книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

Отметим, что характеристики группового времени рас­

пространения в пределах диапазона также мало откло­ няются от идеальной характеристики /З.п=1. Зависи­ мость (2-39) позволяет выбирать порядок системы п по

ДОПУСТИМЫМ Величинам Д^.и И Дфмакс

2-5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ, ИМЕЮЩИХ

АМПЛИТУД НО-ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАДАННОГО

ВИДА

Некоторое представление о переходном процессе можно составить по расположению полюсов и нулей, не рассчитывая ПХ. При этом в отдельных случаях удает­ ся получить наглядный геометрический образ размеще­ ния полюсов. Так, известно [16], что при аппроксима­ ции по Тейлору полюсы изображения располагаются на окружности единичного радиуса с центром в начале ко­

рого расположена вдоль мнимой оси системы коорди­ нат.

Изучим расположение полюсов в ситеме с оптималь­ ной монотонной АЧХ. Для этого необходимо решить уравнение R n (—р2) = —1. Легко определяются полюсы

системы третьего порядка, так как на основании (2-7) имеем уравнение

газ[ (—р2—а )3+ а3]= —1,

откуда

Если рассматривать уравнение (2-40) относительно р2, то нетрудно установить, что его корни р2т^ расположены

на вещественной оси и смещен на величину а влево от

мнимой оси. Заметим, что при аппроксимации по Тей­ лору квадраты полюсов также лежат на окружности

единичного радиуса, как и сами полюсы pTj. На рис.

2-9 показано расположение корней уравнения (2-40)

и Р „ ,= ± }/Г Р \

91

Чтобы получйтЬ полюсЫ, бобтЁётствуЮщиё хараКтёрИ* стическому уравнению вида 1+^i/? + ^2P2+ p 3= 0, необ­

ходимо найденные координаты умножить на нормирую­ щий множитель j/'T^zr: 1,26.

На рис. 2-10 приведено для сравнения расположение полюсов систем с оптимальной монотонной АЧХ (отме­ чены точками) и плоской АЧХ (отмечены крестиками).

Полюсы системы с опти­ мальной монотонной харак­ теристикой расположены ближе к мнимой оси, чем си­ стемы того же порядка с плоской характеристикой. Поэтому у первой из них следует ожидать меньшую длительность фронта. Кроме того, абсциссы вещественно­ го полюса и пары комплекс­ ных полюсов в этой систе­ ме отличаются мало, поэто­ му переходный процесс дол­ жен быть близок к моно­ тонному.

Во всех системах нечет­ ного порядка получается та­ кое же расположение квадратов полюсов на окружно­

сти, когда корни производной монотонного полинома сливаются в один корень четной кратности. Однако при рассмотрении АЧХ уже отмечалось, что такая монотон­ ная характеристика не является оптимальной. Анало­ гичное положение имеет место и во временной области. Например, для системы пятого порядка с монотонной АЧХ вида

М (х) = V\ + (х1— - .

где а=0,5, получаем Тф=2,243, £i=13,7% , в то время как система с оптимальной монотонной АЧХ, т. е. с двумя двукратными корнями производной

имеет лучшие параметры Тф=2,183, 5i=4,7% . При не­ совпадении кратных корней, а также для всех систем

92

4ётВе|)тбго поряДка, у которых производная АЧХ имёёт некратный корень х= 0, не удается получить наглядный геометрический образ расположения полюсов. В табл. 2-9 приведены характеристические полиномы систем п-го порядка с оптимальной монотонной характеристи­ кой и координаты полюсов. Там же даны величины пер­ вого выброса в переходной характеристике и длитель-

Рис. 2-10.

ность фронта для систем с оптимальной монотонной и плоской характеристикой. Сопоставление этих данных позволяет сделать вывод, что во всех случаях в системе с оптимальной монотонной АЧХ как выброс, так и дли­ тельность фронта получаются меньше, чем в системе с плоской АЧХ. Наличие нулей несколько изменяет по­ ложение полюсов и величии В\ и т$. Но общие законо­

мерности улучшения переходного процесса сохраняются. Исследуем расположение полюсов, когда АЧХ аппро­ ксимируется с помощью полинома Сп(х) (2-12). Заме­

ним в выражении

М‘ = - у '

1“Ь Сп(х)

хна —р2 и определим корни знаменателя

1 | М — ар* + Ь) + с __р

93

+4 ,0 9 0 9 /3 + —0,1922+1,4588/

+1,7534/Т4+-/75

Тогда получим:

Тп(-а р * + Ь ) = - ( c + d ) = - Л

или, иначе,

cos [п arccos (—ар2+ b) ]= —А .

Так как |Л|>1, то аргумент косинуса — комплекс­

тогда

cos [п (cti-f-/аг) ] = cos non ch /гаг— —/ sin nai sh /гаг=—A .

Отсюда

cosnai ch паг——A; sin nai sh /гаг=0.

Из второго уравнения имеем sinm xi=0, поэтому nai^nm . Так как всегда chmx2>0, то первое уравнение имеет решение только при cosnai>0. Значит, a i= jim/n,

94

где m — нечетное число. Тогда сЬпа2=Л и аг=агсЪА/п.

