книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

Рис. 2-16.

101

Предыдущие примеры иллюстрируют синтез параметров коррек­ ции с помощью аппроксимирующих полиномов. В случае немонотон­ ных АЧХ процесс синтеза можно выполнить, и не применяя полино­ мов, а используя методику § 1-)1,а. Только вместо выбросов ПХ сле­ дует рассматривать экстремумы АЧХ.

Глава третья

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКЦИИ ПО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ КРИТЕРИЯМ

3-1. КРИТЕРИИ ОПТИМУМА И ПРОВЕРКА ОПТИМАЛЬНОСТИ

а) Временная область

Задача оптимизации какой-либо системы, в том чи­ сле и импульсного усилителя, является очень многогран­ ной. Возможны самые различные критерии, выдвигае­ мые потребностями практики. Часто требования к си­ стеме противоречивы, и одновременное их удовлетворе­ ние невозможно. В таких случаях применяются слож­ ные критерии вида

лителей критерий оптимума в области малых времен: минимальная длительность фронта Тфмш при заданных ограничениях ца выбросы и фиксированном ко-

103

эффициенте усиления. Если оптимизация производится изменением только реактивных корректирующих эле­ ментов, то требование постоянства коэффициента уси­ ления всегда выполняется. Если же в процессе оптими­ зации происходит изменение активных элементов (в си­ стемах с обратной связью это приводит и к изменению глубины обратной связи), то появляется дополнитель­ ное ограничение типа равенства

f(/?i» • • •» Кп) —/Со-

В этом случае в рассматриваемой цепи невозможно выбрать постоянную времени первого нормирования х — =iRC, которая оставалась бы 'неизменной в процессе

оптимизации. Условие /Со= const приводит к тому, что при изменении любого сопротивления, влияющего на ко­ эффициент усиления, меняются и другие, в том числе входящие в постоянную времени т. Здесь имеется не­ сколько выходов из положения. Можно, например, вы­ полнять оптимизацию в натуральном масштабе време­ ни tc, не прибегая к нормированию t = t clx. Можно так­

же нормировать по постоянной времени другой цепи, в которой отсутствует зависимость этой постоянной от варьируемых параметров, а связь выбросов с длитель­ ностью фронта однозначная, как это сделано в [67]. И, наконец, возможно вместо минимизации длительно­ сти фронта максимизировать относительную импульс­ ную добротность D0 [68]. Относительная импульсная

добротность при заданных ограничениях на выбросы ПХ есть отношение коэффициента усиления Ко данного я-каскадного усилителя к коэффициенту усиления Кор

я-каскадного резистивного усилителя с одинаковыми каскадами, у которого длительность фронта, паразитные емкости и параметры активных элементов такие же, как и у рассматриваемого усилителя: D0=KolKoP- Оптими­ зация параметра Do позволяет исключить из рассмотре­

ния длительность фронта.

В гл. 1 рассмотрена методика синтеза параметров коррекции, соответствующих ПХ с заданными выброса­ ми. Если заданные выбросы являются максимальными допустимыми в данном случае, то с помощью этой мето­ дики решается задача выхода на границу области огра­ ничений. Достигается ли при этом оптимум в смысде вышеуказанного критерия?

104

1—В у минимально при выполнении условия В 1= В 2 = . . .

. . . —В. Перенести этот результат на реальные системы

без дополнительного рассмотрения нельзя по двум при­ чинам. Во-первых, реальная ПХ представляет собой сум-

му функций вида А&е , которые при комплексных

значениях Ah и ph не образуют систему 74 Во-вторых,

отсчет длительности фронта ПХ усилителя ведется меж­ ду условно выбранными уровнями 0,1 и 0,9, поэтому ми­ нимум Тф=4,э—^o,i может не совпадать с минимумом ^i-в. Однако оба отличия не приводят к большим откло­ нениям от идеализированного результата. При измене­

ниях параметров в окрестности оптимума сумма AkePk*

в интервале от 0 до окончания п—1 выброса близка пс свойствам к сумме функций системы Т. В пользу этого

