книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

в интервале [0, 1]. Как известно, в единичном интервале из всех полиномов п-то порядка со старшим коэффи­

циентом единица наименьшее возможное уклонение от нуля, равное 2~2n+1, имеют полиномы т*п(*). Пониже­ ние степени полинома при экономизации производит­ ся на основе приближен­ ного равенства

хпя*хп—т*п(я)

с наибольшей абсолютной

ляет определенное неудоб­ ство, так как т*п(0) фО и

после нескольких последовательных снижений степени л; накапливается некоторая постоянная составляющая и тогда М (0) Ф 1. Во избежание этого перенесем начало

координат и изменим масштаб так, чтобы новый поли­ ном Т°п(х) удовлетворял равенствам

Рп(0)=0; Р я(1)=7,*п(1).

Определим правила перехода от полинома Т*п(х*) к Т°п(хР). Нули несмещенного полинома Чебышева Тп(х) располагаются в точках

х , = cos ( 2 / - 1)'^-.

С увеличением интервала растет уклонение полинома тп(х) от нуля и точность аппроксимации снижается.

Чтобы потеря точности была минимальной, перенесем Начало координат в ближайший нул^

Л==53Ш w

71

график которого показан на рис. 2-3. Нули полинома расположены в точках

п

По сравнению с полиномом т*п(х*) уклонение воз­ растает в cos-2n(я/4/г) раз. Однако ухудшение точности

.аппроксимации незначительно, так как полиномы при­ меняются при п ^ 4 . Например, для п= 4 уклонение со­

ставляет 0,00912 вместо 0,00781, т. е. возрастает на 17%. С увеличением п это различие сглаживается.

В дальнейшем в процессе экономизации будем исполь­ зовать полиномы Т°п(х°) и считать, что

Хп« Хп—Х°п(х) = Qn (х) .

Коэффициенты q™ полиномов Qn (x) до п—9 и ма­

ксимальные уклонения Лпмакс приведены в табл. 2-3. Впервые метод экономизации для исследования широко­ полосных усилителей применен в ,[29].

Установим зависимости (2-20) между коэффициен­ тами числителя и знаменателя АЧХ, используя полино­ мы Qn(x)- В качестве примера, иллюстрирующего ме-

72

Таблица 2-3

тодику расчета и возможную область применения мето­ да, рассмотрим АЧХ системы, имеющей изображение с двумя нулями и четырьмя полюсами. В единичном; интервале ее можно представить формулой

/=i

а *5 в полученном выражении — полиномом

5

q i % x i *

/=i

Затем приравняем коэффициенты при одинаковых «степенях в левой и правой частях полученного прибли­ женного равенства. Тогда получим систему уравнений

* + 0 +^44^1*) А + (Р34?15+

Р**Я*ъ9\Ь”}“P44<7le) А

(2-27)

Р*4 ~|“ (р*4 “{-Р**Я*й) А ”1" (Р*4

-J- р » *Я + РиЯмЯм + = В*.

73

Выражения (2-27) связывают коэффициенты Лг* и £* Простой линейной зависимостью. Однако при рассмотре­ нии АЧХ в качестве обобщённых параметров целесооб­ разнее использовать коэффициенты изображения ПХ. Во-первых, при использовании зависимостей между ко­ эффициентами числителя и знаменателя изображения ПХ полностью унифицируется методика расчета пара­ метров конкретных схем при исходных требованиях, заданных во временной или частотной областях. Во-вто­ рых, коэффициенты изображения проще выражаются через физические параметры схемы, чем коэффициенты АЧХ. Поэтому заменим коэффициенты Лг- и B i их вы­

ражениями через коэффициенты дважды нормированно­ го изображения:

A i= (g2i—2gz)q; A2—g\q2\ B i= \ d h —2d2)q\

B2=•'(dS,—2did$H* 1)q2] £ 3— (d2s—2d2) p3; В 4='p4.

