книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

третьего порядка можно описать аналитически:

где dimm(gu g2, dz) — уравнение гиперповерхности рав­ ного подъема АЧХ; dlMauC(gu gb dz) — уравнение гипер-

поверхности равного минимума АЧХ. В табл. 3-4 пред­ ставлены коэффициенты аппроксимирующих полиномов

di = c0+ d d h + c2g2i+ csgh + c^dzgi+

+ Cbd2gz-\-Cogigz+ Cid32+ Csg3i+ c§d3z+

+ cwdz+ Cugi+Cizg%

описывающих эти гиперповерхности в области 0 ^ g i^ 3 , d2^ 3 . На рис. 3-6 показаны линии М макс—const и МШт = const при g i—gz= 0. Между этими линиями за­

ключена область допустимых значений коэффициентов изображения ПХ, при которых неравномерность АЧХ не превышает заданную величину 1±ДЛ1 Точки Е, С и F

соответствуют равноволновым АЧХ с ДМ=0,05; 0,1; 0,2.

Воспользуемся линиями равных подъемов для исследования и оптимизации промежуточного каскада транзисторного широкополос­ ного усилителя с последовательной индуктивной коррекцией. Его эквивалентная схема приведена на рис. 3-7, а изображение ПХ имеет ВИД (43]:

121

2,2

2,1

2,0

13

W

17

как это следует из табл. 3-4, будет:

di=2,76—>1Д9d2+0,308d22—0,022dV,

!,18«*2<3.

Исследуем случай х=0,5, соответствующий самому неблагопри­ ятному сочетанию частичных емкостей. Так как

ГПУ]

6, _ 1+ (1 + т))2

dz= |У^т ,

]^6Г т

то уравнение связи примет вид:

При перемещении по линии равного подъема АЧХ в направ­ лении АВС (рис. 3-6) дважды нормированная граничная частота Q«a

возрастает. Возможное перемещение ограничивается точкой С, в ко­ торой Л1мин=0,9. Поэтому целесообразно рассматривать рбдасть*

№

прилегающую к этой точке. Точка Ё соответствует характеристике

^ “ . 1— 1,054x2 + х3

у которой выполнено условие D i—d*i—2^2=0. Для точки А выпол­ няется условие Dz= dH—2 d i= 0 и соответствующая АЧХ

1 — 0,587х + х3

Равноволновая АЧХ с отклонением ±0,1

получается, когда &\ и d2 соответствуют точке С. Параметры кор­ рекции пг и т), дважды нормированная граничная частота 2т» норми­

рующий множитель и граничная частота 2 В, соответствующая

L

Рис. 3-7.

трем указанным вариантам, приведены в табл. 3-5 [Qn выражается s безразмерных единицах а>/?э.в(Сп+С22)].

соответствует и максимальная достижимая частота Йв=2,42 при за­ данной неравномерности АЧХ. На этом же графике отмечена точ­ ка D, соответствующая АЧХ

п Ь -

аппроксимированной по Тейлору.

123

Отметим значительное расширение полосы пропускания опти­ мальной АЧХ (равноволновой) по сравнению с плоской АЧХ.

В системах более высокого порядка получение аналитических ограничений вида (3-17) или (3-118) затруднительно.

3-4. ДИСКРЕТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПО ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ

КРИТЕРИЯМ

При расчете элементов усилителя, влияющих на искажения в области больших времен, обычно стремятся уменьшить величины емкостей. Между тем конечной целью является снижение таких показателей, как мас­ са (Р), объем (V), стои­ мость (5) конструкции. Ука­ занные параметры уменьша­ ются с уменьшением емко­ стей, но не пропорционально.

Поэтому естественно в каче­ стве критерия оптимума при­ нять суммарную массу, объ­ ем или стоимость конденса­ торов усилителя.

Определим емкости кон­ денсаторов усилителя так, чтобы подъем вершины А+ и спад Д- импульса задан­

ной длительности не превышали допустимую величину, а выбранный критерий был минимальным. Поставлен­ ная задача относится к области дискретного програм­ мирования с -нелинейными, аналитически не заданными функцией цели и ограничениями. Общие методы реше­ ния задач такого рода пока неизвестны.'Для оптимиза­ ции емкостей разработана процедура «л-мерный куб» [8]. В случае трех емкостей алгоритм поиска оптимума можно интерпретировать геометрически (рис. 3-8). Сна­ чала рассчитываются параметры коррекции и величины конденсаторов аналитическими приближенными метода­ ми или с помощью процедуры «Импульс» [8].^.‘Получен­ ные значения емкостей округляются до ближайших, но­ миналов, имеющихся в ряде конденсаторов выбранного типа, обусловленном ГОСТ. Точка [Сщ]пв пространстве CiCjCi представляет геометрический образ полученного

набора конденсаторов. Она находится в центре куба, на гранях которого располагаются соседние дискретные но-

124

МШШы. Ё качестве Исходных Данных процедуры вво­ дятся массивы С, Р, V и 5 рассматриваемого ряда. За­ тем производится перебор точек Ciji. Из рассмотрения