Теперь из (2-41) определяем

Если обозначить вещественную часть квадрата по­ люса (2-42) через а коэффициент мнимой части через v, то можно показать, что эти координаты удовлетворя­ ют уравнению эллипса

В отличие от эллипса, на котором располагаются полюсы при аппроксимации вида (1+ £27’2п(х))-1, боль­ шая ось эллипса (2-43) расположена вдоль веществен­ ной оси, центр его сдвинут на величину b/а в сторону

от мнимой оси и на нем располагаются не полюсы, а их квадраты. Для нахождения полюсов воспользуем­ ся известной алгебраической формулой

v x + K - ~ ( / r " Y 4- 1 +

Тогда получаем координаты полюсов, соответствую­ щих полиному Сп(х). Его старший коэффициент равен

2n- iand~i—cnni поэтому найденные координаты надо

2п

умножить на нормирующий множитель N =)/спл .

В табл. 2-10 приведены координаты полюсов, вычи­ сленных по формуле (2-44) с учетом множителя N для

АЧХ с неравномерностью ДМ =±0,05, ±0,1, ±0,2, а так­ же характеристические полиномы и величины В\ и Тф

для систем 3—б-го порядков,

95

2-6. СИНТЕЗ ПАРАМ ЕТРОВ КОРРЕКЦИИ

Зависимости между коэффициентами числителя и знаменателя изображения ПХ, приведенные б табл. 2-5—'2-7, позволяют опреде­ лить параметры коррекции конкретной схемы путем решения системы

последовательной по напряжению обратной связью. Изображение его ПХ имеет вид:

коэффициенты токораспределения для средних частот;

Ао—!14*Япоуово

— глубина обратной связи;

1

14~ РюУкю (1 — у»)

— коэффициент местной обратной связи, комплексная переменная

S=/CQТэквЬ

После повторной нормировки коэффициентов («2-45) получаем си­ стему уравнений

Параметры х, п, уэ и Ао являются исходными данными; z к q — искомыми параметрами коррекции; fi(gi) и U(gi)' — аппроксимирую­

щие полиномы, соответствующие заданной неравномерности АЧХ. В данном случае значительное упрощение расчета достигается бла­ годаря тому, что коэффициент dz зависит только от одного искомого параметра г. Поэтому решение сводится к поиску такого коэффи­ циента git при котором значения dz, найденные из выражений (2-47)

(2-48). После того, как значение gi и соответствующая ему величи­ на 2 определены, вычисляется di по формуле («2-49), затем находит­ ся параметр q из выражения (2-46). Таким образом, решение систе­

мы нелинейных уравнений (2-46)—'(12-49) сводится к одномерному

ряда встречающихся на практике значений у» и ДМ. Сплошными кривыми показаны графики для уэ= 0,6, пунктирными уэ= 0 ,7 и штрихпунктирньши для уэ=0,8.

Определим параметры коррекции усилителя с автотрансформа­ торной коррекцией (рис. 4-7), обеспечивающей АЧХ заданной формы. Переходная характеристика этого усилителя рассматривалась в гл. 1. Методика расчета и программа остаются такими же, лишь заменяются аппроксимирующие полиномы. Поэтому рассмотрим только основные особенности полученных результатов.

При заданном значении х в ламповом усилителе (<7=0) могут существовать два варианта параметров kt, kz, k3t «соответствующих двум значениям gi. Меньшему значению gi соответствует меньшая

полоса пропускания, и наоборот. Зеркальная ламповая схема при любых требованиях к форме АЧХ имеет полосу пропускания и па­

из вариантов зеркальной схемы имеет такое же значение коэффици-

98

Рис. 2*12.

г

Рис. 2-13.

99

бита gi, параметра kz и граничной частоты (в пределах погрешности расчета с помощью аппроксимирующих полиномов), -как и для пря­ мой схемы. Второй вариант зеркальной схемы отличается от вариан­ тов прямой схемы как значениями параметров, так и граничной частотой. Следовательно, при заданном значении х может существо­ вать до четырех вариантов реализации АЧХ требуемой формы. Эти

особенности схемы иллюстрируются табл. 2-11 для оптимальной мо­ нотонной АЧХ.

Варианты 4 и 8 рекомендуются к использованию как обеспечи­ вающие наибольшую полосу пропускания для заданной формы АЧХ при наименьших значениях параметров коррекции.

Таким образом, исследование конкретных усилителей с помощью аппроксимирующих полиномов позволяет обнаружить многозначность решения и провести сравнительный анализ отдельных вариантов. На рис. 2-15—'2-118 изображены графики для инженерного расчета уси­ лителя с оптимальной монотонной АЧХ. Приведены лишь варианты, соответствующие большей полосе пропускания л меньшим значениям параметров коррекции для зеркального варианта (сплошные линии). Штрихпунктирными линиями приведены аналогичные графики, соот­ ветствующие синтезу плоской АЧХ. Можно заметить, что оптималь­ ная монотонная АЧХ позволяет получить полосу пропускания на уровне 0,7 на 23—28% больше, чем плоская АЧХ. Для равноволно­ вых АЧХ с AM=0,05 аналогичные графики приведены в [36].

100