книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

мость одного из коэффициентов изображения и допусти­ мой длительности импульса от остальных коэффициен­ тов. Для системы второго порядка такие зависимости были получены О. Б. Лурье [14] в виде графиков, представленных на рис. 1-22 и 1-23 в несколько изменен­ ном виде. На рис. 1-22 пока­ заны зависимости разности

g\—d\ от коэффициента gi,

при которых периодическая последовательность импуль­ сов со скважностью г име­

ет заданные искажения вер­ шины А+=1-г-5%. Опре­ деление значений коэффи­ циентов gi и du соответст­

вующих заданному значе­ нию подъема А+, производит­ ся путем наложения годогра­

усилителя. Тогда по найденному значению di из графи­ ков,рис. 1-23 определяется t'i= T lr.

Для систем более высоких порядков непосредствен­ ное применение этих графиков невозможно. Упрощение системы путем отбрасывания в числителе и знаменателе членов со степенями ниже т —2 является слишком гру­

бым и приводит к недопустимо большим погрешностям.

Применение более совершенных методов также не всег­ да дает желаемые результаты, как как система второго порядка по отношению к системам порядка выше треть­ его является грубой моделью. Поэтому рассмотрим изо­

бражение ПХ системы третьего порядка

Наша задача состоит в определении зависимостей

d i=fi(g u gz, di);

i*=h(gu gz, d2),

при выполнении которых симметричные одиночные импульсы имеют подъем заданной величины Д+, а так­ же зависимости

1п =}з {gu gz, d2)

для одиночных импульсов с заданным спадом Д~ при условии g i= d i. Решение этой задачи возможно только

численными методами и сводится к решению уравнений

Д+ (d,) = Д3+ или Д" (f„) = А~

при фиксированных значениях gi, g2, d2.

Решение на ЭВМ произведено с помощью процедуры «Импульс» расчета параметров Д+, Д~ и / я 18]. С целью ускорения решения на­ чальная точка определяется по параболической аппроксимации ПХ вида

H(t) « 4 + (gt-Л) a n t+ \ S i-d 2- d , (gi—di)la»<2,

52

откуда

рое увеличение fK. Эти обстоятельства использованы ниже при аппро­ ксимации полученных массивов коэффициентов изображения полино­ мами, и ш’ведены переменные %,—dz—gz для шсех полиномов, определяющих коэффициент di, и (k=\{dz—^г)-1 для полиномов, определяющих tn.

и более высокого порядка, как это сделано в области малых времен. Однако более простая форма ПХ в обла­ сти больших времен и отсутствие параметров, характе­ ризующих тонкую структуру переходного процесса,

третьего ' порядка, на выходе которых импульс имеет симметричную форму, показала, что доминирующие полюсы встречаются редко. Поэтому понижение порядка путем исключения части полюсов может привести к большим погрешностям. Отбрасывание в изображении

53

изображением

здесь коэффициенты р определяются выражениями (1-20). Так как изображение (1-53) имеет пять неизве­ стных коэффициентов аи а2, fat bz, &з, то можно напи­

сать пять уравнений:

54

Сражения (1-53). Затем из уравнений (1-54) и (1-55) находятся коэффициенты числителя. Выполнение усло­ вий (1-54) — (1-58) эквивалентно равенству производ­ ных ПХ аппроксимируемой и аппроксимирующей систе­ мы в начальной точке ( = 0:

Это обеспечивает хорошее совпадение ПХ в области больших времен. Для использования аппроксимирую­ щих полиномов изображение (1-53) нормируется (вво­

Если исходная система выше пятого порядка, то стар­ шие коэффициенты, начиная с я6 и bQ, не входят в систе­

му и отбрасываются. Дополнительная погрешность, вно­ симая при этом, очень мала, так как численные значе­ ния коэффициентов изображения (1-17) в реальных си­ стемах быстро убывают с увеличением порядкового но­ мера коэффициента.

После окончания входного прямоугольного импульса на выходе усилителя могут возникнуть обратные выбро­ сы А0бр (выбеги). Расчет их приведен в [5].

55

Глава вторая

СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ УСИЛИТЕЛЕЙ

В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

2-1. АППРОКСИМАЦИЯ ИДЕАЛЬНЫХ АМПЛИТУДНО-

ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

а) Монотонная амплитудно-частотная характеристика

Идеальная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) усилителя М(со), равная единице в полосе про­ пускания и нулю вне ее, практически нереализуема. По­ этому синтезу параметров цепей коррекции предшеству­ ет этап аппроксимации АЧХ. Наиболее распространен­ ной является аппроксимация по Тейлору, при которой

аппроксимацией '[16], аппроксимацией по Баттерворту [55], максимально плоской аппроксимацией [18]. В усилительной технике впервые такая аппроксимация рассмотрена в работе Г. В. Брауде [19] и получила очень широкое распространение. Усилители, рассчитан­ ные по методике Г. В. Брауде, имеют АЧХ без подъе­ мов, но ПХ усилителей имеют значительный выброс, возрастающий с повышением порядка системы. Поэтому в [20] предложено компромиссное решение: отказаться от требования М '(0 )= 0 и, допуская М7(0)< 0, увели­ чить наклон АЧХ до тех пор, пока выброс не уменьшит­ ся до приемлемой величины. Полоса пропускания при этом сужается на 10—15%.

