книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

(здесь, как и выше, индексом т обозначаются величины, соответ­ ствующие процессу деформирования при нулевых постоянных нагрузках).

Рассмотрим функционал

Ограничимся для простоты случаем, когда поверхность теку­ чести является строго выпуклой. Тогда в соответствии с постула­ том Друккера (1.10) функционал (10.24) является положитель­

ным при любых 8// ф s'ijx и равен нулю только при е"/ = е*/т, поскольку суммарные напряжения, стоящие в нем в круглых скоб­ ках, в действительном процессе деформирования связаны со ско­

ростями е"ij и ецх ассоциированным законом течения. Преобра­ зуем функционал (10.24) с учетом выражений (10.23) к виду

Т Г т -I

Уравнение виртуальных работ (1.18) и условия (10.3), (10.4) позволяют представить этот функционал в виде

2~J Aijhk {[Pi/ {Т) pi/] 19чх(Т) Pt/т]} X

Вернемся к задаче определения условий прогрессирующего разрушения при развитом знакопеременном течении. Если по­ дойти к определению параметров предельного цикла «сверху», т. е. искать минимальное значение постоянной нагрузки при ус­ ловии taz'q Ф 0, то преобразования, аналогичные рассмотренным выше, приводят к следующему результату.

Прогрессирующее разрушение обязательно будет иметь место, если найдется хотя бы один допустимый [удовлетворяющий ус­ ловию (1.28) при Де^уо Ф 0] цикл скоростей пластической де­ формации, обеспечивающий выполнение неравенства

242

Т

n j j X°i Auiodv + J p([ AutarfSj > j dx | (ex,-,- — a i/T)e'i/0dv. (10.27)

Отличие последнего неравенства от теоремы Койтера (§ 3) за­ ключается (как и при подходе «снизу») лишь в использовании напряжений а,ух вместо ст^.

Отметим, что в качестве частного случая задачи определения параметров внешних воздействий, при которых перемещения то­ чек конструкции ограничены заданными величинами, можно получить вариационную формулировку для расчета условий знако­ переменного течения при развитом прогрессирующем накопле­ нии односторонних деформаций. В итоге она сводится к крите­ риям (1.72), (1.73), если в последних переменные «упругие» на­ пряжения от внешних воздействий заменить напряжениями, под­ считанными с учетом неупругого деформирования в цикле (т. е. дополнить переменные «упругие» напряжения переменными оста­ точными напряжениями, обусловленными односторонней пласти­ ческой деформацией).

Определение условий возникновения прогрессирующего раз­ рушения и знакопеременного течения за пределами упругой при­ способляемости, а также соответствующих приращений и размахов деформаций рассматривалось в § 34 применительно к оболочке ТВЭЛ и в книге [7] применительно к брусу, нагруженному по­ стоянной продольной силой и переменными изгибающими мо­ ментами. Сравнительная простота этих примеров позволила за­ даться распределениями напряжений, при которых удовлетво­ ряются все требования (10.2)—(10.10), предъявляемые к стабили­ зированному циклу. В вариационной формулировке задачи при этом не было необходимости. В более сложных случаях приведен­ ные в данной главе формулировки проблемы расчета стабилизиро­ ванных циклов, сводящие ее к задаче оптимального управления (а в дискретной форме — к задаче математического программи­ рования), могут, по-видимому, позволить развить соответствую­ щие приближенные и точные методы решения, аналогичные ме­ тодам теории упругой приспособляемости. Некоторые примеры таких решений приводятся ниже.

§ 43. Примеры расчета условий прогрессирующего формоизменения при развитом знакопеременном течении

С целью упрощения, для того чтобы выделить основные осо­ бенности решения задач этого типа, ползучесть учитывать не будем, а предел текучести идеализированной диаграммы деформи­ рования материала'а5 будем считать не зависящим от температуры и неизмеияющимся при повторных нагружениях.