утверждения говорит обстоятельство, подтверждаемое вычислительной практикой, что при изменениях величи­

Время ?o,i при изменениях параметров схемы также сме­ щается мало, и различия в длительности фронта обус­ ловлены главным образом изменениями /о,э(^-в)-

Приведенные соображения позволяют считать, что минимум длительности фронта ПХ реальной усилитель­ ной схемы следует искать в окрестности параметров,

1 Системой Т порядка п на множестве Е называется система ли­

нейно-независимых и .непрерывных функций (<pi(*), ...» Фп-и(х)}, если многочлен

П+1

105

обеспечйвак)Щ йх й— 1 равны й вы брос зад ан н о й .Ш й -

чины.

Для проверки оптимальности результата необходимо установить, что все производные длительности фронта по выбросам неположительны, т. е.

дхф

ЛГг < 0 .

Тогда уменьшение любого из выбросов будет при­ водить к увеличению Тф. В противном случае можно

уменьшить длительность фронта, снижая выброс. На­ хождение указанных производных (представляет опреде­ ленную трудность, так как функция Хф=}(Ви . . £ n-i) неизвестна. Для определения дхф/дВг необходимо так

изменить параметры схемы, чтобы получить приращение только выброса В г и чтобы остальные остались неиз­ менными. Относительные приращения параметров Xj или коэффициентов изображения dj, при которых выброс Вг

уменьшается на величину a£r(a<Cl), определим из си­ стемы уравнений

Отсюда для варьируемого г-го выброса получаем:

a A jr B r

D ’

где Ajr — алгебраическое дополнение; D — определитель

системы (3-1). Тогда

Для вычисления п— 1 производной (3-2) таким спосо­ бом придется п— 1 раз решить систему (3-1). Но так

как в правой части каждый раз имеется единственный ненулевой член, то затраты времени такие же, как при решении одной полной системы (1-5). В целом определе­ ние всех производных (3-2) по объему работы эквива­ лентно одному шагу притягивания.

106

Если все полученные таким способом производные длительности фронта по выбросам положительны, то длительность фронта действительно минимальна в дан­ ной точке. Такая проверка, проведенная для ПХ с рав­ ными выбросами или с выбросами, удовлетворяющими условиям

Bi = aB2= . . .= aBn-i (а < 1),

подтвердила в большинстве случаев их оптимальность, когда в (3-1) в качестве переменных параметров ис­ пользуются относительные приращения бdj и длитель­

ность фронта отсчитывается в масштабе, соответствую­ щем дважды нормированному изображению. При пере­ ходе к параметрам коррекции Xj конкретного усилителя

и масштабу времени, нормированному по какой-либо постоянной т, минимум длительности фронта может сме­ ститься, и оптимум наступит при неравных выбросах.

Это произойдет в том случае, если при уменьшении ка­ кого-либо выброса дважды нормированная длительность

фронта т/ф увеличивается медленнее, чем убывает множи-

П _

тель ]/bnt по которому производится нормировка %ф=

П

= х'ф1/6^, т. е. выполняется неравенство

Определение знака производных длительности фрон­ та по отдельным выбросам путем решения системы (3-1) позволяет найти (если таковые существуют) выбросы, уменьшение которых приводит к уменьшению Тф. Про­ верка показывает, что случаи, когда уменьшение второго из выбросов уменьшает длительность фронта, встреча­ ются редко и возможное уменьшение Тф составляет еди­ ницы процентов. Для идеализированного двухкаскадного усилителя с последовательной индуктивной коррекцией это уменьшение составляет 11 % [38].

В области больших времен параметры коррекции бу­ дем считать оптимальными, если длительность импульса максимальна (/п= тах) при подъеме (спаде) вершины импульса, на превышающем допустимого значения, и постоянном коэффициенте усиления Ко. Если коррекция

107

осуществляется одним элементом х, то при выполнении

условия

(3-3)

Оптимальным будет значение параметра коррекции, со­ ответствующее границе области ограничений А+=

=д + з ( д - = д - 3 ) .

При тех небольших значениях искажений вершины, которые допускаются практикой, условие (3-3) всегда выполняется.

