения таких поверхностей рассматривался в § 30. Здесь и в дальнейшем используются без­

ренциальные уравнения равновесия рассматриваемой оболочки можно записать в виде [5 5 ]

не зависящие от времени относительные окружное усилие и осе­ вой изгибающий момент.

Для оболочки, изображенной на рис. 7.12, уравнения (7.37)

Два дифференциальйых уравнения равновесия (7.37), включа­ ющие три неизвестные функции, можно рассматривать как урав­ нения управляемого процесса. Функции т°х и г°, как известно,

168

на величины усилий, вытекающие из принятой аппроксимации фиктивной поверхности взаимодействия (7.36), можно представить в виде

Подстановка выражений (7.39) в систему уравнений (7.36) приводит к уравнениям

Решение задачи максимизации параметра г? при ограничениях (7.40), (7.41) для открытого ядра области допустимых значений фазовых координат может быть получено с помощью теоремы [48], которая была рассмотрена в § 12. Составим гамильто­ ниан (3.9) и сопряженную систему (3.8), учитывая, что целевая функция имеет вид (3.14):

Поскольку отыскивается максимум параметра г?, управление и должно доставлять функции Н минимум. С учетом ограничений (7.40) и неотрицательности функции ф2 отсюда следует, что

169

(С — неизвестная постоянная) показывает, что функция ф2 имеет не более двух интервалов постоянства знака. С учетом этого можно записать соотношение (7.44) следующим образом:

где а — неизвестный «момент переключения» управления [здесь— координата, при которой изменяется знак и(х)].

Подставим выражения (7.46) в систему (7.41) и решим ее от­ носительно гх и у. Постоянные интегрирования определяются при этом с учетом выражений (7.39) краевыми условиями (7.38)

при х — 0, а величина а находится из равенства т°х (/) = т i с учетом непрерывности функций тРх (х) и г°х (х).

Для иллюстрации выполненного расчета рассмотрим простей­ ший случай, когда cpi (х, q j = ф2 (х, q j = 1 (задача предель­ ного равновесия оболочки заданной длины /). Используя приве­ денные выше результаты найдем

й = ф _ ] / 4 ^ ) : т а х г ; = ф V - Y + ^ W - 1) ' <7'47>

Из формулы (7.47) видно, что при I т° I > 0,5 величина а на­

ходится за пределами интервала (0, /). В этом случае окружное усилие остается постоянным (не меняет знак) по всей длине оболочки:

Механизм пластического разрушения оболочки соответствую­

щего размера состоит в обжатии по всей ее длине. Если J | <

< 0,5, разрушение происходит с поворотом образующей вокруг точки х = а, соответственно окружные усилия /гф по обе стороны от этой точки имеют противоположные знаки.

Решение (7.47) справедливо лишь при условий, если \т°х \ < 1 в интервале (0, /), т. е. в том случае, когда при разрушении не возникают пластические шарниры в пролете. При нарушении этого ограничения анализ должен быть продолжен с использованием дополнительных условий [31 ], позволяющих найти экстремальное

значение г\| при наличии сечений (или конечных зон), где | ml (х) | =

Если предположить, что в интервале (0, /) не может сущест­ вовать более одного пластического шарнира, т. е. что равенство

ной выше, отсчитывая координату х не от края оболочки, а от шар­

170

/* служит дополнительное условие И (/*) = 0 [48]. Решая задачу аналогично предыдущей, получим следующие результаты:

лочка разрушается без образования пластических шарниров в про­ лете (равенство |m?| = 1 возможно лишь при х = 0). Предель­ ная нагрузка в этом случае определяется из выражения (7.47).

При 2 < 1 < 4 пластические шарниры могут образоваться

в пролете при определенных значениях / и т ? и предельная на­ грузка равна минимальному из двух значений, определяемых соответственно из выражений (7.47) и (7.49). При / > 4 пласти­ ческий шарнир всегда образуется при разрушении, а предельная нагрузка находится из (7.49).

Полученное решение легко поддается линеаризации и может быть использовано, в частности, при расчете составных оболочеч­ ных конструкций с помощью аппарата линейного программи­ рования, обеспечивающего (применительно к таким задачам меньшую трудоемкость расчета по сравнению с принципом мак­ симума.

К рассмотренной выше задаче нетрудно свести расчет оболочки, изображенной на рис. 7.2. Пусть кольцевая нагрузка Р постоянна во времени, температура оболочки определяется выражением (7.2). В §30 был выполнен расчет такой оболочки для случая, когда длина L весьма велика (теоретически бесконечна), здесь же длину оболочки будем считать ограниченной. Для упрощения примем, что фиктивная поверхность текучести определяется выражениями (7.29) , (7.30) по всей ее длине (при этом не учитывается влияние краевых условий на термоупругие напряжения). Без данного до­ пущения можно было бы обойтись, оно принимается здесь лишь для сокращения записи необходимых формул и выкладок.

В соответствии с условиями симметрии достаточно рассмотреть половину оболочки, изображенной на рис. 7.2. Сопоставляя выражения (7.29), (7.30) и (7.36), найдем что

<Pi ( X , ? * ) = 1 -------- Y я * ' ф2 Ч * > = 1 ~ т я * - (7 -5 0 )

В отличие от условий (7.38), для данной оболочки изгибающий момент при х = I может быть любым [в рамках ограничений

(7.29) ]. Задачу оптимального управления (отыскание max г?)

171