Пример 1. Вернемся к задаче расчета цилиндрической оболочки (рис. 7.2) при циклических изменениях температуры (7.2), (7.12). Условия упругой ири-

243

Ч* > ' {Ч* = 2(1 -|Гмг)'

ния нагрузки Р, при которых начинается прогрессирующее разрушение оболочки, с помощью соотношений, полученных в § 42. Определим вначале осевые и окруж­ ные напряжения о ^ , сгфТ в стабилизированном цикле в условиях знакоперемен­ ного течения при Р = 0, используя вариационную формулировку задачи, из­ ложенную в § 41. В соответствии с этой формулировкой напряжения и скорости деформаций должны удовлетворять условиям (10.2)—(10.4), (10.6), (10.9), (10.11) (в последнем правую часть следует приравнять к нулю) и доставлять функцио­ налу (10.12) минимальное (нулевое) значение. Воспользуемся приближенным методом решения этой экстремальной задачи, задавая допустимые (удовлетво­ ряющие наложенным ограничениям) поля напряжений и скоростей деформаций и вычисляя затем значение функционала (10.12). Если оно окажется равным нулю, то заданные поля совпадают с точным решением. Учитывая, что цикл изменения перепадов температуры (7.12) симметричный, примем, что во всех точках оболочки в момент времени т = 0

По аналогии с результатами упругого расчета (7.13) предположим, что действительные осевые н окружные напряжения алт, афТ (включающие упругие

ал:т» афт 11 остаточные р ^ , рфТ составляющие) равны:

жирными линиями. Нетрудно убедиться, что напряжения (10.29)—(10.32) удо­ влетворяют условиями типа (10.2), (10.3), (10.9).

Найдем теперь из условий совместности (10.4) скорости пластических де­ формаций. Учитывая, что при заданных тепловых воздействиях оболочка не из­ гибается, заменим условие (10.4) эквивалентным ему требованием равенства пулю

244

скоростей полных деформации (включающих упругие, пластические и тепловые составляющие) во всех точках оболочки и во все моменты времени:

4-Ях- Я„,х)+Кх+ ahм £= °;

= crs sign е^г, поскольку скорости окружных и осевых пластических деформаций

одинаковы в соответствии с (10.34). Подставляя в подынтегральное выражение значения напряжений (10.32) и учитывая выражения (10.34) и (7.13), получим, что функционал (10.35) равен.нулю. Таким образом, напряжения (10.31), (10.32) и Скорости (10.34) удовлетворяют всем условиям, необходимым (и достаточным) для их реализации в стабилизированном цикле.

Определим теперь параметры предельного (по условиям прогрессирующего разрушения) цикла. В соответствии с выводом, сделанным в § 42 [см. соотноше­ ния (10.22) и (10.27)1, они могут быть найдены с помощью теорем Мелана или Контера, если в последних заменить переменные упругие напряжения (в дан­

ном случае и о£0) напряжениями офт, охх, показанными на рис. 10.1. При

этом могут быть использованы формулировки теорем, полученные в гл. 1, и все те методы' расчета, которке применялись в § 30, 31 для решения аналогичной задачи упругой приспособляемости (приближенные — кинематический и стати­ ческий— методы линейного программирования, принцип максимума Понтрягина). Воспользуемся, в частности, приближенным кинематическим методом. Пусть механизм прогрессирующего разрушения соответствует (7.4), Преобразования, аналогичные рассмотренным в § 30, приво­ дят к следующей верхней оценке условий прогрессирующего разрушения:

245

Для вычисления нижней оценки условий прогрессирующего разрушения при развитом знакопеременном течении с помощью соотношении (10.22), анало­ гичных теореме Мелана, найдем вначале (как и при решении задачи упругой при­ способляемости в § 30 и 31) фиктивную поверхность текучести в пространстве усилий. При этом используем переменные напряжения (10.31) и (10.32). Опуская соответствующие преобразования, отметим, что «квадратная» аппроксимация фиктивной поверхности текучести принимает здесь' вид

вотличие от (7.29) и (7.30) в задаче упругой приспособляемости. Максимизация нагрузки Р с учетом выражений (10.37) и условий равновесия (7.37), выполнен­ ная с помощью принципа максимума Понтрягина (так же, как это было сделано

в§ 31), приводит к (10.36), т. е. верхняя оценка условий прогрессирующего раз­ рушения совпадает с нижней.

Пример 2. Найдем условия прогрессирующего разрушения при развитом знакопеременном течении для круглой пластинки, защемленной по краю и ис­ пытывающей действие постоянной равномерно распределенной нагрузки р при циклических изменениях температуры (7.2) и перепадах температур (7.12). Задача упругой приспособляемости для этой пластинки была решена в § 26.

