книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

рассматривать влияние rii+ti— 1 коэффициента. Для это­ го потребуется ( т + п—1)Х(я—1) полиномов, опреде­

ляющих чувствительности. Несколько облегчает поло­ жение то обстоятельство, что влияние параметров, из­ меняющих форму АЧХ, обычно сильнее сказывается в высокочастотной области. Поэтому в первом прибли­ жении можно ограничиться определением нестабильно­ сти только последнего экстремума (максимума) АЧХ. Накладывая ограничения на параметры элементов, при которых изменение этого экстремума остается в преде­ лах допусков, можно в значительной степени стабилизи­ ровать всю АЧХ.

•Приведенные в табл. 4-6 полиномы, аппроксимирую­ щие зависимости чувствительностей от коэффициентов изображения ПХ, имеют большие погрешности, чем по­ линомы, связывающие коэффициенты изображения или же определяющие граничную частоту (длительность фронта). Среднеквадратичные относительные погрешно­ сти здесь достигают 11%, а максимальные— 17%. Это не препятствует применению указанных полиномов. Да­ же при отклонениях коэффициентов изображения ПХ на 20% это приведет к дополнительной ошибке еДОп= = 17% *0,2=3,4%, что вполне допустимо.

4-4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ РАЗБРОС ХАРАКТЕРИСТИК УСИЛИТЕЛЯ

В настоящее время имеется ряд методов для опре­ деления статистических характеристик разброса выход­ ных параметров усилителей при случайных изменениях элементов [56, 57]: метод наихудшего случая, метод гра­ ничных испытаний, метод статистических испытаний, метод натурных испытаний, гибридный статистический метод физического моделирования. Наиболее универ­ сальным из них является метод статистических испыта­ ний, заключающийся в том, что на ЭВМ моделируются как законы распределения элементов, так и работа элек­ тронной цепи. При этом многократно вычисляются вы­ ходные параметры, соответствующие случайным сочета­ ниям элементов. По результатам испытаний определяет­ ся вероятность попадания выходного параметра устрой­ ства в поле допуска или же по заданной вероятности рассчитывается требуемое ноле допуска. Практически при использовании этого метода приходится проводить очень большое число испытаний, что далеко не всегда

161

возможно даже с помощью ЭВМ. Число необходимых испытаний N при заданной достоверности а, погрешно­ сти оценки 8 и вероятности события Р определяется по

формуле [69]

(1 - Р ) Р

(1 — а) е2

Оно очень быстро возрастает при увеличении а и уменьшении е. Так, например, для того чтобы с досто­ верностью а=0,98 погрешность оценки не превышала 0,02 при Р = 0,4, необходимо провести 30 тыс. испытаний.

В [58] приводятся случаи расчета даже с 150 тыс. испы­ таний. Такое число испытаний вполне допустимо, если расчет ведется по сравнительно несложным формулам и каждый вариант вычисляется за время порядка не­ скольких миллисекунд. Переходные же процессы в це­ пях рассчитываются во много раз дольше. Поэтому и при значительно более скромных требованиях к досто­ верности и погрешности оценки применение метода ста­ тистических испытаний становится затруднительным.

В статистических методах поиска оптимума [59] вре­ мя расчета сокращается с помощью специальных прие­ мов— накопления, самообучения и др. В данном случае эти приемы недостаточно эффективны, так как число испытаний все равно остается неприемлемо большим. Значительного сокращения машинного времени можно достигнуть, используя излагаемый ниже аппарат слож­ ных чувствительностей.

элементов схемы, удерживая только линейные члены:

... + а пхп п случайных переменныхxq определяются так:

162

Применим формулы (4-35) и (4-36) для определения математических ожиданий и дисперсий параметров уси­ лителя. Как показано в предыдущем разделе, отклоне­ ния длительности фронта или граничной частоты опре­ деляются с учетом нормировки по оси времени или ча­ стот. Отклонения же выброса и спада вершины не зави­ сят от указанной нормировки. Поэтому для общности

а=\/п при определении отклонений длительности фрон­ та, а = — 1 /п при определении отклонений граничной ча­ стоты и а —0, когда рассматриваются отклонения выбро­

са или спада вершины. Параметры цепи будем полагать распределенными по нормальному закону.

(4-37)

или, если перейти к среднеквадратичным отклонениям,

здесь rqr — коэффициент корреляции величин xq и л>.

Аналогичное соотношение связывает и максимальные отклонения параметра думакс с отклонениями бхдмакс.

В некоторых случаях отклонения параметров элементов схемы можно считать некоррелированными (ГдГ= 0). На­ пример, величины пассивных элементов схемы, не опре­ деляющих режим работы активных элементов, некорре-

163

лк£>ованы с параметрами активных элементов. Чаще всёго величины пассивных элементов некоррелированы между собой. Тогда выражения (4-37) и (4-38) значи­ тельно упрощаются. Определим влияние квадратичных членов отклонения выходного параметра. Рассмотрим случай, когда изменяется только один из элементов xq — —х. Тогда из (4-9) с учетом (4-12) получаем:

т г \ / т

6 у = А 6 х + В (6 х )2.