Тогда последнее уравнение системы (2-27) будет со­ держать только одно неизвестное q\

qk—g\ (р24 р34р45+ р44^56^45+ Р44^4б) р2—

— (Рз4+Р44р4б) (gh—2g2)q—Р44-О ,

если заданы коэффициенты gi и g2. Остальные уравне­

ния (2-27) образуют систему

d‘, — 2 d ,= — ;

Ч

d*s — 2 d ,d ,= ~ — 1;

d U - Ы г — Цг

q*

С тремя неизвестными di, d2, d2. Эта система легко ре­

шается исключением двух неизвестных. Вообще приме­ нение метода экономизации к системе я-го порядка при­ водит к решению уравнения п-й степени относительно масштабного множителя q и нескольких уравнений бо­

вать несколько решений. Из них отбираются те, которые удовлетворяют условиям устойчивости [30]. Полученные результаты приведены в табл. 2-5 в виде функциональ­

74

ных зависимостей d{—fi(gu £2) при АЛ1= ±0,01, а так­

же для оптимальных монотонных АЧХ.

При больших допустимых отклонениях АЧХ метод экономизации вносит существенную погрешность. На рис. 2-4 показана АЧХ системы четвертого порядка для ДМ= ±0,05 . Исходная АЧХ при gi = 0 имеет требуемые отклонения от единичного уровня. С увеличением gi

АЧХ, полученная путем экономизации исходного выра­ жения, имеет первый максимум больше допустимой ве­

личины и при g i= l,5 достигает MMai<c=U. В случае ДМ>0,05 погрешность экономизации еще больше. По­ этому коэффициенты di для ДМ—±0,05 и ±0,1, приве­

денные в той же таблице, получены численными мето­ дами, изложенными в § 2-3 и свободными от указанного недостатка.

б) Подвижный интервал аппроксимации

В практике исследования и расчета широкополосных усилителей часто встречается необходимость рассмо­ треть небольшое число АЧХ, выраженных полиномами высокого порядка. Определение экстремумов АЧХ и граничной частоты при этом затруднительно, а исполь­ зование ЭВМ нецелесообразно из-за малого количества вариантов. В таком случае весьма эффективно приме­ нение подвижного интервала аппроксимации.

75

в этом интервале старший коэффициент, равный едини­ це, придется все члены полинома умножить на 1п. Его

максимальное уклонение изменяется во столько же раз. Поэтому полином nn(X i)= lnP n (Xi) уклоняется от нуля

на величину

| Ал макс | fа,Ь] — 1п | А п макс

которая очень быстро убывает при уменьшении интер­ вала аппроксимации и повышении степени полинома. Из вышесказанного следует также, что сжатие какоголибо рассматриваемого интервала до единичного с це­ лью применить метод экономизации эквивалентно рас­ ширению интервала аппроксимации. Поэтому такое пре­ образование значительно увеличивает погрешность и вследствие этого нецелесообразно.

Сужать интервал аппроксимации, естественно, мож­ но лишь в том случае, когда хотя бы грубо приблизи­ тельно известно положение искомой экстремальной точ­ ки или граничной частоты. Известно, что граничные ча­ стоты по уровню 0,7 систем 3—6-го порядков, имеющих АЧХ вида

1 + 2 Dix‘,

укладываются в интервал [1, 5; 2, 5]. Поэтому если по­ рядок системы определен, то положение экстремумов и граничная частота известны с точностью, достаточной для применения подвижного интервала аппроксимации. Тогда в области исследуемого экстремума АЧХ аппро­ ксимируется выражением

а в области граничной частоты (рис. 2-5) выражением

+ G",*,

о +

76

из которых легко определяются значения xig, х1в и Мд.

Погрешность расчета при этом в большинстве случаев достаточно мала, если единичный интервал аппрокси­ мации просто сдвигается в положение [а, я+1] без из­

проверяется попаданием рассчитанной точки в интервал аппроксимации. Наибольшая погрешность при экономи­

для определения х^, Ммй1 С и Хщ. Сначала определим

интервал, в котором возможен подъем АЧХ. На верхней и нижней границах этого интервала соблюдается ра­ венство

_____1 -f- GjXi________i Q 1-}- D\%\-f- Z?2X2i-p x»i

которое приводит к уравнению

(Gi—Di) Xi—D2x2i—x3i= 0.

