книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

нескольких сотен циклов наблюдались трещины, ориентированные

которое несовпадение фактических зон появления трещин с расчет­ ными можно объяснить, по-видимому, непостоянством объема за­ ливаемого в чашу шлака (колебания уровня от цикла к циклу со­ ставляли по наблюдениям до 20 см и более).

Отсчет координаты I иллюстрирует рис. 8.13, указанные выше значения этой координаты отвечают сечениям чаши, расположен­ ным под опорным кольцом и несколько выше него (см. рис. 8. 11), в зоне уровня шлака при полной заливке.

Для расчета условий прогрессирующего формоизменения чаши воспользуемся приближенным кинематическим методом. Рассмо­ трим класс механизмов разрушения (рис. 8.16), который опреде­ ляется следующими соотношениями-:

где Aw — приращение перемещения в направлении нормали к сре­ динной поверхности; Аи — приращение перемещения в направле­ нии меридиана.

212

Приращения меридиональных и окружных деформаций, соот­ ветствующие указанным приращениям перемещений, определяются с помощью соотношений [25]

Меридиональные .и окружные напряжения на фиктивной по­ верхности текучести a j,, aft* вычислим вначале, предполагая, что в предельном цикле скорости пластической деформации в каждой точке оболочки отличны от нуля только при одном каком-либо зна­ чении термоупругих напряжений. Тогда режимам течения (8.33),

Подставляя выражения (8.36) и (8.37) в условие (8.35) и учиты­

213

h

Решение уравнения (8.38) относительно неизвестной п выпол­ няется путем подбора, поскольку при различных значениях п минимумы'подынтегральных выражений для одной и той же точки оболочки могут достигаться в различные моменты времени цикла.

ственно выражениям (8.33), (8.34)1 и прямолинейные участки

214

ления множителя п в этом случае воспользуемся общим выраже­ нием (8.35), полагая в нем Аи' = 0 и определяя приращения дефор­ маций с помощью соотношений (8.32) по приращениям перемеще­ ний, показанным на рис. 8.17. В частности, для участка CD

С учетом размеров интересующей нас верхней части чаши усло­ вие (8.45) выполняется, если г (а + г) > (5 -И0) /i2.

Определение напряжений на фиктивной поверхности текучести a?*, a&*> отвечающих (согласно ассоциированному закону течения) приращениям деформаций (8.42), (8.43) и (8.44), (8.45), поясняется на рис. 8.18. При выполнении этого расчета приближенное определение напряжений на фиктивной поверхности текучести (8.36), (8.37) не использовалось, если фиктивная поверхность текучести в данной точке обо­ лочки оказывалась при заданных значениях п

Лег>0

Г л а в а 9

Некоторые контактные задачи теории приспособляемости

Это приложение теории приспособляемости получило развитие после известной работы Джонсона [17]. Исключительное исполь­ зование статической теоремы в задачах данного типа, характерное для этой статьи и других известных публикаций (например, [49]|, затрудняло определение типа предельных состояний, реализуемых при нарушении условий приспособляемости. В свою очередь, это препятствовало объективному сопоставлению полученных резуль­ татов с имеющимися экспериментальными данными [35, 39, 77]. Ниже делается попытка устранить отмеченный недостаток путем использования кинематической теоремы.

§ 38. Характеристика проблемы. Статический метод исследования

В современных машинах многие детали работают в условиях контактных воздействий, которые часто являются повторными, а в некоторых случаях связаны с взаимным перемещением тел. Подвижные контактные нагрузки возникают в шариковых и роли­ ковых подшипниках, зубчатых и червячных передачах, валках прокатных станов, на рельсовом транспорте и т. д. Как показывает опыт, в определенных условиях они могут приводить к износу, а также к недопустимому (по условиям эксплуатации) накоплению деформации и специфическим видам разрушения.

Теоретическому и экспериментальному исследованию пластиче­ ского деформирования в условиях многократного контактного нагружения посвящен ряд публикаций. В частности, в работе Джон­ сона [17] изучались условия приспособляемости идеального упру­ гопластического полупространства, по поверхности которого мно­ гократно прокатывается жесткий длинный цилиндр, нагруженный распределенной вдоль его оси нагрузкой интенсивности Р (рис. 9.1). При этом трение не было принято во внимание (Т = 0). Его влия­ ние в дальнейшем было рассмотрено в работе [49] на примере обка­ тывания двух цилиндров. Предполагалось, что сдвигающая сила пропорциональна нормальной нагрузке Р и коэффициенту тре­ пня /.

217

Анализ условий приспособля­ емости в работах [17, 49] основы­ вался на статической теореме Мелана. Было принято, что форма контакта и связанное с ней распре­

При действии на цилиндр радиуса R погонной силы Р (рис. 9.1) на поверхности полупространства образуется узкая полоса кон­ такта, параллельная оси цилиндра. Ее ширина 2а согласно извест­ ной теории Герца в упругой стадии деформирования опреде­ ляется формулой

контактное давление р распределяется по эллиптическому закону

где р о = 2Р/ла.

