книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

Напомним, что координата х отсчитывается здесь от края оболочки, а не от сечения, где приложена нагрузка Р.

Если а лежит вне интервала (0,/) или \LX = 0 (в сечении х = / пластический шарнир не возникает), то по всей длине оболочки реализуется второе условие (7.53), т. е. имеет место «управление без переключений».

Интегрируя систему уравнений (7.37) с учетом выражений (7.53), условий непрерывности mj, г°х и краевых условий, после

172

как при

'=У~г * --- о" я*

состоит из двух участков: при малой интенсивности теплосмен она по-прежнему определяется выражением (7.56), при большей — выражением (7.57) (разрушение с образованием пластического шарнира). Наконец, при / > 4 пластический шарнир в действи­ тельном механизме разрушения возникает при любой интенсив­ ности теплосмен.

Отметим, что некоторые особенности решения аналогичных задач при более сложной аппроксимации фиктивных поверхно­ стей текучести [например, типа (7.35)] рассматривались в статье [58], где показано, что в общем случае задача сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений.

§ 32. Приспособляемость цилиндрической оболочки при подвижной механической нагрузке

Как известно, при чисто механическом переменном нагружении различие между предельными значениями нагрузок, определен­ ными по условиям «мгновенного» и прогрессирующего пластиче­ ского разрушения, часто оказывается незначительным. Естест­ венно ожидать, что при подвижных механических {как и тепловых [7]} нагрузках это различие может стать более существенным,

173

некоторых технологических процессов (прокатка, волочение и др.), элементов конструкций, подвергающихся переменным контактным воздействиям (например, обоймы роликовых и шариковых под­ шипников)*.

В качестве примера исследуем поведение длинной цилиндри­ ческой оболочки (рис. 7.14) под действием двух одинаковых кольцевых нагрузок, медленно перемещающихся вдоль ее оси от одного края к другому. Расстояние между силами сохраняется при движении неизменным и равным 21. «Проходы» повторяются в одном и том же направлении многократно.

Полагая оболочку бесконечно длинной, найдем с помощью приближенного кинематического метода предельное значение параметра нагружения по условию прогрессирующего разру­ шения. Очевидно, что в данном случае реализуется квазистационарное (относительно подвижной системы координат, связанной с нагрузкой) распределение напряжений. Соответственно 1меха­ низм прогрессирующего разрушения должен состоять в равномер­ ном (происходящем по мере продвижения нагрузки) пластическом обжатии оболочки в окружном направлении (см. рис. 7.14). При­ ращения окружной пластической деформации связаны с радиаль­

Примем, что приращения за цикл осевых перемещений и соот­ ветственно осевых пластических деформаций (Де*) во всей оболочке равны нулю. Тогда условие начала прогрессирующего формо­ изменения (1.69) преобразуется к виду

h

Необходимость в интегрировании по длине отпадает вслед­ ствие отмеченной независимости определяющих напряжений о *х

* Некоторые контактные задачи теории приспособляемости при подвиж­ ных нагрузках будут рассмотрены в гл. 9.

174

(и, следовательно, напряжений сГф* на фиктивной поверхности текучести) от осевой координаты. Найдем входящие в подын­ тегральное выражение окружные напряжения на фиктивной по­ верхности текучести (о!},*,) используя ^критерий Треска (1.16). Если вектору деформации Ае'ф < 0, Де* = 0 отвечает [согласно ассоциированному закону течения в форме (1.57)] гладкий уча­ сток фиктивной поверхности текучести, то

где сГфх — мгновенное распределение окружных «упругих» на­ пряжений в оболочке от действия двух сил 0,5Р. Максимизация правой части выражения (7.60) должна производиться по пара­ метру;:, играющему в этой задаче роль текущего времени, поскольку при перемещении нагрузки в каждом фиксированном попереч­ ном сечении последовательно возникают напряжения, отвечающие

их мгновенному распределению по всей длине оболочки (a ^ =

= 4 ° м )- Если вектору, имеющему проекции Аеф < 0,Ае* = 0, соот­

ветствует угловая точка фиктивной поверхности текучести, то выражение (7.60), как было показано в гл. 1, определяет верхнюю оценку для окружных напряжений на фиктивной поверхности текучести.