исключаются точки, для которых не уменьшается хотя бы один индекс i, / или /, так как в этом случае не мо­

жет уменьшаться целевая функция (масса, объем или стоимость). Такие точки на рис. 3-8 отмечены крестика­ ми. Для рассматриваемой точки (набора конденсаторов} сначала проверяется величина критерия. Если она умень­ шается, то уточняется параметр коррекции так, чтобы получить

и находится спад Ь г импульса длительности ти. Если Ьг

превышает допустимое значение, то точка исключается, если нет — в нее переносится центр куба (точка[ CijJn+1) . Направленный перебор продолжается до получения ми­ нимума критерия или выхода на границу массива. По сравнению с простым перебором, применяемым в зада­ чах дискретной оптимизации, число рассматриваемых вариантов резко сокращается. Эффект оптимизации сильно зависит от выбранного типа конденсаторов, ис­ пользованного ряда номиналов и длительности усили­ ваемых импульсов. Это объясняется тем, что масса, объем и стоимость конденсаторов различных типов поразному зависят от их емкости. Выполненные расчеты показывают, что оптимум по критериям min Р , min V,

'ф

Рис. 3-9.

125

minS чаще всего достигается в близких точках. Умень­ шение целевой функции за счет дополнительной оптими­ зации составляет 10—40%. Так, например, расчет уси­ лителя рис. 3-9 с учетом истоковых цепей i/?ИСИ и по­ следующая дискретная оптимизация дают следующие результаты. При заданных Д+=5%, ти=10 мс, Д“ =5%, А о=5, /Со=100, С31=Сз2 для усилителя на транзисторах

КП102 получены следующие значения емкостей, округ­ ленные до ближайшего большего номинала по iTOCTl

6’и1—100 мкФ, Си2=50 мкФ, С31=С з2=1000 пФ. Е сли ис­

=154 г, объем У=50 см3. После оптимизации уменьши­ лись емкости СИ1=50 мкФ, Сиг—25 мкФ и возросла ем­ кость С3=2500 пФ, но оптимизируемые критерии умень­ шились и составляют Р —82 г, К=28 см3.

Оптимизация осуществляется очень быстро, так как начальные значения емкостей, полученные по методике § 1-2,6, достаточно близки к оптимальным по применен­ ному критерию. Встречаются случаи, когда первый на­ бор емкостей, полученный после синтеза параметров и округления, является оптимальным.

3-5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассматриваемые задачи оптимизации параметров импульсных и широкополосных усилителей по своему содержанию полностью соответствуют задачам, решае­ мым методами нелинейного программирования. Эти ме­ тоды весьма универсальны и, как следствие, в частных случаях алгоритмически избыточны. Поэтому в начале главы рассмотрены пути оптимизации, максимально ис­ пользующие особенности оптимизируемых объектов. Но, как указано в § 3-2, возможны ситуации, когда в рас­ сматриваемом усилителе не реализуются АЧХ и ПХ с заданным числом экстремумов требуемой величины. Тогда невозможно применение аппроксимирующих поли­ номов или сжатие области ограничений. Методы нели­ нейного программирования не предъявляют требований к числу экстремумов, а только ограничивают их величи­ ну. Рассмотрим некоторые основные идеи этих методов. Все они являются многошаговыми методами, определяю­ щими стратегию последовательного улучшения критерия

126

оптимума у, называемого целевой функцией, и нахожде­ ния оптимального значения умакс (или ут т ) с опреде­

ленной степенью точности. На каждом шаге возникает вопрос о направлении в пространстве параметров x(k\

в котором следует сделать очередной шаг, и о выборе величины шага Дх(Ч В зависимости от того, какая ин­ формация используется для нахождения направления и величины шага, определяющего последующее значение параметров

xW= xW+ hx(k\

методы нелинейного программирования подразделяются на градиентные, безградиентные (к ним относятся ме­

в данной точке (иногда и в нескольких предшествующих точках). Градиентом grad у целевой скалярной функции у(хи ..., хп) в точке (xi, ..., хп) называется вектор,

проекции которого на оси координат равны производ­ ным функции у по соответствующим переменным

ду \ д хп )'

Градиент направлен по нормали к поверхности по­ стоянного уровня у(х 1, ..., хп) = const, проходящего че­ рез точки Хи ..., хп, и указывает направление наиско­

рейшего возрастания целевой функции. Эго обстоятель­ ство и используется при построении алгоритма поиска оптимума.

Безградиентные методы используют информацию о значениях только целевой функции в данной и одной или нескольких предшествующих точках, производные целевой функции не используются.

В методах случайного поиска оптимум или направле­ ние движения к нему определяется путем перебора слу­ чайных значений независимых переменных.

Возможны самые различные комбинации этих мето­ дов, применяемые на отдельных этапах оптимизации.