Можно убедиться (см. пример 1), что радиальные и окружные напряжения

впластине в стабилизированном цикле в условиях знакопеременного течения

оценку прогрессирующего разрушения, предполагая, что приращения проги­ бов Дву в предельном цикле распределяются по радиусу пластинки по линейному закону (т. е. пластинка превращается в коническую оболочку):

R2QZ

Для получения нижней оценки условии прогрессирующего формоизменения найдем вначале фиктивную поверхность текучести в усилиях, используя пере­ менные напряжения (10.30)— (10.32) и предполагая, что пластинка работает только на изгиб. Область, ограниченная этой поверхностью при условии теку­

где Mj!, Д1ф — не зависящие от времени составляющие изгибающих моментов.

Условия равновесия, записанные для не зависящих от времени усилий, имеют в дайной задаче вид [55]

В соответствии с теоремой Мелана требуется найти максимальное значе­ ние нагрузки р при выполнении условий (10.42), (10.43). Решим эту задачу с по­ мощью приближенного статического метода. Предположим, что не зависящие

от времени окружные изгибающие моменты М<р постоянны по радиусу пластинки (Л4?р = С = const). Тогда из уравнения (10.43) следует, что

Максимизируя параметр нагрузки /; с учетом ограничений (10.42), получим оценку условий прогрессирующего разрушения, совпадающую с правой частью неравенства (10.41). Это совпадение показывает, что получено полное (точное) решение задачи.

Результат расчета иллюстрирует линия B D на рис. 10.3. Для сравнения здесь же показана диаграмма упругой приспособляемости, полученная в § 26.

с последующим быстрым охлаждением в воде с температурой 20е С. Градиенты температуры в направлении оси трубы считаются пренебрежимо малыми. Тре­ буется найти значения нагрузки /?, соответствующие началу прогрессирующего разрушения, в зависимости от заданной

температуры ГгаахДля решения этой задачи воспользу­

емся приближенным кинематическим методом, принимая механизм прогрессирующего раз­ рушения соответственно (4.57). Условия прогрессирующего разрушения (1.67) и (10.27) запишем в виде одного неравенства, принимающего с учетом предполагаемого механизма разрушения вид

Р > [ ~~ min [<*s — (ttyt — cTrx)J Ф»

х г X

Ро

(10.45)

где р — текущий радиус, отнесенный к на­ ружному радиусу трубы; р0— относитель-

247

ный радиус внутренней поверхности трубы; афТ, ап — соответственно окруж­ ные и радиальные напряжения от неравномерного нагрева, вычисленные

для стабилизированного цикла при Абф = Дег = 0. Очевидно, что при отсутст­ вии знакопеременного течения афТ и оп совпадают с термоупругими напряжени­ ями. В условиях знакопеременного течения они могут быть найдены путем решения вариационной задачи (см. § 41) либо с помощью поциклового расчета кинетики деформирования, выполненного вплоть до стабилизации напряже­ ний. Здесь используются данные, полученные из расчета кинетики деформиро­ вания, выполненного по методике, изложенной в статье [19]. Минимальные (за цикл) значения величин, стоящих в квадратных скобках в правой части нера­ венства (10.45), показаны на рис. 10.4 (они обозначены через ср (р) и отнесены к пределу текучести материала при нормальной температуре). Сплошная и штри­

§ 44. Применение методов линейного программирования для расчета стабилизированных циклов при заданных внешних воздействиях

Неклассическая вариационная задача минимизации функцио­ нала (10.12) при ограничениях (10.2)—(10.4), (10.6), (10.9), (10.11) при использовании кусочно-линейных поверхностей текучести сво­ дится (в дискретной форме) к задаче линейного программирова­ ния. При этом алгебраизация-исходных соотношений выполняется с помощью приемов, рассмотренных в гл. 3 и 4 в связи с решением аналогичных задач приспособляемости. Однако число переменных и ограничений оказывается здесь существенно большим, чем в указанных задачах приспособляемости, поскольку скорости неупругих деформаций в стабилизированных циклах могут отли­ чаться от нуля не только при экстремальных значениях нагрузок

248

и температур, и поэтому соответ­ ствующие ограничения должны быть записаны для ряда моментов вре­ мени. Большое число ограничений требует в общем случае применения специальных методов линейного про­

простой форме (как и аналогичный расчет условий приспособляе­ мости в § 14) основные особенности метода. Предел текучести идеализированной диаграммы деформирования os считается по­ стоянным.