Подставляя выражения (7.58) и (7.60) в равенство (7.59), получим

Суммарные напряжения от двух нагрузок 0,5Р могут быть легко найдены на основе принципа суперпозиции. Используя решение

175

у\\фх) — -^-Ф1Р(х + /)]Н 2~ ' И М * — Л);

Ф (Рх) = e-p* (cos рх + sin рх);

(7.66)

ф (рл:) = е-Р* (cos Рд;— sin рд;).

Графики функций фх (Рд;) и фх (Рх) даны на рис. 7.15 для значе­ ний р/=0,3 и р/=0 (соответственно сплошные и штриховые линии).

Объемлющее распределение переменных упругих напряжений ОфТ, входящих в выражение (7.61), получим из формулы (7.62):

Напомним, что величина рх определяется расстоянием от рас­ сматриваемого сечения до кольцевых нагрузок (рис. 7.14), при­ чем — оо < рх < оо. В подвижной системе координат объемлю­ щее распределение окружных напряжений отвечает одним и тем же значениям рх, но разным моментам времени т.

Результаты подсчета объемлющего распределения напряжений

ОфТ по толщине оболочки для случая, когда р/ = 0,3, иллюстри­ рует сплошная линия на рис. 7.16. Прямая ЛВС отвечает Рх = 0 (в части сечения, где — 1 < £ < 0,5, минимальные значения ок­ ружных упругих напряжений достигаются в тот момент, когда сечение оказывается на одинаковом удалении от обеих нагрузок).

После подстановки выражения (7.67) в условие (7.61) и вы­ полнения необходимых вычислений получим верхнюю оценку для параметра нагрузки по условию прогрессирующего разру­

Vi(fix). %(Р*)

176

и дает предельное значение параметра нагрузки р° = 1,19 (опас­ ные точки — на внутренней поверхности оболочки.) Таким образом, несущая способность оболочки при (3/ = 0,3 лимитируется усло­ вием прогрессирующего формоизменения.

Для сравнения приведем результаты расчета предельной нагрузки при «мгновенном» пластическом разрушении, полученные для механизмов разрушения, показанных на рис. 7.17:

довольно значительное. Пластически деформировать трубу при подвижной нагрузке значительно легче, для этого требуется при­ ложение существенно меньших (примерно в 1,5 раза) сил.

Сопоставим предельные условия (знакопеременного течения, прогрессирующего и «мгновенного» пластического разрушения) при различных способах приложения подвижной кольцевой на­ грузки. Для этого приведем результаты анализа, аналогичного рассмотренному выше, при действии одной кольцевой нагрузки

интенсивностью Р (т. е. при / = 0) и равномерно распределенной на-

р

грузки интенсивностью -у- (рис. 7.18). В каждом случае имеются

в виду повторные воздействия (проходы) нагрузки, не изменяю­ щейся по величине.

Функции, определяющие мгновенное распределение напряже­ ний при I = 0 (там, где они не совпадают с соответствующими значениями при (3/ = 0,3), показаны на рис. 7.15 штриховыми

177

а опасность знакопеременного течения в соответствии с условием (7.68) — наибольшим изменением (за цикл) локальных напряже­ ний, можно ожидать, что уменьшение параметра р/ (при неизмен­ ной величине суммарной силы) окажет более сильное влияние на условие знакопеременного течения. Действительно, вычисления показывают, что при р/ = 0 параметры нагрузки для предель­ ного цикла имеют следующие значения: р* = 0,95 (прогресси­ рующее разрушение) и р° = 0,82 (знакопеременное течение). «Мгновенное» пластическое разрушение наступает при р 0 *=& 1,28. Таким образом, несущая способность оболочки лимитируется в данном случае условием знакопеременного течения (а не про­ грессирующего разрушения, как было при РI = 0,3).

При переходе к подвижной распределенной нагрузке (см. рис. 7.18) неравномерность мгновенного распределения (по ко­ ординате х) «упругих» напряжений уменьшается, и знакоперемен­ ное течение в связи с этим перестает лимитировать несущую способность. Одновременно с увеличением параметра рI сокраща­ ется разница между предельными значениями параметра нагрузки, соответствующими прогрессирующему и «мгновенному» пласти­ ческому разрушению. Так, при р/ > 3 эта разница составляет всего около 5%.