Давление на поверхности приводит к возникновению в полу­ пространстве напряжений; при их определении в случае цилиндра большой длины естественно исходить из предположения о плоской деформации. Распределение «упругих» напряжений с учетом сил трения (/ Ф 0), возникающих в контакте, определяется форму­ лами [49 ]

— f J ? «> <*- т - % - о»

= Iх К + Оу).

На основании этих формул на рис. 9.2 построены графики, иллюстрирующие изменение напряжений в зависимости от коорди­ наты х при фиксированном расстоянии от поверхности полупро-

218

странства у (некоторые индексы здесь и ниже опущены). На рис. 9.3 показаны изменения экстремальных значений указанных напряжений в зависимости от координаты у. Сплошные линии на графиках соответствуют случаю, когда трение отсутствует (f = 0), штриховые — коэффициенту трения / = 0,2. Напряжения на рис. 9.2 определены при тех значениях координаты у (т. е. на той «глубине»), при которых касательные напряжения %ху достигают наибольшей (по модулю) величины: при / = 0 (сплошные линии)

в направлении оси х кривые на рис. 9.2 определяют соответствую­ щее изменение напряжений в каждой точке рассматриваемого слоя, поскольку в этих условиях реализуется распределение напряже­ ний, квазистационарное относительно подвижной системы коорди­ нат, связанной с цилиндром.

Контактное нагружение характеризуется большими значе­ ниями гидростатического давления и концентрацией напряжений в поверхностных слоях вблизи зоны контакта. При отсутствии сил трения максимальные касательные напряжения возникают под контактом (х = 0) на глубине у = 0,78а и равны [38]

(9.4)

В соответствии с критерием текучести Треска (1.14) на глу­ бине у = 0,78а при соответствующей нагрузке Р начинается пла­ стическая деформация; по мере дальнейшего увеличения нагрузки пластическая зона будет приближаться к поверхности.

Предельное давление, при котором возможна приспособляе­ мость при повторных прокатываниях цилиндра, в работе [17] было определено следующим образом. Отыскивалось такое распределе­ ние не зависящих от времени самоуравновешенных напряжений, которое в сумме с напряжениями от внешней нагрузки, определяе­ мыми формулами (9.3) при / = 0 (поскольку трение не учитыва­ лось), дает безопасное (внутри поверхности текучести) распреде­ ление всюду во все моменты времени цикла:

где k—пластическая постоянная; о^, сг2, сг3—главные напряжения. Поле остаточных напряжений было задано в виде

где F t (у), F 2 (у) — некоторые неизвестные функции координаты у. Независимость остаточных напряжений от координат л*, г оче­ видна, как и тождественное равенство нулю компонентов руг = = рхг. Условия рху — 0 и = 0 следуют при этом из уравнений

равновесия плоской задачи

219

Значения главных компонентов суммарных (о$х + Ри) напря­ жений следующие:

(здесь индексы при главных напряжениях не связаны с алгебраи­ ческими значениями последних).

Надлежащий выбор функции р2 = F 2 (у) позволяет добиться того, чтобы главное напряжение сг3 оказалось промежуточным между а г и сг2 по крайней мере в опасных точках (в соответствую­ щие определяющие моменты времени) и, следовательно, не фигу­ рировало в критерии текучести Треска. Тогда условие (9.5) прини­

брано таким, чтобы в определяющие моменты времени для соответ­ ствующих точек полупространства первое слагаемое в левой части неравенства (9.9)" обращалось в нуль. Если принять, что в этот момент времени суммарные напряжения достигают поверхности текучести (а в течение остального времени цикла находятся внутри

220

вления может быть получено от­ сюда как при отсутствии сил трения [17], так и при их нали­ чии [49] с помощью выражения

дятся вычисленные величины предельного по условию приспособ­ ляемости давления и координат х, у определяющей точки на кри­

подвижной нагрузке) играет роль текущего времени.

В работе [17] проводилась проверка ограниченности суммар­ ных напряжений во все моменты времени цикла путем графического построения траекторий напряжений на девиаторной плоскости (рис. 9.4). Здесь окружность отвечает критерию текучести Мизеса (1.13), а описанный вокруг нее шестиугольник — критерию Тре­ ска (1.14) при том же значении пластической постоянной k = т5. Остаточные напряжения на глубине у = 0,5а были приняты сле­ дующими: рх = 0,134ро, рг = —0,04р 0. Точки J T, F , STтраекто­ рии напряжений отвечают соответственно точкам полупростран­

понентов напряжений в указанных двух состояниях (симме­ тричных относительно точки контакта) одинаковы, касательные напряжения имеют противоположные знаки. Если учесть, что предельное соотношение (9.10) относится именно к касательному напряжению, это означает, что приспособляемость в данном случае (f = 0) лимитируется условием знакопеременного течения. К со­

221