Пример. Как и в примере, рассмотренном в § 14, стержневая система, изобра­ женная на рис. 3.1, подвергается действию постоянной нагрузки Р при цикли­ ческих изменениях температуры первого стержня t (т). Зависимость параметра температуры q = a E t (x)/crs от времени показана на рис. 10.6.

Примем для определенности следующие конкретные числовые значения ге­ ометрических характеристик системы:

(10.46) имеют следующий вид (индексы соответствуют номерам стержней сог­ ласно рис. 3.1):

249

Представим скорости пластических деформаций в виде разностей неотрицатель­ ных скоростей растяжения и сжатия (аналогичный прием использовался в гл. 4 при расчете условий приспособляемости):

Тогда минимизируемый функционал (10.12) с учетом ассоциированного закона течения (10.6) принимает вид

гичных задач приспособляемости этот этап расчета отсутствовал, поскольку ис­ пользовались преобразованные формулировки теорем (1.49) и (1.69)]. Примем, что период цикла Т = 1 и состоит из ряда последовательных интервалов времени Дтд, k = 1, 2, ..., п (рис. 10.6), на каждом из которых составляющие скоростей пластической деформации ^ip* ^ic постоянны. Это предположение позволяет за­ менить интегралы по времени в выражениях (10.51), (10.52), (10.55) конечными суммами и оперировать в дальнейшем не скоростями, а приращениями пласти­ ческих деформаций и остаточных напряжений на каждом шаге по времени [ус­ ловия (10.49) и (10.50) при этом также записываются в приращениях].

На следующем этапе расчета из системы ограничений исключаются равен­ ства (10.48)—(10.50), (10.52) и (10.53). При этом приращения остаточных на­ пряжений выражаются через приращения пластических деформаций с помощью системы уравнений, аналогичной (10.49), (10.50) (по своему характеру эта за­ дача подобна задаче термоупругости). Исключение остальных уравнений произ­ водится так же, как в задачах приспособляемости, рассмотренных в гл. 3 и 4. В итоге приходим к задаче линейного программирования, включающей целевую функцию, полученную из (10.55), и ограничения (10.51), записанные для ряда моментов времени (границ интервалов Дт^). Эта задача содержит две свободные

переменные (остаточные напряжения р? в двух стержнях из трех), число несво­ бодных переменных (10.54) равно числу неравенств (10.51).

Результаты решения, выполненного по правилам, изложенным в § 13,

2 5 0

Рассмотрим расчет цилиндрической оболочки, подвергающейся повторным воздействиям заданного температурного поля (рис. 10.7), движущегося вдоль ее оси. Принимается, что на эта­ пах возврата температур к первоначальным значениям (после каждого прохода «температурного фронта») термоупругие напря­ жения в оболочке практически отсутствуют. Требуется определить напряжения и скорости пластической деформации (а также ее приращения за цикл и размахи) в оболочке после стабилизации в зависимости от температуры tv

Напряжения и скорости деформаций, возникающие при дей­ ствии квазистационарного температурного поля, при использо­ вании подвижной системы координат (связанной с этим полем) не зависят от времени. В этом случае вместо изменения состояния оболочки во времени достаточно рассмотреть соответствующее изменение по координате для состояния в фиксированный момент времени. Начало подвижной системы координат (х = 0) поме­ стим, как показано на рис. 10.7, на границе двух участков обо­ лочки с различными законами изменения температуры. При этом состояние оболочки в начале и в конце цикла характеризуется напряжениями и деформациями вдали от сечения х = 0, т. е. там, где они перестают изменяться. Поэтому условия равновесия (10.2) для не зависящих от времени остаточных напряжений при­ нимают в данной задаче вид

Условия равновесия для переменных составляющих остаточ­ ных напряжений рх, рф, играющие при использовании подвижной системы координат роль уравнений (10.3), запишем в виде [55]

251