Если функция цели многоэкстремальна, то примене­ ние градиентных методов при заданной начальной точке приводит к нахождению одного из экстремумов. Остает­ ся неопределенным, является ли этот экстремум дейст­

127

вительно оптимальным во всей области определения не­ зависимых переменных (глобальным оптимумом) или же значение целевой функции оптимально только в ближай­ шей окрестности экстремума (локальный оптимум). До­ статочно полно разработанных детерминированных ме­ тодов отыскания глобального оптимума пока нет. Ука­ жем лишь метод «тяжелого шарика» [44], требующий тщательного подбора расчетных констант. При приме­ нении градиентных методов можно с определенной ве­ роятностью ответить на вопрос, является ли найденный оптимум глобальным, повторяя поиск из разных началь­ ных точек, достаточно удаленных друг от друга. В безградиентных методах для этой цели применяется пред­ варительное обследование пространства независимых переменных. В методах случайного поиска оптимизация повторяется несколько раз и результаты сопоставляются между собой. Тем не менее нет полной гарантии, что та­ ким путем найден глобальный оптимум. Только хоро­ шее знание конкретных особенностей объекта оптими­ зации позволяет с полной уверенностью подтверждать глобальность оптимума.

Значительные трудности возникают в процессе опти­ мизации при наличии ограничений в виде равенств или неравенств. Градиентные методы в исходной форме не учитывают ограничений. Поэтому в них вводятся допол­ нительные шаги, устраняющие возникшие нарушения ограничений и возвращающие процесс оптимизации внутрь области ограничений. При этом алгоритм значи­ тельно усложняется.

В настоящее время имеются ряд хорошо разработан­ ных методов нелинейного программирования и их много­ численные модификации. Они подробно описаны в спе­ циальной математической литературе и в достаточном объеме изложены в технической [44—47]. В [48] приведе­ ны алгоритмы ряда методов, написанные на языке «Алгол-60». Поэтому детально рассматривать эти мето­ ды нет необходимости. Остановимся только на методе обобщенного критерия, имеющем некоторые преимуще­ ства по сравнению с другими при оптимизации электрон­ ных цепей.

Метод обобщенного критерия (метод «штрафа») по­ зволяет не рассматривать отдельно вопрос о нарушении ограничений, а включает ограничения вместе с целевой функцией в некоторый обобщенный критерий. Перспек-

123

тивность и общность этого метода и его модификаций подтверждаются рядом работ [45, 49—51]. Рассмотрим

При этом как функция цели, так и ограничения мо­ гут быть заданы либо аналитически, либо алгоритмами для их вычисления. Образуем сложный критерий в виде

т

слагаемые apj/j, ухудшающие значение критерия («штраф»). Для того чтобы «штраф» был ощутим и при

так, чтобы при определении grad Q вне области ограни­ чений для всех независимых переменных выполнялось условие

Критерий (3-19) представляет собой функцию с т - мерным оврагом. Поэтому здесь применяется методика слежения за оврагом [48]. Ширина оврага зависит от ве­ личины коэффициента а, выбор которого в значитель­ ной мере определяет успешную оптимизацию. При ма­ лом а достаточно быстро находится оптимум параме­

тра Q, но остаются нарушенными некоторые ограниче­ ния Г}. «Штраф» за невыполнение ограничений при этом

оказывается недостаточным и мало изменяет суммарное значение критерия. При больших значениях а овраг становится очень узким и наступает рыскание по скло­ нам оврага. Это явление не дает опуститься на дно оврага, где расположен оптимум. Поэтому применяется

Осторожная тактика: сначала оптимизация ведется при малом а, полученный результат является исходным при повторении процесса с удвоенным значением а. Потом а еще раз удваивается и т. д. до получения оптимального значения при выполненных ограничениях. При этом все время контролируется процесс оптимизации и при воз­ никновении рыскания уменьшается шаг.

Процесс оптимизации начинается из произвольной точки, в которой могут быть нарушены ограничения. Эта точка расположена на склоне оврага. Из нее произво­ дится спуск на дно оврага (локальный поиск) упрощен­ ным градиентным методом, так как высокая точность на данном этапе не требуется. Затем в окрестности ис­ ходной точки с помощью случайного числа выбирается новая точка, из которой также осуществляется спуск на дно оврага. Полученные две точки на дне оврага позволяют определить направление, в котором делается овражный шаг к оптимуму (глобальный поиск). Этот шаг приводит в точку, как правило, не лежащую на дне оврага. Поэтому из полученной точки снова производит­ ся спуск на дно оврага, определяется направление, де­ лается следующий овражный шаг и т. д. Поиск заканчи­ вается, когда улучшение критерия в результате выпол­ ненного шага становится меньше некоторой заданной величины. Программа оптимизации методом обобщенно­ го критерия и пояснения к ней приведены в приложе­ нии 3.

Т а б л и ц а 3-6

В качестве примера в табл. 3-6 приводятся результаты оптими­ зации усилителя (рис. 3 -2 ) методом обобщенного критерия при допу­

стимой неравномерности АЧХ ДМ^0,О5. В данном случае выбран критерий

т

Q = - 2 + a 2 P /| Ш ю -Ш \

/= 1

130