При большем числе параметров коррекции имеется бесчисленное множество их сочетаний, соответствующих выходу на границу области ограничений. Определение оптимальных параметров для этого случая рассматри­ вается в § 3-3,а.

6) Частотная область

Широкополосный усилитель целесообразно оптими­ зировать по критерию максимума граничной частоты (шахсов) при заданных ограничениях на экстремумы АЧХ (ААГг^Яг) и фиксированном коэффициенте усиле­ ния. Как и при анализе во временной области, рассмо­ трим характеристики, соответствующие границе области ограничений.

Является ли АЧХ с заданными (в частности, равны­ ми) отклонениями оптимальной в смысле ©в=шах? Имеющиеся данные в родственной области — аппрокси­ мации АЧХ фильтров [39] — показывают, что минималь­ ная погрешность достигается для физически реализуе­ мых систем в некоторых случаях при одинаковых экстре­ мальных отклонениях, в некоторых ж е — при неодинако­ вых. Известная из практики расчетов усилительных схем приблизительная закономерность: большие экстремаль­ ные отклонения АЧХ от единичного уровня (т. е. боль­ шая погрешность аппроксимации) соответствуют более

имеющую п— 1 экстремум и нормированную по полосе

пропускания на заданном уровне М (1)= с. Так как пас-

108

сматриваемая система устойчива, то в экстремальных точках с абсциссами xq всегда будет максимум при не­ четных q и минимум при четных. Покажем, что умень­

шение одного или нескольких экстремальных отклоне­ ний приводит к уменьшению коэффициента В п. Прида­ дим коэффициентам B j приращения AB j так, чтобы от­

клонения АЧХ в экстремальных точках уменьшились. Тогда для нечетных q получим:

или, иначе,

Для четных q будем иметь

Неравенства (3 -5 ) и (3 -6 ) вместе с условием

2A5jX>o=0,

обеспечивающим требуемое отклонение в конце интер­ вала, можно представить в виде системы линейных урав­ нений:

где D — определитель Вандермонда п-го порядка. Раз­

лагая его по элементам последнего столба, заметим, что все алгебраические дополнения Ап,н также являются определителями Вандермонда порядка п— 1. Нетрудно

установить, что если все элементы определителя Ван­ дермонда k-ro порядка упорядочены так, что *o>*i> .. *

... ^ Xfc, то

* (fe-1) sign £>*=(—: i) 2 .

109

Поэтому (3-7) можно переписать в виде

(л-1) (я—2)

При любых ай_1>0 коэффициент В п получает отри-

дательные приращения. Значит, всякие изменения коэф­ фициентов B j, уменьшающие экстремальные отклонения

АЧХ от единицы, обязательно уменьшают старший коэф­

с наибольшей полосой пропускания. Поэтому можно ска­ зать, что из всех АЧХ с отклонениями, не превышающи­ ми допустимых, равноволновые АЧХ позволяют полу­ чить наибольшую дважды нормированную граничную* частоту йщ. Будет ли соответствовать условие QiB= =макс -наибольшей граничной частоте в реальном мас­ штабе частот

2|в

2я__ ’

У в п

это вопрос, который должен решаться для каждой кон­ кретной схемы. Если уменьшение одного или нескольких

отклонений АЧХ приводит к сочетанию параметров схемы, 2л__

уменьшающему )/"Вп сильнее, чем уменьшается дважды

нормированная граничная частота, то полоса пропуска­ ния расширяется. Однако такие случаи весьма редки и наблюдаются тогда, когда в старший коэффициент изо­ бражения ПХ входит разность параметров коррекции. Оптимальность полученного решения проверяется по производным дсов/дДМэ, определяемым тем же методом, как и производные дтф/дВг.

3-2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПУТЕМ СЖАТИЯ ОБЛАСТИ ОГРАНИЧЕНИЙ

Возможны три ситуации при синтезе параметров импульсного (широкополосного) усилителя.

1. В данной цепи реализуется ПХ (АЧХ) с заданны­ ми допустимыми выбросами (экстремумами) и она оп­ тимальна по критерию минтф (макссов)^

П О