Тогда уточненное значение математического ожида­ ния равно:

среднеквадратичное отклонение

По сравнению с величинами т у и оЬу, определенными

при учете только линейных членов, в выражениях (4-40) и (4-41) появились поправочные множители \-\-Во21х и

164

правки практически можно не учитывать. Более подроб­ но количественные соотношения рассматриваются на примере конкретного усилителя.

Определим среднеквадратичное отклонение длительности фронта и выброса ПХ усилительного каскада (рис. 4-8) на транзисторах ГТ308А с эмиттериой коррекцией при заданных среднеквадратичных отклонениях параметров транзистора и пассивных элементов. Изо-

Pil)

бражение ПХ этого каскада имеет вид [42]:

J65

ЁеЛйчйнЫ du gu %k$, йае ё^занЫ t Пе^Ьичнымй параметрами

Xq не непосредственно,* а через некоторые промежуточные параметры. Поэтому^каждое слагаемое Sx в выражении (4-43) рассчитывается

хя на (Тв и суммировать соответствующие им чувствительности, най­

денные с учетом промежуточных параметров, через которые эти пути проходят. Например, сопротивление гн влияет на величину ае через параметры qe и аое, поэтому

Втабл. 4-7 приведены экспериментальные данные минимальных

имаксимальных значений отклонений Ьхч параметров транзисторов

ГТ308А и заданные отклонения пассивных элементов усилителя, влияющих на величины Тф и В . Можно заметить некоторую асимме­ трию в распределении Ро, Ли, hzz, что объясняется нелинейной зави­

симостью их от первичных физических и производственно-технологи­ ческих параметров, распределенных нормально [61]. На основании экспериментальных данных среднеквадратичные отклонения параме­ тров транзистора, занесенные в табл. 4-7, определены в виде

Для описания разброса пассивных элементов цепей в литерату­ ре используются как нормальное [56], так и равномерное [62] рас­ пределения. Мы в дальнейшем будем использовать равномерное рас­ пределение, так как в условиях производства радиодеталей часто

167

берется выборка элементов с меньшим допуском из партии с боль* пшм допуском [63]. Использование нормального закона для описания распределения в таких выборках дает заниженные значения диспер­ сий. Поэтому среднеквадратичное отклонение # а, Сэ, Rn определено

в виде

макс

Х= УТ •

Вэтой же табл. 4-7 приведены значения чувствительностей S я *

вычисленные с учетом промежуточных переменных — коэффициентов изображения ПХ. Среднеквадратичное значение погрешности дли­ тельности фронта вычислено по формуле (4-38)

<7 = 1

Для определения среднеквадратичного отклонения выброса исполь­

Значения абсолютных чувствительностей выброса к коэффициен­ там gi и di определяем с помощью зависимостей 5, б и 1'1, 12

табл. 441.

Для рассматриваемой схемы это дает 7*2; = 8,432 (20.33), 7*; = *= — 30,75(— 48,54). В табл. 4-7 приведены также чувствительности Тв/ . Используя их, найдем

Учет разброса только этих параметров позволяет значительно упрос­ тить весь расчет. В табл. 4-8 приведены соответствующие данные,

атакже результаты экспериментальной проверки.

Вприведенном примере не учтены корреляционные связи между параметрами транзистора, так как в число параметров, существенно влияющих на Т ф и В, -входит только один из них — Ск.

Таким образом, применение относительных и абсолют­ ных чувствительностей первого порядка позволяет с до­ статочной точностью определить среднеквадратичные

Т а б л и ц а 4-8

отклонения параметров ПХ усилителей, выявить параметры, существенно влияющие на переходный процесс, и обоснованно устанавливать допуски на эти параметры.

4-5. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ

Задача минимизации разброса параметров ПХ и АЧХ, вызванного разбросом параметров активных и пассивных элементов усилителя, в некоторой степени аналогична задаче минимизации детерминированных отклонений. В данном случае изменяется оптими­ зируемая функция — вместо абсолютного или отно­ сительного отклонения выходного параметра у миними­

зируется дисперсия или среднеквадратичное значение указанных отклонений. Задача оптимизации несколько облегчается тем, что влияние квадратичных членов раз­ ложения в ряд функции y —ip(*i, .... хп) на дисперсию

и математическое ожидание выходного параметра зна­ чительно слабее, чем влияние их на максимальное от­ клонение того же параметра. Поэтому можно, не допу­ ская большой погрешности, учитывать только линейные члены разложения.

В зависимости от требований, предъявляемых к уси­ лителю, возможны различные варианты оптимизации. В простейшем случае отыскивается минимум дисперсии рассматриваемого параметра без каких-либо дополни­ тельных требований. Это задача может быть решена классическими методами математического анализа, но особого практического интереса не представляет. Опти­ мизация по какому-то критерию в данном случае приво­ дит к недопустимому ухудшению других параметров, не входящих в критерий. Значительно чаще возникает не­

170