Отсюда

77

значение Хъ, при котором Af=MMaKC, можно принять ве­

личину

Тогда АЧХ принимает вид:

12,5xi

-Г - 1,8125-f 0,1715x,+ 0,984x2,

Отсюда из условия Af,*(xio) = 0 получаем Xi3=0,99 и M23=ll,'179. Расчет без применения экономизации требует решения кубического уравнения и дает Xi3=0,994, Л423=И,4794. Для определения XiD пе­ реведем полиномы т*з(х) и x*2'(^) в интервал ['2, 3]. Тогда в этом интервале получаем:

лг3^7,5л:2—18,5625а:+ 15,1563;

х2~5х —6,125;

Отсюда при М(х\п) = 0 ,7 0 7 получаем X m = 2 ,8 4 . Точный расчет требует решения не линейного, а кубического уравнения и дает хщ = = '2 ,8 4 5 . Погрешность при определении xi3 и Хщ очень мала, поэтому подвижный интервал аппроксимации удобно использовать для на­ хождения х\ъ при изменениях параметров схемы, .нахождения коэф­ фициентов АЧХ, при которых М0 имеет заданную величину, и т. д.

2-3. СИНТЕЗ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК С ЗАДАННЫМИ ЭКСТРЕМУМАМИ

Как уже отмечалось, при допустимых отклонениях АЧХ от единичного уровня на величину ДМ^О,05 не удается получить равноволновую характеристику с по­ мощью метода экономизации. Нахождение равноволно­ вой АЧХ является задачей, родственной задаче чебышевского приближения, хотя не тождественной ей. При нахождении чебышевского приближения минимизирует­ ся максимальное отклонение, в данном же случае это

78

бТкЛонёние фиксируется. Отыскиваются коэффициенты дробно-рациональной функции, позволяющие получить заданные максимальные отклонения внутри выбранного интервала и удовлетворяющие условиям физической реализуемости. При этом число точек, образующих альтернанс1, не превышает п+ 1 независимо от степени

полинома числителя, так как отклонение

пт

2 B/xi - 2 Aixi

1 - Af* { х ) = ^ ---------------------

1 + 2 B,xi

/=1

не может иметь более п нулей внутри конечного интер­

вала. Кроме того, АЧХ .принято нормировать так, чтобы выполнялось условие М (0) = 1. В конце интервала исхо­

дя из допустимых искажений также задается значение ординаты АЧХ. Для упрощения расчета в дальнейшем принято условие М(1) = 1. Это не отражается на конеч­ ных результатах, так как после получения АЧХ с задан­ ными отклонениями независимо от первоначальной нор­ мировки она представляется в виде

Указанные условия накладывают два дополнитель­ ных требования на форму АЧХ, поэтому альтернанс можно получить только в п—1 точке.

Итак, необходимо решить следующую задачу: по за­ данным значениям коэффициентов Агнайдем коэффи­ циенты £ 3-, обеспечивающие в единичном интервале п—1

экстремум функции

т

1 + 2 Aix‘

1 + 2 B/xi

/=1

1 Альтернансом называется совокупность точек, в которых раз­ ность между аппроксимируемой /*(*) и аппроксимирующей f(x) функцией A= f ( x ) —*P{x) принимает равные по абсолютной величине Амако и чередующиеся по знаку экстремальные значения.

79

равный l+AM/t. Для этого воспользуемся следующим алгоритмом.

1. Задается начальное приближение коэффициентов обеспечивающих существование п— 1 экстре­

мума произвольной величины с чередующимися по зна­ ку отклонениями от единичного уровня. Экстремум с наибольшей абсциссой обязательно должен быть ма­ ксимумом.

2. Вычисляется п—1 точка экстремума. Проверяет­

ся, равны ли экстремальные отклонения заданным величинам AMh (k=\, ..., п— 1). Если равенство выпол­

нено с заданной погрешностью е, то процесс заканчи­ вается, если нет — выполняется следующий этап.

3. Вычисляются -новые значения коэффициентов BWj, при которых аппроксимирующая кривая проходит

через точки с абсциссами, равными абсциссам найден­ ных экстремумов, и ординатами, равными 1 +A M h. Ко­ эффициенты находятся из системы, содержащей п ли­

нейных уравнений:

4. Повторяется второй этап.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, по­ ка не будет получена АЧХ с заданными отклонениями. В качестве начального приближения используются ко­ эффициенты Bj, найденные аналитически в § 2-2,в при

А{—0.

Изложенный алгоритм представляет собой модифи­ кацию второго алгоритма Е. Я. Ремеза [7] и относится к той же группе модификаций, что и алгоритм А. А. Ланнэ [31], отличаясь от него классом аппроксимирующих функций и требованиями к форме характеристик. Алго­ ритм очень эффективен: подтягивание происходит за 2—4 итерации в зависимости от начального приближе­ ния и порядка системы.

80