При аппроксимации по Тейлору полюсы изображе­ ния располагаются на окружности единичного радиуса. Известны попытки улучшить форму ПХ или АЧХ, рас­ полагая полюсы на параболе [21] или эллипсе [22]. Выброс при этом уменьшается, АЧХ получается более равномерной, но полоса пропускания усилителя сокра­ щается. В [18] приводится пример, показывающий, что применение параболического расположения полюсов уменьшает выброс и расширяет полосу. Однако это справедливо лишь при построении пассивных фильтров. В них постоянная времени выбирается по желанию

56

проектировщика и операционный коэффициент передачи допустимо представить в виде

как это и сделано в [18].

В усилителях же минимальная постоянная времени ограничена паразитными емкостями, поэтому необходи­ мо сравнивать либо ненормированные граничные часто­ ты и длительности фронта ПХ, либо нормированные на постоянную времени какой-либо реальной цепи усили­ теля. Применение произвольных же нормировок может привести к несопоставимым результатам. Практика рас­ чета усилителей показывает, что в первом приближении различные виды аппроксимаций можно сравнить, если изображения ПХ приведены к виду

ная.

Это объясняется следующим. Изображение (2-2) по­ лучается из изображения

^ ^ = l + 6,s+... + 6«s«

заменой переменной p = s J bn. Если при каких-то изме­

нениях параметров усилителя граничная частота QiB, выраженная в масштабе переменной р, возрастает

частота Йв, выраженная в масштабе переменной s, так­ же возрастает (уменьшается). Так что по изменениям дважды нормированной граничной частоты Qm (или длительности фронта) можно судить и об изменениях не­ нормированной граничной частоты (или длительности фронта). Это положение, приводимое без доказательст­ ва, подтверждается в дальнейшем на примере различ­ ных схем.

Представление изображения в виде (2-1) по сущест­ ву означает изменение масштаба по сравнению с (2-2), так как переход осуществляется заменой переменных

P=pi I V Jo-

57

При сравнении изображений ПХ вида ,(2-2) усилителя

сполюсами, расположенными на параболе, и усилителя

сполюсами на единичной окружности оказывается, что граничная частота первого из-них меньше, а длитель­

ность фронта больше.

Расширить полосу пропускания при одновременном уменьшении выброса можно, используя монотонные по­ линомы, способ получения которых излагается ниже.

Построим монотонный алгебраический полином /г-го порядка,

R n ( x ) = r inx + r 2nXz+ ... + г ппх п,

обладающий следующими свойствами:

1. В интервале [0, 1] Rn (x) не имеет экстремумов.

2. На концах интервала полином принимает значе­ ния

Ятг (0) =0 и #„( 1) = 1.

3. Из всех полиномов, удовлетворяющих первому и второму условиям, полином Rn (x) должен иметь наи­ больший старший коэффициент гпп.

Последнее свойство позволяет с помощью полинома R n (x) получить АЧХ, имеющую по сравнению с любой

другой монотонной АЧХ наибольшую дважды нормиро-

2п__

ванную Граничную частоту Йщ= ]/Глд.

. Представим АЧХ усилителя в интервале частот. 0 ^

^*<11 с помощью монотонного полинома:

1

М (х) =

V\ +kRn (X)

Множитель k определяет спад характеристики Ммин

в конце интервала:

Л42мин *

при ММ1щ=0,707 множитель k —\. Первая и вторая про­

изводные АЧХ (2-3) выражаются формулами

Как следует из (2-4), точки, в которых производная [М2 (х)У обращается в нуль, совпадают с нулями поли-

56

Эти условия выполняются, если кратность положи­ тельных корней полинома R 'n (x) равна двум.

С учетом приведенных замечаний определим моно­ тонные полиномы 3—б-го порядков. Так как i?n(0)= 0, то свободный член во всех полиномах отсутствует.

Производная полинома третьего порядка

R s (x )= ri3x + r23x2 + Г33Х3

должна иметь двукратный корень x i = a > 0 . Поэтому

Приравнивая .коэффициенты при одинаковых степе­ нях х в левой и правой частях (2-7), получаем систему

двух уравнений

Четвертое уравнение получаем, используя требова­ ние г33=ш ах. Для этого с помощью (2-8) выразим г13 И /и в уравнении (2-9) через г33 и полученную зависи­ мость г33 от а представим в неявном виде

F (гзз, а) —3а2г33— 3аг33+ гзз— 1= 0 .

Коэффициент г33 достигает максимума, когда dF/da=

= 0 . Отсюда находим последнее уравнение

6пг33—Зг33=0.

имеет вид:

R3 ( x ) = 3 x —6x2 + 4 x 5.

59

Полином четвертого порядка выражается форму­

лой

Дь (х) = ГцХ+ /24*2+ /*34*3+ Г44Я4.

Его производная имеет три корня. По условию два из них должны совпадать, третий не может быть поло­ жительным. Более подробная проверка показывает, что форма АЧХ меняется слабо, если третий корень распо­ лагается в некотором интервале [—<7, 0]. Выкладки

упрощаются, если этот корень положить равным нулю. Поэтому можно записать

а

Я 4 (х) = J 4г44х (х — a)2 dxt

о

так что система, аналогичная (2-8), будет иметь вид:

Г24 ■-- 20?Г44»

/*14=0.

Определяя экстремум /44 как функции от а, заданной

в неявном виде

Г14+ /*24+ /'34+ ^44=:: 1,

ирешая получившуюся систему уравнений, находим

а—2/3, Г24— 8, г34= —16, г44= 9.

Поэтому полином Яь(х) имеет вид:

Яа(х) =8х2— 16JC3-f-9л:4.

Аналогично определяются монотонный полином пя­ того порядка

Я5 (х) = 5*—ЗО*2+ 80х3—90х4+ 36х5

иполином шестого порядка

Яе(х) = 27л:2—144х3+ 306л:4—288л:5+ 100л:6.

60