§ 33. Прогрессирующее разрушение конической оболочки

Следуя работе [59], рассмотрим общую схему приближенного расчета условий прогрессирующего разрушения осесимметричной конической оболочки переменной толщины (рис. 7.19) при повтор­ ных механических и тепловых воздействиях. Пусть меридиональ­

ные и окружные напряжения в оболочке а (/$, Офт от переменных внешних воздействий известны с точностью до параметров qt (т) (i = 1, 2, ..., п):

178

динат I и г, отсчитыва­ емых вдоль меридиана сре­ динной поверхности обо­ лочки и по нормали к ней.

Предел текучести ма­ териала оболочки osty за­ висящий от температуры t и изменяющийся (в общем случае) в течение цикла, представим в виде

Gst = as — A^s/» * =

(7.72)

где os — предел текучести при минимальной температуре цикла; Aas/ — изменение предела текучести, определяемое для каждой точки в соответствии с действующей (переменной). температурой и длительностью нагружения согласно § 21 и 22.

Расчет условий прогрессирующего разрушения выполним на основе статической теоремы. Начнем его с построения (прибли­ женным методом, изложенным в гл. 2) фиктивной поверхности взаимодействия. Полагая, что функция Да5/ известна для всех точек оболочки (поскольку закон изменения температуры задан) и основываясь на условии (1.44), можно ее отнести-к «упругим» напряжениям от изменяющихся внешних воздействий. Иными словами, можно рассматривать Aast в качестве некоторых допол­ нительных (фиктивных) напряжений, суммируя их с напряжени­

ями Пусть действительная поверхность текучести для конической

оболочки (в пространстве усилий) задана. Обозначим нормальные силы и изгибающие моменты на этой поверхности (отнесенные

изменения предела текучести, определяются равенством типа (2.19) /I

f шах {[о\х + Aas,] (Aet + г Ди/) + [а $ + Да*,] (Д<?ф + г Диф)} dz =

179

Область допустимых значений не зависящих от времени уси­ лий /г°/, /гф, пг% т% ограничивается в соответствии с выражениями (2.18) фиктивной поверхностью взаимодействия, в уравнении которой

/г0/*, nip*, /П|.5с, т ф*) необходимо с помощью ассоциированного за­ кона течения найти для каждой заданной точки действительной поверхности взаимодействия соотношения компонент вектора при­ ращения обобщенной деформации (Aeh Деф, Диь Дхф) и подста­ вить их в равенство (7.73). Затем из последнего находятся уси­ лия от переменных внешних воздействий, которые подставляются в выражения (7.74).

На рис. 7.20—7.23 схематически показаны результаты постро­ ения области допустимых значений постоянных усилий при ус­ ловии текучести Треска (1.16) для случая симметричного цикла

(рис. 7.23). Очевидно, что при рассматриваемых воздействиях точки фиктивной поверхности, отвечающие чистому растяжению

180

Действительная поверхность взаимодействия оболочки, как известно, может быть аппроксимирована следующей кусочно­ линейной поверхностью, вписанной в нее и совпадающей с ней в точках, отвечающих чистому растяжению и чистому изгибу [81 ]:

шах[(|яф| 4 -|/пф|), (\п ,\-\-\т,\), (|яф— п,| +

Воспользуемся аналогичной аппроксимацией для описания фиктивной поверхности взаимодействия, т. е. заменим последнюю кусочно-линейной поверхностью, имеющей с действительной по­ верхностью общие точки при чистом растяжении и изгибе:

шах

Здесь fiix, /гфт, m,Tl т фТ, (/г, — /гф)т и ( т , — т ф)т — усилия от переменных воздействий, вычисленные с помощью выражения (7.73) и соответствующие следующим соотношениям обобщенных деформаций:

Де, ф 0; Деф = Дх, = Дхф = 0; Деф Ф 0; Де, = Ах, = Ахф = 0;

Дх, ф 0; Де, = Деф = Дхф = 0;

(7.77)

Дхф Ф 0; Де, = Деф = Дх, = 0; Де, = — Деф; Дх, = Дхф = 0;

Дх, = — Дхф; Де, = Деф = о.

181